Egyiptomi töredék

A Rhind papirusz (c. C. 1650), amely folyamatosan a British Museum in London , a legfontosabb dokumentum tájékoztatott minket a matematikai tudás ősi időkben. Nyolcvannégy megoldott számtani , geometriai és földmérési problémát tartalmaz . Mielőtt azonban tudomást szerezne ezekről a problémákról, az egyiptominak különféle táblázatokkal kellett rendelkeznie, amelyek lehetővé tették számára, hogy a nem egységnyi frakciókat közvetlenül egységekre oszthassa fel. Ezen táblák egyike, az úgynevezett „kettős frakciók” vagy „2 / n” tábla található Rhind papiruszának első pozíciójában. Felsorolja azokat a törtrészeket, amelyek számlálója kettő, és amelyek n nevezője háromtól százig egyig változik, n páratlan, és megadja azok megfelelőjét az egységtörtek összegében.

Néhány példa az egységekre tört bontásra a két táblázatból:

Ezeket a különböző eredményeket az ókori egyiptomiak az osztás technikájának alkalmazásával érték el .

2/5 példa:

(1 + 2/3) + 1/3 = 2, ezért az eredmény 1/3 + 1/15.

A huszonnégy Papyrus-probléma: A hetedikhez hozzáadott szám tizenkilencet ad, mi ez a szám?

Modern szimbolikus formában a válasz triviális: x + x / 7 = 8x / 7 = 19, vagy x = 133/8.

De 4000 évvel ezelőtt a töredékszámítást és az algebrai szimbolikát nem igazán fejlesztették ki. Valójában a probléma nem az egyenlet feloldásában, hanem az egyenlet beállításában és a gyakorlati algebrai megközelítés hiányában az ax = b egyszerű alakkal történő megérkezés nehézségében rejlik.

Ehhez az egyiptomiak az úgynevezett hamis helyzet módszerét alkalmazták. Így hívjuk az algebrai felbontás módszerét, amely egy megközelítő (hamis) megoldás biztosításából áll, amely egy megfelelő algoritmus segítségével, a megfigyelt eltérés előnyeit kihasználva vezet a vizsgált probléma megoldásához.

Példánkban az első ötlet az, hogy megszabaduljunk a zavaró nevezőtől úgy, hogy a hetest választjuk hozzávetőleges megoldásnak (hamis helyzet): az írnok nyolcat kap a hetedikével megnövelt szám kiszámításakor. Ezután implicit módon a következő algoritmust használja (ahol x '= 7 és c = 8):

Ha ax = b és ax '= c, akkor ax / ax' = b / c vagy x = x '(b / c)

Pontosan ezt javasolja a papirusz: tizenkilencet osztunk nyolcra, ami 2 + 1/4 + 1/8 -ot ad, és az egészet megszorozzuk 7 = 1 + 2 + 4-gyel, ami (2 + 1/4 + 1 / 8) + (4 + 1/2 + 1/4) + (9 + 1/2), azaz 16 + 1/2 + 1/8.

Középkori matematika

A jelölés formájában egyiptomi frakciók során használt a görög időszakban, de még a középkorban ( Struik 1967 ) annak ellenére, hogy a panaszok, már mint ptolemaioszi Almagest , a nehézkessége miatt ezt a jelölést képest alternatív jelölések, mint például a babiloni jelöléssel bázis hatvan .

A Fibonacci Liber Abaci (1202) több fejezetet tartalmaz az egyiptomi törtekkel kapcsolatos matematikáról. Ezek közül a legismertebb az egyiptomi törtek (en) mohó algoritmusa az egyiptomi törtek kiszámításához, azáltal, hogy a legkisebb nevezővel rendelkező egységet többször választják, amely nem nagyobb, mint a kialakuláskor fennmaradó frakció.  

Néha a kapzsi Fibonacci algoritmust Sylvester-nek tulajdonítják .

