A számok geometriája

A matematika , szám geometria olyan tudományág, amely értelmezi számtani problémák szempontjából különálló hálózatokat , és megoldja azokat a geometriai tulajdonságok . Úgy alakult a késő XIX th század által Hermann Minkowski. A kiindulópont egy elemi megfigyelés: ha a síkban rácsot és egy kört rajzolunk, amelynek középpontja a rács egyik csúcsa, akkor, ha a kör elég nagy, akkor a belseje tartalmazza a rács többi pontját. A számok geometriájának fontos jellemzője tehát a diszkrét (a rács pontjai) és a folyamatos (a kör belseje) közötti kölcsönhatás. A kör más ábrákra történő változtatásával, a háló alakjának változtatásával, magasabb dimenziókra való általánosítással különféle alkalmazásokat kapunk, amelyek a funkcionális elemzésre , a diofantin közelítésre , a konvex geometriára és az elemzésre , az algoritmusra , a kombinatorikára , az algebrai számelméletre vonatkoznak. , a gömbök halmaza , a kristályrajz .

Minkowski alapvető tétele

Ez a tétel vonatkozik a kereszteződés egy konvex halmaz és egy rács a tér pontjait ℝ d , dimenzió d ; pontosabban azt mondja, hogy ha a konvex alakja elég szabályos és ha a konvex térfogata elég nagy a rács hálójának térfogatához képest, akkor a domború a rács több pontját tartalmazza. Általánosabb változat szinte azonnal kikövetkeztethető Blichfeldt tételéből .

A legegyszerűbb az az eset, amikor a ponthálózat ℤ d , vagyis az egész pont koordinátájú pontokból áll. Ez az eset rávilágít arra, hogy Minkowski-tétel hogyan hoz létre "kapcsolatot a halmaz geometriai tulajdonságai - konvexitás, szimmetria és térfogat - és egy számtani tulajdonság között , nevezetesen egy egész koordinátákkal rendelkező pont létezését" ebben az esetben.

Minkowski alaptétele (I) - Legyen C lehet egy konvex az ℝ d , szimmetrikus tekintetében a származás. Ha térfogata szigorúan nagyobb, mint 2 d , a C legalább két egész koordinátájú pontot tartalmaz, az origótól eltérően.

A négyzet (a 2. dimenzióban) és általánosításai a d dimenzióban mutatják, hogy a kötött 2 d nem csökkenthető. De a tételnek van egy változata a 2 d térfogatú konvexekre : ebben az esetben a konvex (más szavakkal a konvex vagy annak határa ) tapadása a rácsnak az eredetétől eltérő pontját tartalmazza.

Ezenkívül léteznek például a síkban 4-nél nagyobb területcsoportok, amelyek vagy domborúak, de az origóhoz képest nem szimmetrikusak, vagy az origóhoz képest szimmetrikusak, de nem domborúak, és amelyek nem tartalmaznak több hálózati pontok.

A tétel átfogalmazható az egész koordinátákkal rendelkező pontoktól eltérő hálózatok szempontjából.

Minkowski alapvető tétele (II) - Legyen C konvex ℝ d-ben , szimmetrikus az origóhoz képest, és L legyen L rács determináns Δ-vel. Ha a konvex térfogata szigorúan nagyobb, mint 2 d Δ, akkor a C legalább az L hálózat két pontját tartalmazza, az eredet kivételével.

Alkalmazás a Diophantine közelítésre

A cél itt Minkowski alapvető tételének felhasználása Dirichlet közelítési tételének bemutatására , amely szerint lehetséges egy valós nevű véges halmaz egyidejű megközelítése ugyanazon nevező racionális számaival. Pontosabban,

Tétel - Legyen valós számok . Ekkor vannak $n$ $+ 1$ egész számok, $p$ $\geq 1,$ $p$ $1$ $,$ $p$ $2$ $,\dots,$ $p$ $n$ , úgy, hogy egyszerre rendelkezünk: $nem$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots \ alpha _ {n}}$

