Trochoidális duzzanat

A folyadékdinamikában a trochoidális duzzanat Euler-egyenletek pontos megoldása . 1802-ben von Gerstner báró fedezte fel, periodikus formájú gravitációs hullámokat ír le, amelyek végtelen mélységű, összenyomhatatlan folyadék felületén terjednek ki , állandó állapotban . Az áramlás szabad felülete cikloid (vagy trochoid , Gerstner kifejezésével élve).

Ez az örvényáramlás és a Lagrang-koordináták használatának klasszikus példája . Az örvény a folyadék részecskék pályájának burkolata , amelyek itt körök, amelyek sugara a mélységtől függően változik. Ez a hipotézis nincs összhangban a Stokes-sodródással megnyilvánuló kísérleti megfigyelésekkel . Másrészt a fázis sebessége ebben a modellben független a duzzanat amplitúdójától , a rendellenességek által motivált elméleti tanulmányi hullám akkor nemlineáris (mint a Stokes-hullám és a cnoidális hullám ). Ezen okok miatt (és annak ellenére, hogy ez az egyszerű modell nem alkalmazható egy véges mélységű áramláshoz), a trochoidális duzzanat ma csak elméleti és didaktikai szempontból érdekes.

Azonban még mindig használják a számítógépes grafika a reális renderelés a hullámok . A mező két dimenzióra bővül, gyakran egy gyors Fourier-transzformációs algoritmust használva az animációhoz (valós időben).

Feltételezések és leírás

Állandó és periodikus áramlást keresünk az űrben, és Lagrang-féle leírást használunk . Úgy gondoljuk :

1. az áramlás vízszintes tengellyel rendelkező hengeres görgők mentén zajlik, amely kiküszöböli a tér méretét (síkdeformációk);
2. nyugalmi állapotban a folyadék homológ elemei mélységben vízszintes vonalakat foglalnak el  ;y{\ displaystyle y}
3. a folyadék összes részecskéje egyenletes lüktetéssel kering a rögzített középpontú és sugarú körök körül ;r(y){\ displaystyle r (y)}
4. A sugár csökkenő függvény;r(y){\ displaystyle r (y)}
5. A fáziseltolódás két olyan részecske között, amelyek forgásközpontjai vízszintesen vannak igazítva, arányos az e központok közötti vízszintes távolsággal.

A folyadékrészecskék mozgása a felszínen akkor

x(nál nél,b,t)=nál nél+ekbkbűn⁡(k(nál nél+vs.t)),Y(nál nél,b,t)=b-ekbkkötözősaláta⁡(k(nál nél+vs.t)),{\ displaystyle {\ begin {aligned} X (a, b, t) & = a + {\ frac {\ mathrm {e} ^ {kb}} {k}} \ sin \ balra (k (a + ct) \ jobbra], \\ Y (a, b, t) & = b - {\ frac {\ mathrm {e} ^ {kb}} {k}} \ cos \ balra (k (a + ct) \ jobbra) , \ end {igazítva}}}

hol és hol vannak a folyadék részecskék helyzete a síkban pillanatnyilag , hol van a vízszintes és a függőleges koordináták (pozitívan számolva felfelé, a gravitációval ellentétes irányban). A Lagrange-koordináta keresse a folyadék részecskék, jelölik központok a körpálya által leírt a folyadék részecskék sebessége állandó Ezenkívül a hullámszám (és a hullámhossz ), míg az a fázis sebessége a hullám az irányba . A fázissebesség kielégíti a diszperziós összefüggést  : x=x(nál nél,b,t){\ displaystyle x = X (a, b, t)}y=Y(nál nél,b,t){\ displaystyle y = Y (a, b, t)}(x,y){\ displaystyle (x, y)}t{\ displaystyle t}x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y} (nál nél,b){\ displaystyle (a, b)}(x,y)=(nál nél,b){\ displaystyle (x, y) = (a, b)}vs.exp⁡(kb).{\ displaystyle c \, \ exp (kb).}k=2π/λ{\ displaystyle k = 2 \ pi / \ lambda}λ{\ displaystyle \ lambda}vs.{\ displaystyle c}x{\ displaystyle x}

vs.2=gk,{\ displaystyle c ^ {2} = {\ frac {g} {k}},}

amely nem függ a vályútól , és ez a fázissebesség megegyezik a mély vízben lévő Airy hulláméval . H{\ displaystyle H}vs.{\ displaystyle c}