A Liber Abaciban Fibonacci a folytonos tört növekvő alakjáról is írt ,

x=1+1+1+⋯nál nél3nál nél2nál nél1,{\ displaystyle x = {\ frac {\ displaystyle 1 + {\ frac {\ displaystyle 1 + {\ frac {\ displaystyle 1+ \ cdots} {\ displaystyle a_ {3}}}} {\ displaystyle a_ {2}} }} {\ displaystyle a_ {1}}},}

amelyet egyiptomi fejleményként lehet átírni:

x=1nál nél1+1nál nél1nál nél2+1nál nél1nál nél2nál nél3+⋯{\ displaystyle x = {\ frac {1} {a_ {1}}} + {\ frac {1} {a_ {1} a_ {2}}} + {\ frac {1} {a_ {1} a_ { 2} a_ {3}}} + \ cdots}

Ennek a formának a fejlődését, amelyben az a i egész számok növekednek , Engel sorozatbővítésének nevezzük . Minden racionális számnak van egy véges Engel-bővítése, míg az irracionális számoknak végtelen Engel-bővítése van.

Modern számelmélet

A modern számelméletes szakemberek számos különféle problémát tanulmányoztak az egyiptomi törtekkel kapcsolatban, ideértve az egyiptomi törtek ábrázolásának hosszának vagy maximális nevezőjének korlátozását, bizonyos speciális formák átfedéseinek vagy kiterjesztéseinek keresését, vagy amelyekben a nevezők valamilyen speciális típusúak, megállnak különféle módszerek az egyiptomi frakciók kiterjesztésére, és kimutatták, hogy a kiterjesztések léteznek minden kellően sűrű, kellően sima szám halmazához . Olyan ismert matematikusok, mint James Sylvester , Solomon Golomb , Wacław Sierpiński , Erdős Paul , Ernst G. Straus , Ronald Graham vagy Gérald Tenenbaum járultak hozzá ehhez a kutatási területhez.

Algoritmusok

Az egyiptomi frakció kitágulásának megszerzése különböző algoritmusoknak köszönhető , amelyek eltérő, de mégis érvényes eredményeket adnak. nál nélb{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}

Elemi módszer

A frakció tágulását a következő azonosságnak köszönhetjük: nál nélb{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}

1b=1(b+1)+1b(b+1){\ displaystyle {\ frac {1} {b}} = {\ frac {1} {(b + 1)}} + {\ frac {1} {b (b + 1)}}}

A következő rekurzív algoritmus lehetővé teszi a keresett fejlesztés megtalálását:

(ab){\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)}

a=1{\displaystyle a=1}

ab{\displaystyle {\frac {a}{b}}}

1b{\displaystyle {\frac {1}{b}}}

(a−1b+1){\displaystyle \left({\frac {a-1}{b+1}}\right)}

(a−1b(b+1)){\displaystyle \left({\frac {a-1}{b(b+1)}}\right)}

A javasolt algoritmus azért fejeződik be, mert a számlálók sorozata szigorúan csökkenő egész számok szekvenciája és 1-gyel redukálva. Az algoritmus tehát véges számú lépésben végződik. r{\ displaystyle r}

Minden lépés végén egyenlő az egyiptomi és egy másik frakció összege. Amikor az algoritmus befejeződik, egyenlőségünk és egyiptomi törtek összege van. Az algoritmus tehát helyes . nál nélb{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}nál nélb{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}

A következők fejlesztését szeretnénk  : 316.{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}

Lépés	Eredmény
0	316.{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}
1	116.+(217.+216.×17.){\ displaystyle {\ frac {1} {16}} + \ bal ({\ frac {2} {17}} + {\ frac {2} {16 \ szor 17}} \ jobb)}
2	116.+117.+1272+(118.+117.×18.)+(1273+1272×273){\ displaystyle {\ frac {1} {16}} + {\ frac {1} {17}} + {\ frac {1} {272}} + \ bal ({\ frac {1} {18}} + {\ frac {1} {17 \ szor 18}} \ jobb) + \ bal ({\ frac {1} {273}} ​​+ {\ frac {1} {272 \ szer 273}} ​​\ jobb )}
Kijárat	116.+117.+118.+1272+1273+1306+174256{\ displaystyle {\ frac {1} {16}} + {\ frac {1} {17}} + {\ frac {1} {18}} + {\ frac {1} {272}} + {\ frac {1} {273}} ​​+ {\ frac {1} {306}} + {\ frac {1} {74256}}}