${\ displaystyle \ left | \ alpha _ {1} - {\ frac {p_ {1}} {p}} \ right | <{\ frac {1} {p ^ {1+ (1 / n)}}} }$

${\ displaystyle \ left | \ alpha _ {2} - {\ frac {p_ {2}} {p}} \ right | <{\ frac {1} {p ^ {1+ (1 / n)}}} }$

$\ cdots$

${\ displaystyle \ left | \ alpha _ {n} - {\ frac {p_ {n}} {p}} \ right | <{\ frac {1} {p ^ {1+ (1 / n)}}} .}$

Valójában $n +1$ egész egész számának végtelen száma létezik $( p , p 1 , p 2 , ... p n ),$ amelyek kielégítik ezeket az egyenlőtlenségeket.

A bizonyítás a számok geometriájára jellemző: úgy alakítjuk át a problémát, hogy konvex halmazt hozunk be, amely igazolja Minkowski alapvető tételének hipotéziseit (itt ez párhuzamos lesz ). A tétel alkalmazásával egy egész koordinátákkal rendelkező pontot kapunk a konvexben, amelyet ellenőrizünk, hogy ez adja-e a keresett megoldást.

Itt, úgy döntünk, a valós szám s <1, és úgy véljük, a régió K a ℝ n + 1 képződött valamennyi pont $( y , x 1 , x 2 , ..., x n )$ kielégíti a egyenlőtlenségeket

{\ displaystyle | x_ {i} - \ alpha _ {i} y | \ leq s {\ text {mind}} = i, 1,2, \ cdots, n {\ text {és}} | y | \ leq s ^ {- n}.}

Ez a régió párhuzamos, az origó középpontjában áll, amely kielégíti Minkowski alapvető tételének hipotéziseit. Valóban, ez egy domború halmaz, szimmetrikus az origóhoz képest, és térfogata 2 n +1 (ezt a térfogatot úgy számíthatjuk ki, hogy ezt a párhuzamosan kialakított kockát átalakítjuk egy lineáris transzformációval, amely megőrzi a köteteket).

A K régió tehát tartalmaz egy egész koordinátákkal rendelkező pontot (az alaptétel I. formája), $( p , p 1 , p 2 ,\dots, p n ), amely$ nem az origó (0, 0,…, 0). Ezután ellenőrizzük, hogy a $p i / p$ frakciók megadják-e a kívánt közelítéseket. Az s szám megváltoztatásával még végtelen számú megoldást is kapunk.

Négy négyzet összege

A számok geometriája bizonyítja Lagrange klasszikus tételét, miszerint bármely pozitív egész négy négyzet összege.

Először is, a páros egészre vonatkozó tétel bizonyítását a páratlan egész számra csökkentjük, ha csak az Euler négyzet négyzetének egy nagyon egyedi esetét használjuk . Valóban, ha m = x 2 + y 2 + z 2 + w 2 , akkor 2 m = ( x + y ) 2 + ( x - y ) 2 + ( z + w ) 2 + ( z - w ) 2 , ezért ha a tétel igazolódik páratlan egész számokra, akkor azt az összes pozitív egész szám egymást követő duplázásával kapjuk meg.

A páratlan egészek igazolását a maga részéről Minkowski (II) tételéből és a következő lemából vezetjük le: bármely m páratlan pozitív egész számra vannak olyan a és b egész számok , hogy a 2 + b 2 + 1 osztható m-vel (a bizonyíték erre lemma alapul (i) a számát kvadratikus maradékok és a fiók elvet , amikor m prím, (ii) egy indukciós érv, amikor m jelentése ereje elsődleges ; (iii) a maradéktétel kínai kötni) .

Az alábbiakban Minkowski (II) alapvető tételét alkalmazzuk. Úgy véljük, egyrészt a rács L 4-dimenziós térben, ℝ 4 által alkotott pont ( mx + az + ff , én + bz - aw , z , w ), és egy és b rögzített ellenőrzése lemma, és x , y , z , w , az összes egész értéket figyelembe véve. Ennek a hálózatnak a térfogata m 2 .