A szabad felület természetesen izobár, ezért elegendő annak meghatározása, hogy pózoljon , ahol állandó (nem pozitív). A legmagasabb hullámok a következőknek felelnek meg  : címerük csomósor . Míg a legmagasabb rendű (lehessen beállítani) Stokes hullám van egy csúcsa szöge 120 °, hogy a trochoidális hullám nulla. b=bs{\ displaystyle b = b_ {s}}bs{\ displaystyle b_ {s}}bs=0{\ displaystyle b_ {s} = 0}

A trochoidális hullám vályú van . Ez egy periodikus hullám, térben , hullámhosszúsággal, valamint időszakos időben, időszakbanH=(2/k)exp⁡(kbs){\ displaystyle H = (2 / k) \ exp (kb_ {s})}x{\ displaystyle x}λ;{\ displaystyle \ lambda;} T=λ/vs.=2πλ/g.{\ displaystyle T = \ lambda / c = {\ sqrt {2 \ pi \ lambda / g}}.}

A trochoidális duzzadás örvénye : ϖ{\ displaystyle \ varpi}

ϖ(nál nél,b,t)=-2kvs.e2kb1-e2kb,{\ displaystyle \ varpi (a, b, t) = - {\ frac {2 \, k \, c \, \ mathrm {e} ^ {2kb}} {1- \ mathrm {e} ^ {2kb}} },}

Ez a (lagrangi) mélységtől függ, és látjuk, hogy gyorsan csökken. b{\ displaystyle b}

Alkalmazás számítógépes grafikára

Könnyen kiterjeszthetjük a fenti egyenleteket egy 2D-s felületi modellre (tehát 3D-re) a tengerek és tavak számítógépes grafikában történő animálásához, mert Gerstner klasszikus megoldása pontosan kielégíti a szabad felület alatti tökéletes folyadék áramlásának nemlineáris egyenleteit ; a 2D kiterjesztés azonban nem fogja pontosan kielégíteni ezeket az egyenleteket (bár hozzávetőlegesen, mindaddig, amíg a linearizált Lagrang-leírás sebességpotenciált használ ). Könnyen animálhatjuk a szél által izgatott vízi felületet nagyon hatékonyan, a gyors Fourier-transzformációnak (FFT) köszönhetően. A megjelenítés annál meggyőzőbb, hogy a szabad felület alakváltozása szabálytalanságokat mutat (az áramlás Lagrang-féle leírása alapján): kúpos gerincek és lapított üregek.

A matematikai leírását a szabad felület a trochoidális duzzad a következőképpen zajlik: a vízszintes koordináták vannak jegyezni , és , és a függőleges koordináta ,, az átlagos szabad felülete van , ahol számít pozitívan felfelé, az ellentétes irányba, hogy a gravitációs az intenzitás . A szabad felülete van leírva egy paraméteres egyenlet a paraméterek , és az idő, amely függvénye a koordinátáit pontok az átlagos felület: körül, amelyben a felületi folyadék részecskék örvény. A paraméteres egyenlet a szabad felület és az: x{\ displaystyle x}z{\ displaystyle z}y{\ displaystyle y}y=0{\ displaystyle y = 0}y{\ displaystyle y}g{\ displaystyle g}α{\ displaystyle \ alpha}β,{\ displaystyle \ beta,}t{\ displaystyle t}(x,y,z)=(α,0,β){\ displaystyle (x, y, z) = (\ alfa, 0, \ béta)}x=ξ(α,β,t),{\ displaystyle x = \ xi (\ alfa, \ béta, t),} y=ζ(α,β,t){\ displaystyle y = \ zeta (\ alpha, \ beta, t)}z=η(α,β,t){\ displaystyle z = \ eta (\ alfa, \ béta, t)}