Fibonacci-Sylvester algoritmus (kapzsi algoritmus)

Meg akarjuk szerezni a kiterjesztését , ehhez a következő kapzsi algoritmust használhatjuk : nál nélb{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}

(ab){\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)}

a=1 OU a=0{\displaystyle a=1~{\mathtt {OU}}~a=0}

ab{\displaystyle {\frac {a}{b}}}

n{\displaystyle n}

1ab=ba{\displaystyle {\frac {1}{\frac {a}{b}}}={\frac {b}{a}}}

n=⌈ba⌉{\displaystyle n=\left\lceil {\frac {b}{a}}\right\rceil }

1n{\displaystyle {\frac {1}{n}}}

(ab−1n){\displaystyle \left({\frac {a}{b}}-{\frac {1}{n}}\right)}

Ha minden lépésnél választjuk a nevezőt: ahelyett , hogy megkapjuk a Sylvester sorozat bővítését . ⌊b/nál nél⌋+1{\ displaystyle \ lfloor b / a \ rfloor +1}⌈b/nál nél⌉{\ displaystyle \ lceil b / a \ rceil}

Egyenlőek vagyunk a (ahol a plafon funkciót jelöljük ). nál nélb-1nem=nál nélnem-bbnem{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} - {\ frac {1} {n}} = {\ frac {an-b} {bn}}}nem=⌈bnál nél⌉{\ displaystyle n = \ left \ lceil {\ frac {b} {a}} \ right \ rceil}⌈ ⌉{\ displaystyle \ lceil ~ \ rceil}

De van és ezért . Vagyis egyszerűsítéssel . Az algoritmus egy lépése ezért az 1. számlálóval rendelkező törtrész és egy olyan tört összegét adja vissza, amelynek pozitív egész száma szigorúan kisebb, mint . Az algoritmus tehát véges számú lépésben végződik . bnál nél<⌈bnál nél⌉<bnál nél+1{\ displaystyle {\ frac {b} {a}} <\ left \ lceil {\ frac {b} {a}} \ right \ rceil <{\ frac {b} {a}} + 1}bnál nél×nál nél-b<⌈bnál nél⌉×nál nél-b<(bnál nél+1)×nál nél-b{\ displaystyle {\ frac {b} {a}} \ szor ab <\ left \ lceil {\ frac {b} {a}} \ right \ rceil \ times ab <\ left ({\ frac {b} {a }} + 1 \ jobb) \ szor ab0<nál nélnem-b<nál nél{\ displaystyle 0 <an-b <a}nál nél{\ displaystyle a}

Minden lépés végén holtverseny áll fenn, és az egyiptomi törtek összege különbözõ nevezõkkel és egy másik frakcióval rendelkezik. Amikor az algoritmus befejeződik, egyenlőségünk és egyiptomi törtek összege van. Az algoritmus tehát helyes . Ezt Sylvester bizonyította 1880-ban. nál nélb{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}nál nélb{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}

Előnyök és hátrányok

A Fibonacci algoritmus olyan kiterjesztést ad, amely nagy nevezőket tartalmazhat, így:

5.121=125+1757+1763309+1873960180913+11527612795642093418846225,{\ displaystyle {\ frac {5} {121}} = {\ frac {1} {25}} + {\ frac {1} {757}} + {\ frac {1} {763309}} + {\ frac {1} {873960180913}} + {\ frac {1} {1527612795642093418846225}},}

inkább mint :

5.121=133+1121+1363{\ displaystyle {\ frac {5} {121}} = {\ frac {1} {33}} + {\ frac {1} {121}} + {\ frac {1} {363}}}.

