Másodfokú egész számok gyűrűjének egységei

A matematika , és pontosabban algebrai számelmélet , az egység csoport egy gyűrű a másodfokú egészek a csoport az a invertálható elemei egy ilyen gyűrű .

A másodfokú egész egy komplex szám gyökere egy egység polinom foka 2 és relatív egész együtthatók . A gyűrű a másodfokú egészek tehát egy al-gyűrűt az a kommutatív területén ℂ komplex számok (azaz egy részhalmazát ℂ, amely 1, és stabil hozzáadásával, szorzás és szemben); így kommutatív gyűrű és egységei csoportot alkotnak ( abeli és 1-t és –1-et tartalmaznak).

A gyűrű mindig másodfokú mezőbe tartozik, és a csoport felépítése a mező jellegétől függ. Ha nem valós elemeket tartalmaz, vagyis nem nulla képzeletbeli részt , akkor a csoport ciklikus . Ellenkező esetben a mezőt teljesen valósnak mondják, és a csoport izomorf, vagy ℤ / 2ℤ, vagy ℤ / 2ℤ × ℤ irányban.

Egy ilyen csoport képviseli azt, amit Dirichlet obstrukciónak nevez, ha az túl nagy, ami a teljesen valós kvadratikus mezők esetében érvényes. A Dirichlet tétel egységesen meghatározza az algebrai egész számok gyűrűinek egységeinek sajátos sávstruktúráját , amely általánosítja a másodfokú egészek fogalmát.

Az egységcsoport-ismeretek alkalmazásai számtani szempontból változatosak . A Pell-Fermat- egyenlet egy Diophantine-egyenlet - vagyis egész együtthatókkal és keresett megoldások egész számokkal -, amelyek egy adott eset felbontása pontosan annyit jelent, mint a másodfokú egészek gyûrûjének egységcsoportja. A bizonyítéka Fermat-tétel esetében nem túl konkrét értékeket a paraméter n megköveteli a magyarázata a n -edik gyökereit az egység egy gyűrű algebrai egészek. Abban az esetben, ha n értéke 3 vagy 5, egyes bizonyítékok másodfokú egész gyűrűket használnak. Végül a tanulmány az egység csoport a gyűrű egész számok ℚ ( √ 5 ) lehetővé teszi, hogy egy igazolást a törvény megjelenése prímszámok a Fibonacci-sorozat .

Egységcsoport felépítése

Háttér

A cikkben ℤ a relatív egészek gyűrűjét jelöli, ℚ a racionális számok mezőjét, ℝ a valós számok mezőjét és ℂ a komplexek mezőjét. Bármely másodfokú egész gyűrű esetében a részletes cikk bemutatja egy ω elem létezését úgy, hogy a gyűrű egyenlő ℤ [ω] -val, azaz az a + b ω alakú elemekből áll , ahol a és b relatív egész számok. Az érték ω vehet két eltérő formában létezik egy tökéletes nem négyzet egész szám, d , hogy ω egyenlő $\sqrt d$ vagy, ha d jelentése egybevágó , hogy 1 modulo 4, ω egyenlő lehet (1 + $\sqrt d$ ) / 2 . A d egész szám lehet negatív, a szigorúan negatív számhoz társított $\sqrt$ gyök indoklása a részletes cikkben található. A ℤ [ω] gyűrű az a + b ω forma elemeiből álló ℚ [ω] mezőbe kerül , ahol a és b racionális számok. A ℚ [ω] mező egyenlő ℚ [ $\sqrt d$ ] -vel.

A konjugációs térkép kijelöli azt, amely a másodfokú mező + [ $\sqrt$ $d$ ] a + b $\sqrt d$ eleméhez társítja a - b $\sqrt$ $d$ . A cikk további részében a test α elemének konjugált elemét α c- vel jelöljük . Ez a térkép a mezők automorfizmusa, és restriction [ω] gyűrűre való korlátozása szintén automorfizmus (ez a gyűrűzési idő) . A szokásos alkalmazás a test egy eleméhez társítja ennek az elemnek a termékét a konjugátumával. A norma ℚ értékekkel van. A the [ω] gyűrűre való korlátozása ℤ értékekkel rendelkezik, és a következőképpen fejeződik ki:

{\ displaystyle \ forall a, b \ in \ mathbb {Z} \ quad {\ begin {aligned} (1) \ quad \ omega & = {\ sqrt {d}} \ quad & {\ mathcal {N}} ( a + b \ omega) & = a ^ {2} -db ^ {2}, \\ (2) \ quad \ omega & = {\ frac {1} {2}} (1 + {\ sqrt {d} }) \ quad és {\ mathcal {N}} (a + b \ omega) & = a ^ {2} + ab - {\ frac {d-1} {4}} b ^ {2}. \ end { igazítva}}}

Az első tulajdonság lehetővé teszi, hogy egy kicsit tisztábban lásson az egységek csoportján:

A ℤ [ω] gyűrű eleme akkor és csak akkor megfordítható , ha a normája egyenlő 1-vel vagy –1 ; a szám inverze ekkor vagy a konjugátuma, vagy a konjugátumának ellentéte.

Legyen α of [ω] eleme. Ha van egy norma 1 vagy -1, akkor vagy αα c vagy α (-α c ) egyenlő 1. Mivel α c és -α c elemei a gyűrű, α valóban invertálható. Fordítva tegyük fel, hogy β az α inverze, akkor az αβ normája egyenlő 1. Az α normája egy egész szám, amely osztja az 1.-et. Csak kettő van: 1 és –1, ami igazolja az állítást.

Jegyzet. Ha d négyzetes tényező nélkül van , és ha d értéke 1 modulo 4-nek egyezik, akkor ω egyenlő (1 + $\sqrt d$ ) / 2-vel, akkor a gyűrű kissé különleges, mert ez egész számok gyűrűje. a másodfokú mező . Ez a sajátosság itt nem játszik szerepet.

Dirichlet egységeinek tétele

Ezt a szerkezeti tételt Dirichet igazolta bármely algebrai mező egész számának gyűrűjére. A másodfokú egészekből álló gyűrű esetében két konfiguráció merül fel.

Ha d negatív, akkor a gyűrű nem szerepel az ℝ-ben, és a csoport véges ( tehát egy alcsoport, amely az egység gyökereinek csoportját fejezte be , tehát monogén csoport ). Pontosabban :Ha d negatív, akkor az egységcsoport négyes nagyságrendű, ha d = –1, hat, ha d = –3 és ω = (1 + $i$ √ 3 ) / 2, különben kettő.
Ha d pozitív, a gyűrű benne van a ℝ-ban, és a csoport végtelen:Ha d pozitív, az egységek csoportja izomorf a 2. rendű csoport és a végtelen monogén csoport közvetlen termékével szemben .Egyszerűbben fogalmazva: az egységek csoportja (a szorzással együtt) izomorf a ℤ / 2ℤ × ℤ -vel (az összeadással együtt). Ez a helyzet például a ℚ ( √ 5 ) egész számok gyűrűjének egységcsoportjával .

Demonstráció

Ha d negatív, az egységek csoportja véges:
- Ha d egyenlő –1, akkor a csoport 4-es rendű (vö. „ Gauss-egész szám ”), ha d egyenlő –3, a csoport 6 vagy 2 rendű, attól függően, hogy ω egyenlő-e (1 + $i$ √ 3 ) / 2 vagy $i$ √ 3 értékre (vö. „ Eisenstein-egész szám ”).
- Ellenkező esetben elegendő a standard ± 1 elemeit keresni. A norma egy kvadratikus integer egy + b ω egyenlő vagy, hogy egy 2 + ks 2 és k = -d , vagy - de csak akkor, ha d kongruens 1 modulo 4 - a ( a + b / 2) 2 + ks 2 ahol k = - d / 4. A d = –1 és d = –3 eseteket leszámítva k mindig szigorúan nagyobb, mint 1, tehát a norma pozitív, és csak akkor egyenlő 1-vel, ha b = 0 és a = ± 1.
Ha d szigorúan pozitív, az egységek csoportja izomorf a 2. rendű csoport és a végtelen monogén csoport közvetlen szorzatával szemben:
- Létezik egy másik egység ± 1:
  tudjuk ezt bizonyítani lemma által particularizing a bizonyítéka , hogy a tétel a Dirichlet egységek , vagy több elementarily az alábbiak szerint: a csökkentések h n / k n a lánctört a $\sqrt d$ különböznek check | h n 2 - dk n 2 | <1 + 2 $\sqrt d$ . Ezért van egy k egész szám, amely egyenlő | N (a) | az α [ $\sqrt d$ ] elemek végtelenig , sőt, mivel a ℤ [ $\sqrt d$ ] / k ℤ [ $\sqrt d$ ] véges (a k 2 bíborosnál ), a kongruens elemek végtelenig modulo k . Legyen α 1 és α 2 kettő közülük, se nem egyenlő, se nem ellentétes. Ekkor β: = α 1 α 2 c / k ∈ ℤ [ $\sqrt d$ ], | N (β) | = 1 és β ≠ ± 1.
- Konjugátumokra és ellentétekre való áttéréssel tehát szigorúan nagyobb az egység, mint 1. Legyen ρ a legkisebb.
- Bármely ε egység ± ρ k alakú egy bizonyos relatív k egész számra :
  Konjugátumokra és ellentétekre váltással feltételezhetjük, hogy ε ≥ 1. Mivel a geometriai szekvencia (ρ n ) növekszik és $+ \infty-re$ hajlik , létezik egy természetes n egész szám úgy, hogy ρ n ≤ ε <ρ n +1 , ezért 1 ≤ ερ - n <ρ. A ρ minimális értékével arra a következtetésre jutunk, hogy ε = ρ n .