Ezenkívül úgy tekintjük a ℝ 4 ponthalmazát , hogy ( mx + az + bw ) 2 + ( my + bz - aw ) 2 + z 2 + w 2 <2 m . Gömböt alkotnak (egy 4 dimenziós térben), amelynek sugara $\sqrt 2 m$ , ezért „térfogata” 2π 2 m 2 . Mivel π 2 > 8, Minkowski tételének feltételei között vagyunk: a gömb konvex halmaz, szimmetrikus az origóra nézve, olyan nagy térfogatú, hogy tartalmazzon a rács nulla pontját: így x számokat kapunk , y , z , w oly módon, hogy 0 <( mx + az + bw ) 2 + ( my + bz - aw ) 2 + z 2 + w 2 <2 m .

De az a és b választásnak köszönhetően könnyen ellenőrizhető, hogy ( mx + az + bw ) 2 + ( my + bz - aw ) 2 + z 2 + w 2 mindig m egész számának többszöröse , amikor x , y , z és w egész szám. Az m egészének egyetlen egész szorzata , amely szigorúan 0 és 2 m között van, maga m , tehát ( mx + az + bw ) 2 + ( my + bz - aw ) 2 + z 2 + w 2 = m . Ez az m páratlan pozitív egész számot ábrázolja négy egész négyzet összegeként, igény szerint.

Ez a példa jól szemlélteti, hogy a diszkrét és folytonos tulajdonságok hogyan befolyásolják az eredmény elérését: a gömb pontjai (amelyek a probléma folyamatos aspektusát képviselik) kielégítik az egyenlőtlenséget ("<2 m " feltételt), amely egyenlőséggé válik ("= m ”), Amikor azt feltételezzük, hogy bizonyos ismeretlenek egész értékekkel rendelkeznek (diszkrét szempont).

Egy hasonló bizonyítás lehetővé teszi annak bemutatását, hogy a 4 n + 1 alak bármely tetszőleges prímszáma két egész szám négyzetének összege.

Alakzatok minimális értékei

Az alkalmazások két előző példája algebrai formákat (vagyis homogén polinomokat) tartalmaz, az első esetben lineáris formákat , a másodikban másodfokú formákat . A számok geometriája általánosabbá teszi az értékek tanulmányozását az ilyen alakzatok egész pontjain, különösen a minimumaik növelése érdekében.

Tétel - Hagy rendszere n homogén lineáris formák n változók , valós együtthatók, és egy nem nulla meghatározó . Ezután minden sor n pozitív számok , hogy tudunk adni a változók egész értékeket úgy, hogy minden i , van . ${\ displaystyle \ xi _ {1}, \ xi _ {2}, \ cdots \ xi _ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ cdots x_ {n}}$ $\Delta$ ${\ displaystyle \ tau _ {1}, \ tau _ {2}, \ cdots \ tau _ {n}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {1} \ tau _ {2} \ cdots \ tau _ {n} = \ Delta}$ $x_ {i}$ ${\ displaystyle | \ xi _ {i} | \ leq \ tau _ {i}}$

A bizonyítás Minkowski alaptételén alapszik, amelyet az all i-re definiált párhuzamos síkra alkalmaznak , amelynek térfogata 2 n . ${\ displaystyle | \ xi _ {i} | \ leq \ tau _ {i}}$

Tétel - Legyen pozitív, határozott másodfokú forma n változóval és annak meghatározójával. Ekkor léteznek olyan egész számok, amelyek nem mind nullaak, és amelyekben az alak értéke ezekben az egész számokban kisebb, mint . ${\ displaystyle Q (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n}) = \ összeg _ {i, j = 1} ^ {n} s_ {ij} x_ {i} x_ {j} }$ ${\ displaystyle D = {\ hbox {det}} (s_ {ij})}$ ${\ displaystyle u_ {1}, u_ {2}, \ cdots, u_ {n}}$ ${\ displaystyle Q (u_ {1}, u_ {2}, \ cdots, u_ {n})}$ ${\ displaystyle {\ frac {4} {\ pi}} \ balra (\ Gamma (1 + {\ frac {1} {2}} n) ^ {2} D \ jobbra) ^ {1 / n}}$