Másrészt a Fibonacci algoritmus lehetővé teszi két frakció egyszerű összehasonlítását egyiptomi bővítésük lexikográfiai sorrendjében .

Példa

A következők fejlesztését szeretnénk  : 316.{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}

Lépés	Eredmény
0	316.{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}(a ) ⌈16.3⌉=6.{\ displaystyle \ left \ lceil {\ frac {16} {3}} \ right \ rceil = 6}
1	16.+(316.-16.){\ displaystyle {\ frac {1} {6}} + \ bal ({\ frac {3} {16}} - {\ frac {1} {6}} \ jobb)}
Eredmény	16.+148{\ displaystyle {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {48}}}

Golomb algoritmus

A törtet az egyiptomi törtek összegeként akarjuk megírni . Az általánosság elvesztése nélkül, akkor feltételezhetjük, hogy és a relatív prím . A Bachet-Bézout tétel lehetővé teszi annak megerősítését, hogy két természetes szám van köztük és olyan, amely és . Ilyen számokat a kibővített euklideszi algoritmus segítségével kaphatunk meg . Ha minden tagot elosztunk, akkor megkapjuk . nál nélb<1{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} <1}nál nél{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}r{\ displaystyle r}s{\ displaystyle s}r<s<b{\ displaystyle r <s <b}nál néls=1+br{\ displaystyle as = 1 + br}bs{\ displaystyle bs}nál nélb=1bs+rs{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {1} {bs}} + {\ frac {r} {s}}}

A Golomb algoritmus a következő rekurzív algoritmus :

procédure Golomb(ab){\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)} Si a=1{\displaystyle a=1} : Renvoyer ab{\displaystyle {\frac {a}{b}}} Sinon : Déterminer r{\displaystyle r} et s{\displaystyle s} tels que r<s<b{\displaystyle r<s<b} et as=1+br{\displaystyle as=1+br} Renvoyer 1bs{\displaystyle {\frac {1}{bs}}} + Golomb(rs){\displaystyle \left({\frac {r}{s}}\right)} fin-procédure Megszüntetés

Golomb algoritmusa azért fejeződik be, mert a számlálók sorozata szigorúan csökkenő egész számok szekvenciája, és 1-gyel redukálva van. Az algoritmus ezért véges számú lépésben elkészül. r{\ displaystyle r}

Javítás

Minden lépés végén egyenlő az egyiptomi és egy másik frakció összege. Amikor az algoritmus befejeződik, egyenlőségünk és egyiptomi törtek összege van. Az algoritmus tehát helyes . nál nélb{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}nál nélb{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}

Elméleti következmény

Bármely frakcióra kiterjed az egyiptomi törtek száma, amelynek nevezője kisebb vagy egyenlő . Különösen a Golomb algoritmusával elért fejlesztésről van szó. nál nélb{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}b(b-1){\ displaystyle b (b-1)}

Példa

A következők fejlesztését szeretnénk  : 316.{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}

Lépés	Eredmény
0	316.{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}
1	1176+211.{\ displaystyle {\ frac {1} {176}} + {\ frac {2} {11}}}(a ) 3×11.=2×16.+1{\ displaystyle 3 \ alkalommal 11 = 2 \ alkalommal 16 + 1}
2	1176+166+16.{\ displaystyle {\ frac {1} {176}} + {\ frac {1} {66}} + {\ frac {1} {6}}}(a ) 2×6.=11.×1+1{\ displaystyle 2 \ szor 6 = 11 \ szor 1 + 1}
Eredmény	16.+166+1176{\ displaystyle {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {66}} + {\ frac {1} {176}}}