ξ=α-∑m=1Mkx,mkmnál nélmtanh⁡(kmh)bűn⁡(θm),η=β-∑m=1Mkz,mkmnál nélmtanh⁡(kmh)bűn⁡(θm),ζ=∑m=1Mnál nélmkötözősaláta⁡(θm)ésθm=kx,mα+kz,mβ-ωmt-ϕm,{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ xi & = \ alpha - \ sum _ {m = 1} ^ {M} {\ frac {k_ {x, m}} {k_ {m}}} \, {\ frac {a_ {m}} {\ tanh \ bal (k_ {m} \, h \ jobb)}}, \ sin \ bal (\ theta _ {m} \ jobb), \\\ eta & = \ beta - \ sum _ {m = 1} ^ {M} {\ frac {k_ {z, m}} {k_ {m}}} \, {\ frac {a_ {m}} {\ tanh \ balra (k_ { m} \, h \ right)}} \, \ sin \ bal (\ theta _ {m} \ right), \\\ zeta & = \ sum _ {m = 1} ^ {M} a_ {m} \ , \ cos \ left (\ theta _ {m} \ right) \ quad {\ text {et}} \\\ theta _ {m} & = k_ {x, m} \, \ alpha + k_ {z, m } \, \ beta - \ omega _ {m} \, t- \ phi _ {m}, \ end {igazított}}}

ahol a hiperbolikus tangens függvény , száma hullámú alkatrészek tekinthető, a amplitúdója a komponensek és azok fázisok. Másrészt a hullám száma és a lüktetést . Ez utóbbi kettő, és a diszperziós viszony miatt nem független  : tanh{\ displaystyle \ tanh}M{\ displaystyle M}nál nélm{\ displaystyle a_ {m}}m=1...M{\ displaystyle {m = 1 \ pont M}}ϕm{\ displaystyle \ phi _ {m}}km=(kx,m2+kz,m2){\ displaystyle {k_ {m} = \ scriptstyle {\ sqrt {(k_ {x, m} ^ {2} + k_ {z, m} ^ {2})}}}}ωm{\ displaystyle \ omega _ {m}}km{\ displaystyle k_ {m}}ωm,{\ displaystyle \ omega _ {m},}

ωm2=gkmtanh⁡(kmh),{\ displaystyle \ omega _ {m} ^ {2} = g \, k_ {m} \, \ tanh \ bal (k_ {m} \, h \ jobb),}

hol van az átlagos áramlási mélység. A mély vízben ( ) a hiperbolikus tangens hajlamos a: . A komponensek és a vízszintes hullámvektor meghatározzák a komponens terjedési irányáth{\ displaystyle h}h→∞{\ displaystyle h \ to \ infty}tanh⁡(kmh)→1{\ displaystyle {\ tanh (k_ ​​{m} \, h) \ - 1}}kx,m{\ displaystyle k_ {x, m}}kz,m{\ displaystyle k_ {z, m}}km{\ displaystyle {\ boldsymbol {k}} _ {m}}m.{\ displaystyle m.}

A választás a különböző paraméterek , valamint az és az átlagos mélysége határozza meg az alak a szabad felület. Az indokolt választás lehetővé teszi az FFT gyors frissítését. Leggyakrabban az űrben egy szabályos rácson választjuk ki a hullámszámokat . Ezért az amplitúdók és a fázisok tetszőlegesek, de varianciasűrűség-spektrumuk meghatároz egy bizonyos tengeri állapotot . Végül az FFT algoritmusnak köszönhetően a tenger felszínét periodikus folytonosságként szimulálhatjuk térben és időben, egy facetizációs algoritmus segítségével; az időbeli periodicitást a for által megadott frekvenciák enyhe eltolásával szimuláljáknál nélm,kx,m,kz,m{\ displaystyle a_ {m}, k_ {x, m}, k_ {z, m}}ϕm{\ displaystyle \ phi _ {m}}m=1,...,M,{\ displaystyle {m = 1, \ pont, {M},}}h{\ displaystyle h}(kx,kz){\ displaystyle (k_ {x}, k_ {z})}nál nélm{\ displaystyle a_ {m}}ϕm{\ displaystyle \ phi _ {m}} ωm{\ displaystyle \ omega _ {m}}ωm=mΔω{\ displaystyle \ omega _ {m} = m \, \ Delta \ omega}m=1,...,M.{\ displaystyle {m = 1, \ pont, {M}.}}