Ebben a nyilatkozatban, $Γ$ jelöli a gamma-függvény , amely akkor következik be ide, mert annak értékeit, így a kötetek a gömbök bármely dimenzióban (és bizonyos átalakítások, például ellipsoids ). A tétel bizonyítása ismét Minkowski alaptételén nyugszik, de ezúttal a jól definiált ellipszoidra vonatkozik egy jól megválasztott valós számra . ${\ displaystyle Q (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n}) \ leq \ lambda}$ $\ lambda$

Számtestek

Egy másik alkalmazási terület az algebrai számok mezőinek tulajdonságaira vonatkozik . Az elv az, hogy ne merítse egy mezőt a számok K (azaz egy olyan algebrai meghosszabbítását fokú d az a racionális számokat ℚ) a ℝ d , úgy, hogy a ideálok a gyűrű annak egész számok megfelelnek az hálózatok ℝ d . Ekkor olyan helyzetben vagyunk, amely lehetővé teszi Minkowski tétel alkalmazását.

Eszmékhez kapcsolódó hálózatok kiépítése

Úgy véljük, egy test számok K fokú d , tudjuk képviseli azt K = ℚ (Θ) , ahol a Θ egy algebrai egész szám kielégíti egy egyenlet fokú d egész együtthatós. Tudjuk merítse K területén ℂ a komplexek d különböző módon, amely megfelel a különböző gyökerei az egyenlet által ellenőrzött Θ, valós s és 2 t -komplexek, csoportosítva kettesével történő konjugálás révén d = s + 2 t . Például, ha Θ az X 3 - 2 = 0 egyenlet megoldása, három beágyazás létezik, egy valós beágyazás, amely Θ a 3 √ 2 gyökön küldi , két komplex konjugált beágyazás küldi el $j$ 3 √ 2 vagy $j$ 2-re 3 √ 2 , ahol $j$ az 1 kocka gyökere, amely nem 1; ebben az esetben tehát s = t = 1.

Ezután meghatározzák a morfizmus csoportok a K a ℝ s × ℂ t , egy elem a K küldött annak s valós embeddings és t komplex embeddings (egy páronként konjugátumok). A példában, az elem a + b Θ + c Θ 2 a K küld az elem ( a + b 3 √ 2 + c 3 √ 4 , a + b $j$ 3 √ 2 + c $j$ 2 3 √ 4 ) a ℝ × ℂ.

A valós és a képzeletbeli rész elválasztásával K-ból to s × ℝ 2 t = ℝ d- be injektív morfizmust kapunk . Meg tudjuk mutatni, hogy a kép az e morfizmus egy adalék alcsoport a K , a véges típusú (például a gyűrű egész szám K , vagy ideális esetben) a rács a ℝ d .

Sőt, ha I nem nulla ideális a K egész számainak gyűrűjéhez, akkor a kapcsolódó rács hálójának térfogata ℝ d-ben : 2 - t N ( I ) $\sqrt | Δ |$ , ahol Δ a számok mezőjének diszkriminánsa .

A kis színvonalú elem egy ideálban és az ideális osztályok száma

Megfelelő konvex kiválasztásával és az alapvető tétel alkalmazásával bebizonyíthatjuk, hogy:

Tétel - A K számmező egész számainak gyűrűjében bármely I nulla nem ideális ideális nem nulla elemet tartalmaz ${\ displaystyle | N (\ alpha) | \ leq \ bal ({\ frac {2} {\ pi}} \ jobbra) ^ {t} N (I) {\ sqrt {| \ Delta |}}}$ ahol 2 t a K és Δ diszkriminánsának összetett beágyazódásainak száma .