Erdős és Bleicher algoritmus

Erdős és Bleicher azt javasolta, hogy számítás közbeni közvetítőként vezessék be a k első prímszám szorzatát , mert ezek gyakorlati számok . A frakció, amelynek egyiptomi fejlődés kérik már nem , de . Az általuk javasolt algoritmus a következő: πk{\ displaystyle \ pi _ {k}}nál nélb{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}nál nélπkbπk{\ displaystyle {\ frac {a \ pi _ {k}} {b \ pi _ {k}}}}

procédure Erdős-Bleicher(ab){\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)} Déterminer k{\displaystyle k} tel que πk−1<b≤πk{\displaystyle \pi _{k-1}<b\leq \pi _{k}} Choisir un entier r{\displaystyle r} tel que πk(1−1k)≤r≤πk(2−1k){\displaystyle \pi _{k}\left(1-{\frac {1}{k}}\right)\leq r\leq \pi _{k}\left(2-{\frac {1}{k}}\right)} Déterminer l'entier s{\displaystyle s} tel que aπk=bs+r{\displaystyle a\pi _{k}=bs+r} Choisir une représentation de s{\displaystyle s} et r{\displaystyle r} comme sommes de diviseurs de respectivement πk{\displaystyle \pi _{k}} et bπk{\displaystyle b\pi _{k}} Renvoyer la somme des fractions simplifiées obtenues Elméleti következmény

Ennek az algoritmusnak a lehetséges kimenetei lehetővé teszik a fejlesztés legnagyobb nevezőjének növelését ( lásd alább ).

Példa

A következők fejlesztését szeretnénk  : 316.{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}

Lépés	Eredmény
0	2×3<16.≤2×3×5.{\ displaystyle 2 \ szor 3 <16 \ leq 2 \ szor 3 \ szor 5} ebből kifolyólag k=3{\ displaystyle k = 3}
1	Választunk például ésr=42{\ displaystyle r = 42}s=3{\ displaystyle s = 3}
2	Nekünk van 316.=3×3016.×30=9016.×30=3×16.16.×30+4216.×30{\ displaystyle {\ frac {3} {16}} = {\ frac {3 \ szor 30} {16 \ szor 30}} = {\ frac {90} {16 \ szor 30}} = {\ frac {3 \ times 16} {16 \ times 30}} + {\ frac {42} {16 \ times 30}}}
3	Mi írunk 3×16.16.×30+32+10.16.×30{\ displaystyle {\ frac {3 \ szor 16} {16 \ szor 30}} + {\ frac {32 + 10} {16 \ szor 30}}}
Eredmény	Egyszerűsítés után 316.=110.+115+148{\ displaystyle {\ frac {3} {16}} = {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {15}} + {\ frac {1} {48}}}

Eset, amikor a nevező kettő hatványa

Ha a nevező értéke 2 , akkor a (ahol mind a 0, mind az 1) bináris ábrázolásának köszönhetően fejlődést találhatunk . Az ebből fakadó fejlődés akkor . b{\ displaystyle b}nál nélb=nál nél2nem{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {a} {2 ^ {n}}}}nál nél=nál nélnem-12nem-1+nál nélnem-12nem-1+⋯+nál nél0{\ displaystyle a = a_ {n-1} 2 ^ {n-1} + a_ {n-1} 2 ^ {n-1} + \ pont + a_ {0}}nál nél0,...,nál nélnem-1{\ displaystyle a_ {0}, \ pontok, a_ {n-1}}nál nél2nem=nál nél02nem-1+nál nél12nem-2+⋯+nál nélnem-12{\ displaystyle {\ frac {a} {2 ^ {n}}} = {\ frac {a_ {0}} {2 ^ {n-1}}} + {\ frac {a_ {1}} {2 ^ {n-2}}} + \ pont + {\ frac {a_ {n-1}} {2}}}

Példa

Szeretnénk fejleszteni . Így van . 316.{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}3=21+20{\ displaystyle 3 = 2 ^ {1} + 2 ^ {0}}316.=116.+216.=116.+18.{\ displaystyle {\ frac {3} {16}} = {\ frac {1} {16}} + {\ frac {2} {16}} = {\ frac {1} {16}} + {\ frac {1} {8}}}