Geometriai szerkezet

A geometriai szerkezetnek csak akkor van értelme, ha d pozitív, az itt vizsgált. (1, ω) a ℚ- vektortér ℚ ( $\sqrt$ $d$ ) alapja . Bármely egység α = x + y ω kielégíti αα c = ± 1, azaz a két egyenlet egyikét:

{\ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = \ pm 1 \ quad {\ text {vagy}} \ quad x ^ {2} + xy - {\ frac {d-1} {4}} y ^ {2} = \ pm 1.}

Mindkét esetben, ha az alapot (1, ω) ortonormálisnak tekintjük, megfigyelhetjük, hogy mindegyik egység két hiperbolának négy elágazásának egyikén helyezkedik el, amelyek fordulatával negyed fordulattal fordulnak, egyik a másikhoz képest. Az egységek a hiperbolák metszéspontjai a hálózat id [ω] hálózatnak megfelelő csúcsaival.

Mindegyik oldathoz ± 1-től eltérő α társul három másik: α c , –α és –α c (α c egyenlő vagy ellentétes α −1-vel , attól függően, hogy N (α) 1 vagy –1). Negyedenként egy van. Az első kvadrátot a pozitív abszcissza és a szigorúan pozitív ordináta pontjai alkotják, a többit pedig egy negyed fordulat forgatásával kapjuk meg (–1 tehát a második és 1 a negyedik negyedben van).

Különösen érdekes megoldás, hogy megfelel a következő definíciónak:

Egy alapvető egység (HU) egy egységet ρ olyan, hogy minden egység egyenlő ρ k vagy -ρ k bizonyos relatív egész k .

Négy alapvető egység van: ρ, ρ c , –ρ és –ρ c , Dirichlet tétele szerint. A fenti bizonyíték ρ-jével megegyezően az első kvadráté. Tudjuk észre, hogy ez, az egységek között az első negyedben (a ρ k számára k > 0 egész szám), amely a legkisebb abszcissza.

Folyamatos frakció

A III . Század kibocsátásának dátuma, némileg más formában. A Pell-Fermat-egyenlet kissé redukált formában a következő Diophantine-egyenlet :

{\ displaystyle x ^ {2} -dy ^ {2} = \ pm 1.}

Itt d szigorúan pozitív, négyzet nélküli egész számot jelöl . Az indiai matematikusok a VI th században , valamint az európai, a XVII th században már minden kifejlesztett egy hatékony módszer az állásfoglalás.

Tábornok

A cél az első negyedben található ρ alapegység megtalálása. Ha a két a és b egész számot ρ = a + b ω határozza meg, az ω konfigurációjának megfelelően, ez azt jelenti, hogy megtaláljuk a következő két egyenlet egyikének ( a , b ) oldalpárját a és b pozitív választással ( a, b ) különbözik a pár (1.0), és van a lehető legkisebb érték:

{\ displaystyle \ quad {\ begin {aligned} (1) \ quad \ omega & = {\ sqrt {d}} \ quad & {\ mathcal {N}} (a + b \ omega) & = a ^ {2 } -db ^ {2} \\ (2) \ quad \ omega & = {\ frac {1} {2}} (1 + {\ sqrt {d}}) \ quad és {\ mathcal {N}} ( a + b \ omega) & = a ^ {2} + ab - {\ frac {d-1} {4}} b ^ {2}. \ end {igazítva}}}

