Határ (topológia)

A topológia a határ egy sor (más néven „a szélén egy set”) alkotják pontokat, ösztönösen, a „szélén található” ez meg, vagyis amely lehet „megközelíteni” belülről és kívülről egyaránt.

Meghatározás

Legyen S az egy részhalmaza egy topológiai tér ( E , T ).

S határát (gyakran noted S vagy Fr S jelölve ) több egyenértékű módon lehet meghatározni:

• A tapadást az S megfosztott a belső a S  :∂S=S¯∖S∘ ;{\ displaystyle \ részleges S = {\ overline {S}} \ setminus {\ stackrel {\ circ} {S}} ~;}
• mind az S-re , mind annak kiegészítőire tapadó pontok  :∂S=S¯∩E∖S¯ ;{\ displaystyle \ részleges S = {\ overline {S}} \ cap {\ overline {E \ setminus S}} ~;}
• a készlet minden „határ pontjai” S , azaz a pontok p az E , amely szerint minden szomszédságában a p - vagy egyszerűen mindazok a bázis városrészek - legalább egy pontján S és egy pontot kívül S .

Tulajdonságok

• A halmaz határa zárt (a második definíció szerint két zárt metszéspontjaként ).
• A halmaz határa egyben a komplementeré is (még mindig a második definíció szerint , a komplementerre való áttérés invutivitásának felhasználásával ).
• A tapadása egy sor van a találkozó a szerelvény és annak határát: S = S ∪ ∂ S . Különösen egy halmaz akkor és csak akkor zár le, ha tartalmazza a határát.
• Egy halmaz belseje ez a készlet, amelyet megfosztanak a határától. Különösen egy halmaz akkor és csak akkor nyitott, ha nincs elhatárolva a határától.
• A nyitott-zárt tehát azok a részek, amelyek határa üres .
• A nyitott (vagy zárt) határ üres belső. Valóban, ha S nyitva van, ∂ S = S ∩ ( E \ S ), ezért int (∂ S ) ⊂ S ∩ int ( E \ S ) = ∅.
• A véges unió határa általában szigorúan beletartozik a határok uniójába, de ha A és B diszjunkt tapadásúak - vagy általánosabban, ha A ∩ B = B ∩ A = ∅ -, akkor ∂ ( A ∪ B ) = ∂ ( A ) ∪ ∂ ( B ).

Példák

A készlet valós számok a szokásos topológia  :

• ∂]0,5.[=∂[0,5.[=∂]0,5.]=∂[0,5.]={0,5.}{\ displaystyle \ részleges \ bal] 0,5 \ jobb [= \ részleges \ bal [0,5 \ jobb [= \ részleges \ bal] 0,5 \ jobb] = \ részleges [0,5] = \ {0, 5 \}} ;
• ∂∅=∅{\ displaystyle \ részleges \ lakolás = \ lakkozás} ;
• ∂Q=R{\ displaystyle \ részleges \ mathbb {Q} = \ mathbb {R}} ;
• ∂(Q∩[0,1])=[0,1]{\ displaystyle \ részleges (\ mathbb {Q} \ cap [0,1]) = [0,1]}.

Az utolsó két példa azt szemlélteti, hogy egy üres belső rész határa a tapadása.

Határ határ

Bármely S halmaz esetében az ∂∂S szerepel az ∂S-ben, az egyenlőséget csak akkor ellenőrizzük, ha ∂S üres belső.

A lezárt halmaz határa, S.S = ∂∂S bármely S halmaz esetében. A határüzemeltető tehát kielégíti az idempotencia gyenge formáját .

jegyzet

1. A konkrét esetben egy metrikus tér , a golyó a központban p és szigorúan pozitív sugár alapot a környékeken p .