Alkalmazás

Ha a nevezője nem kettő hatványa, akkor az előző algoritmust úgy adaptálhatjuk, hogy meghatározzuk annak a fejlettségét, ahol a kettő legkisebb teljesítménye nagyobb, mint : nál nélb{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}2k×nál nél2k×b{\ displaystyle {\ frac {2 ^ {k} \ szor a} {2 ^ {k} \ szor b}}}2k{\ displaystyle 2 ^ {k}}b{\ displaystyle b}

procédure(ab){\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)} Déterminer l'entier k{\displaystyle k} tel que 2k−1<b≤2k{\displaystyle 2^{k-1}<b\leq 2^{k}} Écrire ab=2k×a2k×b=bs2k×b+2k×a−bs2k×b{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {2^{k}\times a}{2^{k}\times b}}={\frac {bs}{2^{k}\times b}}+{\frac {2^{k}\times a-bs}{2^{k}\times b}}} et tel que 2k×a−bs<2k{\displaystyle 2^{k}\times a-bs<2^{k}} Déterminer la décomposition binaire de s{\displaystyle s} et 2k×a−bs{\displaystyle 2^{k}\times a-bs} Simplifier les fractions des deux sommes et retourner le résultat fin-procédure

Tehát ha egyiptomi fejleményt szeretnénk elérni, akkor a számlálót és a nevezőt megszorozzuk  : 25.{\ displaystyle {\ frac {2} {5}}}8.=23{\ displaystyle 8 = 2 ^ {3}}

25.=2×8.5.×8.=16.40=5.×240+6.40=14+4+240=14+110.+120{\ displaystyle {\ frac {2} {5}} = {\ frac {2 \ szor 8} {5 \ szor 8}} = {\ frac {16} {40}} = {\ frac {5 \ szor 2 } {40}} + {\ frac {6} {40}} = {\ frac {1} {4}} + {\ frac {4 + 2} {40}} = {\ frac {1} {4} } + {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {20}}}

Ezzel a módszerrel az elért fejlődés legnagyobb nevezője kisebb, mint, és a kifejezések száma a kifejezések sorrendjében van . b2{\ displaystyle b ^ {2}}napló⁡b{\ displaystyle \ log b}

Összehasonlító

A törtrészre az előző algoritmusok a következő egyiptomi bővítéseket adják: 316.{\ displaystyle {\ frac {3} {16}}}

Algoritmus	Eredmény
Elemi módszer	316.=116.+117.+118.+1272+1273+1306+174256{\ displaystyle {\ frac {3} {16}} = {\ frac {1} {16}} + {\ frac {1} {17}} + {\ frac {1} {18}} + {\ frac {1} {272}} + {\ frac {1} {273}} ​​+ {\ frac {1} {306}} + {\ frac {1} {74256}}}
Fibonacci algoritmus	316.=16.+148{\ displaystyle {\ frac {3} {16}} = {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {48}}}
Golomb algoritmus	316.=16.+166+1176{\ displaystyle {\ frac {3} {16}} = {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {66}} + {\ frac {1} {176}}}
Erdős-Bleicher algoritmus	316.=110.+115+148{\ displaystyle {\ frac {3} {16}} = {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {15}} + {\ frac {1} {48}}}
Bináris bomlás	316.=18.+116.{\ displaystyle {\ frac {3} {16}} = {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {16}}}

Tulajdonságok

Minimális fejlesztési méret

Bármely frakció elérheti az egyiptomi fejlődést, amennyit csak akar, az identitás felhasználásával . 1b=1(b+1)+1b(b+1){\ displaystyle {\ frac {1} {b}} = {\ frac {1} {(b + 1)}} + {\ frac {1} {b (b + 1)}}}

A Fibonacci és a Golomb algoritmusok olyan kiterjesztést adnak, amelynek tagok száma legfeljebb megegyezik a kezdeti tört számlálójával. Pontosabbak lehetünk azonban. Valójában bármely frakcióra létezik egy legfeljebb kifejezést tartalmazó reprezentáció . nál nélb{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}O(napló⁡b){\ displaystyle O ({\ sqrt {\ log b}})}