Helyezzük magunkat az ügybe (1). Legyen h / k egy két szigorúan pozitív egész számból álló tört, oly módon, hogy h különbözik 1-től és h 2 - dk 2 = ± 1. Ekkor a h / k frakció jól megközelíti az ω-t abban az értelemben, hogy különbségük abszolút értéke kisebb, mint 2 k 2 inverze . Ez biztosítja, hogy h / k az ω folytonos frakciójának csökkenése. Mivel ω másodfokú szám, folytonos törtje periodikus egy bizonyos rangtól. Az x 2 - dy 2 = ± 1 egyenlet megoldásai megfelelnek a periódus utolsó előtti helyzetében lévő redukáltaknak. Mivel a különféle reduktorok szigorúan növekvő számlálókkal és nevezőkkel rendelkeznek, az alapegység megfelel az első periódus redukciójának.

Abban az esetben, ha ω a típusa (2), a korábbi eredményeket továbbra is érvényben vannak, de ez a folyamatos frakció -ω c , hogy van szó.

Joseph-Louis Lagrange elméletileg az x 2 - dy 2 = ± 1 egyenletet tanulmányozza . Megmutatja, hogy végtelen megoldása van, hogy ezek a megoldások mind (a jel kivételével) az ω folytonos töredékében vannak, hogy periódusonként pontosan egyet találunk, és hogy helyzete megfelel az utolsó előttinek. Ezek az elemek lehetővé teszik a másodfokú egészek gyűrűinek szerkezeti tételének könnyű igazolását, az érvelés ugyanúgy érvényes a típusra (2).

Illusztráció példával

Tegyük fel, hogy ω egyenlő (1 + √ 61 ) / 2-vel. Figyeljük meg, hogy a 61 egyezik a 4 modulo-val. Számítsuk ki a –ω c folytonos frakcióját :

{\ displaystyle - \ omega _ {c} = {\ frac {1} {2}} ({\ sqrt {6}} 1-1) = 3 + {\ frac {{\ sqrt {6}} 1-7 } {2}} = 3 + {\ cfrac {1} {\ frac {{\ sqrt {6}} 1 + 7} {6}}}, \ quad {\ frac {{\ sqrt {6}} 1+ 7} {6}} = 2 + {\ frac {1} {\ frac {{\ sqrt {6}} 1 + 5} {6}}}.}

Ugyanazzal az algoritmussal folytatjuk:

{\ displaystyle {{\ frac {{\ sqrt {6}} 1 + 5} {6}} = 2 + {\ frac {1} {\ frac {{\ sqrt {6}} 1 + 7} {2} }}} \ quad {\ text {et}} \ quad {\ frac {{\ sqrt {6}} 1 + 7} {2}} = 7 + {\ frac {1} {\ frac {{\ sqrt { 6}} 1 + 7} {6}}}.}

Az utolsó teljes hányados megegyezik az elsővel, a tört folytatása ismétlés és teljes időszakunk van. Következtetjük a folytonos frakciót, valamint a redukciók kifejezését, amelyeket itt h i / k i észleltünk :

{\ displaystyle - \ omega _ {c} = [3, {\ overline {2, {\ color {Red} 2}, 7}}] \ quad {\ text {és}} \ quad {\ frac {h_ { 0}} {k_ {0}}} = 3, \; {\ frac {h_ {1}} {k_ {1}}} = {\ frac {7} {2}}, \; {\ frac {h_ {2}} {k_ {2}}} = {\ color {Red} {\ frac {17} {5}}}}

Az utolsó előtti periódusnak megfelelő index 2, arra következtetünk, hogy a = 17 és b = 5. Ellenőrizzük az egyenlőséget a (2) egyenletben. Észrevesszük, hogy ( d - 1) / 4 egyenlő 15-vel és:

{\ displaystyle 17 ^ {2} +17 \ szor 5-15 \ szor 5 ^ {2} = 289 + 85-375 = -1 \ quad {\ text {and}} \ quad \ rho = 17 + 5 \ omega .}

Chakravala módszer

Az indiai módszer némileg egyenértékű a folytonos frakciók módszerével. Az egyetlen különbség az algoritmusban az, hogy a folytonos frakció együtthatói nem feltétlenül pozitívak. Az alkalmazott egyezmény abból áll, hogy az együtthatót úgy választják meg, hogy a teljes hányados abszolút értékben a lehető legnagyobb legyen. Valójában egy kicsit felgyorsítja az algoritmust.