Az N (α) norma valójában az α konjugátumainak szorzata, vagyis a kép α-ról ℝ d komponenseire . Arra következtethetünk, hogy bármely nem nulla ideál egyenértékű egy ideállal, amelynek normája kisebb, mint (2 / π) t $\sqrt | Δ |$ .

Mivel az adott normának csak véges számú ideálja létezik, így a tétel bizonyítékát kapjuk:

Tétel - Az ideálosztályok száma egy számmezőben véges.

A konvex finomabb megválasztása lehetővé teszi ezen eredmények javítását is. Például :

Tétel - A K számmező egész számainak gyűrűjében bármely I nulla nem ideális ideális nem nulla elemet tartalmaz ${\ displaystyle | N (\ alpha) | \ leq \ bal ({\ frac {4} {\ pi}} \ jobbra) ^ {t} {\ frac {n!} {n ^ {n}}} N ( I) {\ sqrt {| \ Delta |}}}$ ahol 2 t a K és Δ diszkriminánsának összetett beágyazódásainak száma .

Ezekkel a határokkal sok esetben kifejezetten kiszámolható az osztályok száma.

De közvetlenül egy fontos következményt is adnak:

Tétel - A K mező diszkrimináns Δ kielégíti az egyenlőtlenséget ${\ displaystyle {\ sqrt {| \ Delta |}} \ geq \ bal ({\ frac {\ pi} {4}} \ jobb) ^ {t} {\ frac {n ^ {n}} {n!} } \ geq \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) ^ {n / 2} {\ frac {n ^ {n}} {n!}}.}$

Következésképpen, a diszkrimináns a mező a mértékben n > 1, az abszolút érték, szigorúan nagyobb, mint 1, és ez ezért elsődleges osztója: bármely területén számok (kivéve ℚ) rendelkezik elágazó prímszám .

Egységek egy számmezőben

A számok geometriája lehetővé teszi az egységcsoport szerkezetének leírását is . A fő probléma az, hogy ez a csoport multiplikatív; ahhoz, hogy hálózati (additív csoport) szempontból értelmezhető legyen, ezért logaritmusokat kell használni . Meghatározzuk ℝ s × ℂ t térképét ℝ s + t-ben úgy, hogy az egyes komponenseket elküldjük abszolút értékük logaritmusára ( s első valós komponensekre) vagy modulusuk négyzetének logaritmusára (a t komplex komponensekre). ); azon elemek esetében, amelyeknek egyik összetevője sem nulla, ez a térkép jól körülhatárolható. Az alkotó a morfizmus a K a ℝ s × ℂ t fenti, kapunk egy morfizmus a multiplikatív csoportjában K a ℝ s + t , amely nevezünk annak logaritmikus ábrázolás. Az egységek a +1 vagy –1 norma elemei, amelyek lineáris állapotot eredményeznek ℝ s + t-ben, amikor a logaritmikus ábrázolásra megyünk: más szavakkal, az egységek képe egy hipersíkban van (az s + dimenzióban) t - 1). Egy részletesebb tanulmány lehetővé teszi annak bemutatását, hogy ez a kép valóban s + t - 1 dimenziójú , és igazolja a Dirichlet egységeinek tételét .

Egyéb példák

A Leibniz-képlet geometriai módszerekkel bizonyítható, David Hilbert eredetileg felfedezett módszerével . ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} = {\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {9}} - \ cdots = {\ frac {\ pi } {4}}.}$