Úgy sejtette, hogy minden egész szám , és mindent , a frakció felírható összege egyiptomi frakciók amíg elég nagy. Más, konkrétabb sejtéseket vetettek fel. t≥3{\ displaystyle t \ geq 3}k>t{\ displaystyle k> t}nál nélb{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}t{\ displaystyle t}b{\ displaystyle b}

Erdős-Straus és Sierpiński sejtések

A 1948 , Erdős Pál és Ernst G. Straus gondolta, hogy minden egész szám , felírható az összege három egyiptomi frakcióknem>1{\ displaystyle n> 1}4/nem{\ displaystyle 4 / n}

4nem=1nál nél+1b+1vs.{\ displaystyle {\ frac {4} {n}} = {\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {c}}}.

Hasonlóképpen , Waclaw Sierpinski jegyzett gondolta a 1956 , hogy minden egész három természetes is , és mint: nem>1{\ displaystyle n> 1}nál nél{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}vs.{\ displaystyle c}

5.nem=1nál nél+1b+1vs.{\ displaystyle {\ frac {5} {n}} = {\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {c}}}.

E két sejtés egyikét sem bizonyították a mai napig, még akkor sem, ha sok meglehetősen erős eredmény van, különös tekintettel az Erdős-Straus sejtésre .

Legnagyobb nevező

Őrnagy

Az Erdős-Bleicher algoritmus által nyújtott fejlesztések tanulmányozásával ( lásd fent ) Yokota és Gérald Tenenbaum kimutatták, hogy bármely töredék esetén létezik olyan egyiptomi terjeszkedés, amelynek legnagyobb nevezője kisebb, mint . nál nélb{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}4b(napló⁡b)2napló⁡(napló⁡b){\ displaystyle 4b (\ log b) ^ {2} \ log (\ log b)}

Ez az eredmény finomítható. Valójában bármelyik frakció reprezentálható az egyiptomi törtekben, amelyekben a maximális nevezőt a következők határolják:nál nélb{\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}

O(bnapló⁡bnapló⁡napló⁡b){\ displaystyle O \ bal ({\ frac {b \ log b} {\ log \ log b}} \ jobb)} Kiskorú

Egy olyan egyiptomi törtrész esetében, amelynek nevezője prímszám , minden egyiptomi fejlemény legnagyobb nevezője nagyobb, mint azt Erdős Pál és Bleicher 1976-ban bemutatott tétele szerint látták. nál nélo{\ displaystyle {\ frac {a} {p}}}nál nélo{\ displaystyle {\ frac {a} {p}}}onapló2⁡(o){\ displaystyle p \ log _ {2} (p)}

Kombinációs problémák

• Az Erdős-Graham sejtés a kombinatorikus számelméletben azt állítja, hogy a kettőnél nagyobb (vagy egyenlő) egész szám halmazának bármely véges partíciója esetén az egyik rész felhasználható az első számú egyiptomi kiterjesztés kialakítására. Vagyis minden r > 0 és a kettőnél nagyobb egész számok mindegyik r- színezése esetén létezik ezen egész számok véges monokromatikus S részhalmaza , amely: ∑nem∈S1/nem=1{\ displaystyle \ sum _ {n \ in S} 1 / n = 1}.A sejtést 2000-ben Ernest S. Croot III  (en) mutatta be .

Az egyes nevezőkre korlátozódó fejlesztések

• Számok, amelyek egyiptomi törtek összegével reprezentálhatók, amelyben az összes nevező n- edik hatvány . Különösen, a racionális q szám akkor ábrázolható négyzetnévvel rendelkező egyiptomi törtek összegeként, és csak akkor, ha q a két félig nyitott intervallum egyikében található: [0,π26.-1[∪[1,π26.[{\ displaystyle \ left [0, {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} - 1 \ jobb [\ cup \ left [1, {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} \ jobb [}.

Egyéb

• A Znám probléma  (a) szorosan kapcsolódik a létezését az egyiptomi fejlemények a következő formában: ∑1xén+∏1xén=1{\ displaystyle \ sum {\ frac {1} {x_ {i}}} + \ prod {\ frac {1} {x_ {i}}} = 1}.
• Minden racionális szám nagyon sűrű bővítések, egy állandó hányadát nevezők legfeljebb N egy kellően nagy N.