A Wallis által leírt és bemutatott gyorsítót használja, amely a folytonos frakciókra is érvényes. Ha az egyik rendelkezik egy másodfokú egész α szabvány, abszolút érték, értéke 2, akkor α 2 /2 egység, és ha van egy másodfokú egész szabvány, abszolút érték, egyenlő 4, majd a nyolcadik annak kocka egy Mértékegység.

A logika itt algebrai és nem analitikus, mint Lagrange-ban, az egységcsoport szerkezetének magyarázatához kapcsolódó elméleti bemutatások következésképpen közelebb állnak ehhez a cikkhez, mint a folytonos frakciókhoz. Megtalálhatók a részletes cikkben. A módszer kifejlesztésének idején az indiai matematikusok nem foglalkoztak ilyen jellegű kérdésekkel. A bizonyítékok a munkájuk modern szemléletének következményei.

Megjegyzések és hivatkozások

Például Hardy és Wright 1968 , p. 208. ( 4. kiadás), 14.4.
(de) JPG Lejeune Dirichlet és R. Dedekind (szerk.), Vorlesungen über Zahlentheorie (en) , Braunschweig, Vieweg und Sohn,1871( 1 st szerk. 1863) ( olvasható online ), trad. A számelmélet értekezése , C. Duverney, Tricorne, Genf, 2006 ( ISBN 2829302893 ) .
Ez annak a következménye, hogy a egyenlete Pell x 2 - Ay 2 = 1 egy négyzet-mentes, van egy végtelen számú megoldást, lásd (a) Harold Stark , Bevezetés a Számelmélet , Cambridge, MIT Press ,1978( ISBN 978-0-262-69060-7 ) , p. 274-275.
(a) William J. LeVeque (a) , elemi elmélete a számok , Dover,2014( online olvasható ) , p. 114-115.
Az inverziók közelében, amelyek ellentétjeikkel ω páratlan negatív hatványai vannak.
Diophantosz Alexandria beszél kifejezetten egy egyenlet, az ilyen jellegű könyvében Arithmetica ( (en) Leonard Eugene Dickson , History of the Theory of Numbers (hu) [ részlete kiadásban ], repülés. 2).
Brahmagupta például egy általános megoldási módszer premisszáit dolgozza ki ( (en) John Stillwell , Matematika és története [ a kiadások részlete ], 2010, p. 75-77 ).
Hosszú episztoláris közlemény jelenik meg erről a témáról, vö. (la) John Wallis , Commercium epistolicum de quæstionibus quibusdam mathematicis nuper habitum , Oxonii: Excudebat A. Lichfield, Impensis Tho. Robinson,1658.
Ezeket az eredményeket Bruyset (Lyon) és Desaint (Párizs), L. Euler és JL Lagrange, Elements of algebra ,1774. Ez a könyv tartalmazza Lagrange Euler Algebra elemeinek kiegészítéseit, Joseph-Alfred Serret , Œuvres de Lagrange , t . VII., Gauthier-Villars ,1877( online olvasható ) , p. 5-180. Lásd még Joseph-Alfred Serret , Œuvres de Lagrange , vol. Én, Gauthier-Villars ,1877( online olvasható ) , p. 671-731, „Számtani probléma megoldása”, 1766-1769.
Wallis 1658 .
Az elemzés javasolnak (by) John J. O'Connor és Edmund F. Robertson , "Pell egyenlet" a MacTutor History of Mathematics archiválni , University of St Andrews ( olvasható online ).

Bibliográfia

(en) David A. Cox , az $x 2 + ny 2$ forma $prímái$ , Wiley,1997( 1 st szerk. 1989) ( ISBN 978-0-47119079-0 )
(en) GH Hardy és EM Wright , Bevezetés a Theory of számok ( 1 st szerk. 1938) [ Kiskereskedelmi Editions ]
(en) Kenneth Ireland és Michael Rosen , A modern számelmélet klasszikus bevezetése , Springer, koll. " GTM " ( n ° 84.);1990( Repr. 1998), 2 th ed. , 389 p. ( ISBN 978-0-387-97329-6 , online olvasás )
Pierre Samuel , algebrai számelmélet [ a kiadás részlete ]
Jean-Pierre Serre , számtan tanfolyam ,1970[ a kiadások részlete ]