Megjegyzések és hivatkozások

Hardy és Wright 2006 , fej. 3. és 24. ábra.
Cassels 1971 , p. 71–72: „Az I. tételből [Blichfeldt-tétel] szinte egyszerre következtetünk a következő tételre, amely - legalábbis m = 1 esetén - Minkowskinak köszönhető. "
Cassels 1971 , p. 64.
Olds, Lax és Davidoff 2000 , p. 85-86.
Olds, Lax és Davidoff 2000 , p. 114-116.
Stewart és Tall 1979 , p. 149-150.
A variáns kihasználásával identitást teljesen lehetővé teszi, hogy közvetlenül csökkent a bizonyítéka a prímszám: lásd például (a) Ivan Niven , Herbert Zuckerman és Hugh L. Montgomery , Bevezetés a Theory of Numbers , Wiley ,1991, 5 -én ed. ( 1 st ed. 1960), p. 317-318, 6.26. Tétel vagy ez a gyakorlat a "Bevezetés a számelméletbe" leckéből kijavítva a Wikiverzióról .
Cassels 1971 , p. 99.
Stewart és Tall 1979 , p. 148-149.
Gruber és Lekkerkerker 1987 , p. 43-44.
Stewart és Tall 1979 , p. 152.
Stewart és Tall 1979 , p. 152-155.
Stewart és Tall 1979 , p. 163.
Stewart és Tall 1979 , p. 164-165.
Stewart és Tall 1979 , p. 184.
Stewart és Tall 1979 , p. 165, 187-190.
Cohn 1978 , p. 128.
Stewart és Tall 1979 , p. 212-213.
Stewart és Tall 1979 , p. 213.
(in) [video] 3Blue1Brown , amikor ft rejtőzik a prímszámok terjesztésében a YouTube-on , francia feliratok állnak rendelkezésre.
(in) [videó] Mathologer , Fermat-tétel Christmas: vizualizációja a rejtett kör pi / = 1-1 4/3 + 1 / 5-1 / 7 + ... a YouTube .

Bibliográfia

GH Hardy és EM Wright ( angolból fordította : François Sauvageot, pref. Catherine Goldstein ), Bevezetés a számok elméletébe [„ Bevezetés a számok elméletébe ”] [ a kiadás részlete ], 24. fejezet („A számok geometriája”);
en) Harris Hancock, A számok Minkowski-geometriájának fejlesztése , Dover ,1964( 1 st szerk. 1939) ;
(en) John WS Cassels , Bevezetés a számok geometriájába , Berlin, Göttingen, Heidelberg, Springer , coll. " Grundlehren mathematischen der Wissenschaften " ( n o 99)1971( 1 st ed. 1959), 344 p. ( online olvasás ) ;
(en) Harvey Cohn, A klasszikus meghívás az algebrai számokhoz és az osztálymezőkhöz , New York, Heidelberg, Berlin, Springer, coll. "Universitext",1978, 328 p. ( ISBN 978-3-540-90345-1 ) ;
en) Ian N. Stewart és David O. Tall (en) , algebrai számelmélet , London, Chapman & Hall ,1979, 257 p. ( ISBN 978-0-470-26660-1 ) ;
(en) Peter M. Gruber (en) és Cornelis G. Lekkerkerker, A számok geometriája , Groningen és Amszterdam, London, Wolters-Noordhoff és Észak-Holland, coll. "Bibliotheca Mathematica" ( n o 8),1987, 2 nd ed. ( 1 st ed. , 1969 510 p.), 731 p. ( online olvasás ) ;
en) Carl Ludwig Siegel és Komaravolu Chandrasekharan , Előadások a számok geometriájáról , Springer,1989, 160 p. ( online olvasás ) ;
(en) Carl Douglas Olds , Anneli Lax és Giuliana Davidoff, The Geometry of Numbers , Washington, MAA , össze . "A Anneli Lax új matematikai Library" ( n o 41),2000, 174 p. ( ISBN 978-0-88385-643-7 , online olvasás ) ;
(en) Jiří Matoušek , Előadások a diszkrét geometriáról [ a kiadások részlete ] ;
(en) Tinne Hoff Kjeldsen , „ A mérőeszköztől a geometriai objektumig: Minkowski konvex testek koncepciójának kidolgozása ” , Archívum a pontos tudományok történetéhez , vol. 62, n o 1,2008, P. 59–89 ;
Sébastien Gauthier: „ Geometria a számok geometriájában: a fegyelem története vagy a gyakorlatok története Minkowski, Mordell és Davenport példái alapján ”, Revue d'histoire des mathematiques , vol. 15, n o 22009, P. 183–230 ( online olvasás ) ;