A megjelenítéshez gyakran szükségünk van a normál vektorra a pontok rácsán is a nézetek megvilágításához. A keresztterméknek ( ) köszönhetően kapjuk meg : nem{\ displaystyle {\ boldsymbol {n}}}×{\ displaystyle \ times}

nem=∂s∂α×∂s∂βval vels(α,β,t)=(ξ(α,β,t)ζ(α,β,t)η(α,β,t)).{\ displaystyle {\ boldsymbol {n}} = {\ frac {\ részleges {\ boldsymbol {s}}} {\ részleges \ alpha}} \ szer {\ frac {\ részleges {\ boldsymbol {s}}} {\ részleges \ beta}} \ quad {\ text {}} \ quad {\ boldsymbol {s}} (\ alpha, \ beta, t) = {\ begin {pmatrix} \ xi (\ alpha, \ beta, t) \\\ zeta (\ alpha, \ beta, t) \\\ eta (\ alpha, \ beta, t) \ end {pmatrix}}.}

A készülék normál vektor ezután , ahol az euklideszi normája aenem=nem/‖nem‖,{\ displaystyle {\ boldsymbol {e}} _ {n} = {\ boldsymbol {n}} / \ | {\ boldsymbol {n}} \ |,}‖nem‖{\ displaystyle \ | {\ félkövér szimbólum {n}} \ |}nem.{\ displaystyle {\ boldsymbol {n}}.}

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

1. A trochoidális duzzanat nem a sebességpotenciálból származik, és a hidraulikában általánosan elfogadott feltételezések szerint ezért nem a nyomáspotenciálból származik. Ez ösztönözte G. Stokes-t arra, hogy megírja, hogy „a Gerstner-duzzadás érdeke nem fizikai jelentőségéből fakad, hanem a matematikai elemzés tökéletlenségéből fakad ; ezért érdeklődés egy olyan jelenség "tanulmányozása" iránt, amelynek minden körülménye matematikailag teljes szigorúsággal kifejezhető, és amely az ötletek rögzítésére szolgáló kényelmes séma szerepét tölti be. » Idézi Bouasse 1924 , p.  261.

Hivatkozások

1. Vö. J. Tessendorf , SIGGRAPH 2001 , A természet szimulálása: Reális és interaktív technikák ,2001( olvassa el online ) , "Az óceánvíz szimulálása"
2. H. Bouasse szerint: Duzzadások , ráncok, víz és árapály , Librairie Delagrave,1924, „1. Progresszív duzzanat”, p.  26-27
3. Szerint A. Boulanger , Hydraulique Générale , vol.  I: Alapelvek és problémák , Octave Doin & Fils,1909, „II. Tengeri duzzadás, csapkodás ”, p.  98-102
4. Vö. Bouasse 1924 , p.  41
5. Vö. Boulanger 1909 , p.  111.
6. H. Lamb , Hidrodinamika , Cambridge University Press,1879( újranyomtatás,  1932, 6.) ( ISBN  978-0-521-45868-9 , OCLC  30070401 ) , "251. §".
7. Vö. GG Stokes , Mathematical and Physical Papers , vol.  Én, Cambridge University Press,1880( OCLC  314316422 , olvasható online ) , „Kiegészítés az oszcillációs hullámok elméletéről szóló cikkhez ”, p.  314-326
8. Lásd pl. Tessendorf 2001 .

Bibliográfia

• de) Theorie der Wellen , a Bohém Királyi Akadémia emlékiratai,1804
  • trad. A. Barré de Saint-Venant , "  A hullámok elmélete  ", Annales des Ponts et Chaussées , vol.  1,1887, P.  31-86
• ADD Craik , „  A vízhullám-elmélet eredete  ”, Fluid Mechanics Annual Review , Vol.  36,2004, P.  1–28 ( DOI  10.1146 / annurev.fluid.36.050802.122118 , Bibcode  2004AnRFM..36 .... 1C )
• WJM Rankine , „  A hullámok pontos alakjáról a mély víz felszínénél  ”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London , vol.  153,1863, P.  127–138 ( DOI  10.1098 / rstl.1863.0006 )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">