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy teljesen kivenni a Wikipedia cikket angolul című „  egyiptomi frakció  ” ( lásd a szerzők listáját ) .

Megjegyzések

1. A cikk később fejlesztett algoritmusa ( lásd alább ).
2. Az egész szakaszban feltételezzük .0<nál nél<b{\ displaystyle 0 <a <b}
3. Analóg algoritmust ad az identitás .1b=12b+13b+16.b{\ displaystyle {\ frac {1} {b}} = {\ frac {1} {2b}} + {\ frac {1} {3b}} + {\ frac {1} {6b}}}
4. Választhattuk r = 26 és s = 4 értékeket is
5. Ez az algoritmus nem kínál egyedi fejlesztést, ellentétben a cikkben javasoltakkal.
6. ( lásd fent ).
7. Az egyiptomi fejleményekkel ellentétben a két esetben az a, b és c számok nem feltétlenül különböznek egymástól.

Hivatkozások

1. Michel 2014 , p.  91-106.
2. (in) Erdős P. és RL Graham , "  Régi és új problémák és eredmények a kombinatorikus számelméletben  " , Enseign. Math. , vol.  28,1980, P.  30–44 ( online olvasás ).
3. Pascal Boyer, a számok és kísérőik kis társa , Párizs, Kálvária és Mounet,2019, 648  p. ( ISBN  978-2-916352-75-6 ) , I - ℤ számtana, fej .  2.3. („Egyiptomi töredékek”), p.  24-28
4. http://publimath.irem.univ-mrs.fr/glossaire/AL070.htm
5. (in) Solomon W. Golomb , "  Egy algoritmust algebrai képviseletét problémák Ahmose Papyrus  " , Amer. Math. Havi , vol.  69,1962, P.  785-787.
6. ( Vose 1985 )
7. ( Tenenbaum és Yokota 1990 ).
8. ( Graham 1964 ).
9. ( Martin 1999 ).

Említett művek

• (en) T. Takenouchi , „  Határozatlan egyenleten  ” , Proc. Fizikai-matematikai szoc. of Japan , 3 E sorozat, vol.  3,1921, P.  78-92
• (en) RL Graham , „  Különböző n- edik erőviszonyok véges összegein  ” , Pacific J. Math. , vol.  14, n o  1,1964, P.  85–92 ( online olvasás )
• (en) Truman Botts , „  A láncreakció folyamata a számelméletben  ” , Mathematics Magazine ,1967, P.  55-65
• (en) Dirk J. Struik , A matematika tömör története , New York, Dover ,1967, 228  o. ( ISBN  0-486-60255-9 , online olvasás ) , p.  20-25
• (en) M. Vose , „  egyiptomi frakciók  ” , Bull. London Math. Soc. , vol.  17,1985, P.  21
• (en) G. Tenenbaum és H. Yokota , „  Az egyiptomi törtek hossza és nevezői  ” , J. számelmélet , vol.  35,1990, P.  150-156
• (en) Stan Wagon , Mathematica in Action , WH Freeman,1991, P.  271-277
• (en) L. Beeckmans , „  Az osztási algoritmus az egyiptomi törtekre  ” , J. Számelmélet. , vol.  43,1993, P.  173-185
• (en) Greg Martin, „  Sűrű egyiptomi frakciók  ” , ford. Keserű. Math. Soc. , vol.  351,1999, P.  3641-3657
• Marianne Michel , Az ókori Egyiptom matematikája. Számozás, metrológia, számtan, geometria és egyéb problémák , Brüsszel, Safran ,2014, 604  p. ( ISBN  978-2-87457-040-7 ).
• Pascal Boyer, a számok és kísérleteik kis társa , Párizs, Kálvária és Mounet,2019, 648  p. ( ISBN  978-2-916352-75-6 )

Külső hivatkozás

en) Ron Knott, "  egyiptomi frakciók  " ,2017

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">