Rayleigh-Taylor instabilitás

A Rayleigh-Taylor , neve a brit fizikus Lord Rayleigh és GI Taylor , egy instabilitása a interfész két folyadékot a sűrűségek különböző, eredő tolóerő a nehezebb folyadékot a könnyebb folyadék (gyorsulás esetén egy dinamikus rendszer vagy a kezdetben statikus rendszer gravitációja a fényfázis felé irányul). Ezt a jelenséget például a csillagközi felhők keletkezésének lökéshulláma váltja ki . Ebben a konkrét esetben, amikor a sokk a rendszer felgyorsításának oka, Richtmyer-Meshkov instabilitásáról lehet beszélni . Hasonló helyzet áll fenn, amikor a gravitáció két különböző sűrűségű folyadékot érint (a sűrűbb folyadék a kevésbé sűrű folyadék felett fekszik), például a víz felszínén található ásványi olajat.

Tekintsünk két, egymással nem elegyedő folyadékot , amelyek két párhuzamos síkban helyezkednek el, amelyek közül a legnehezebb túlnyúlik a legkönnyebben, és mindkettő földi gravitációnak van kitéve. Az egyensúly a legkisebb zavar esetén is instabil : minden zavar felerősíti és felszabadítja a potenciális energiát , a nehezebb folyadék fokozatosan elnyeri az alsó felét a gravitációs mező hatására, és a könnyű folyadék átmegy a fentiekre. Lord Rayleigh ezt a konfigurációt tanulmányozta. A GI Taylor fontos felfedezése az volt, hogy megmutassa, hogy ez a helyzet egyenértékű azzal a helyzettel, amely akkor következik be, amikor a folyadékokat (minden gravitáción kívül) felgyorsítják , miközben a könnyű folyadék a nehezebb folyadék belsejében mozog . Ez történik, különösen, amikor dobja a poharat a földre meghaladó gyorsulással a gravitáció a Föld g .

Az instabilitás hatásának növekedésével az egyenetlenségek („gödröcskék”) lefelé terjednek a Rayleigh-Taylor polipokba, amelyek végül még keverednek is. Ezért nevezik Rayleigh - Taylor instabilitását néha ujjongásnak . Az öngyújtó folyadék felfelé tágul, mint egy atomgomba .

Ez a jelenség számos gyakori helyzetben figyelhető meg, nemcsak sókupolákban vagy inverziós rétegekben , hanem asztrofizikában és elektrokinetikában is . A Rayleigh-Taylor polipok különösen jól láthatóak a Rák-ködben , ahol a rák pulzárja által generált plerion túlcsordul az 1000 évvel ezelőtti szupernóva- robbanás vetületein .

Rayleigh - A Taylor instabilitást nem szabad összetéveszteni a Plateau-Rayleigh instabilitással (amelyet néha " kerti tömlő instabilitásának " is neveznek ): ez utóbbi, amely folyékony fúvókákban fordul elő, a feszültségnek köszönhető. Felületes, amely hajlamos egy hengeres sugár szétszórására azonos térfogatú, de kevésbé fajlagos felületű cseppek vetülete.

Lineáris stabilitás elemzése

A nem-viszkózus két - dimenziós Rayleigh - Taylor instabilitás kiváló próbapad a matematikai stabilitásának tanulmányozása következtében, hogy rendkívül egyszerű természete az eredeti konfiguráció, által leírt átlagos sebessége területen, mint ahol a mező gravitációs van egy interfész közötti folyadékok a sűrűség a felső zónában, és az alsó zónában. Kimutatták, hogy ebben a szakaszban, amikor a legnehezebb folyadék fent van, az interfész legkevesebb zavara exponenciálisan , a sebességgel ${\ displaystyle U (x, z) = W (x, z) = 0, \,}$ ${\ displaystyle {\ textbf {g}} = - g {\ hat {\ textbf {z}}}. \,}$ ${\ displaystyle z = 0 \,}$ ${\ displaystyle \ rho _ {G} \,}$ ${\ displaystyle \ rho _ {L} \,}$

{\ displaystyle \ exp (\ gamma \, t) \ ;, \ qquad {\ text {with}} \ quad \ gamma = {\ sqrt {{\ mathcal {A}} g \ alpha}} \ quad {\ text {et}} \ quad {\ mathcal {A}} = {\ frac {\ rho _ {\ text {heavy}} - \ rho _ {\ text {light}}} {\ rho _ {\ text {heavy} } + \ rho _ {\ text {light}}}}, \,}

ahol a növekedési sebesség, a térbeli hullámszám és az Atwood-szám . $\ gamma \,$ $\ alfa \,$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \,}$

Lineáris stabilitási elemzés

A zavar hozta a rendszer által leírt sebesség terén végtelenül kis amplitúdójú. Mivel feltesszük, hogy a folyadék összenyomhatatlan, ez a sebesség mező lehessen beállítani, és leírható a jelenlegi vonalakon . ${\ displaystyle (u '(x, z, t), w' (x, z, t)). \,}$

{\ displaystyle {\ textbf {u}} '= (u' (x, z, t), w '(x, z, t)) = (\ psi _ {z}, - \ psi _ {x}) , \,}

ahol az indexek a részleges levezetéseket jelzik . Ezenkívül egy kezdetben álló mozgásban lévő, összenyomhatatlan folyadékban nincs örvény, és a folyadék sebességmezője továbbra is irrotációs , azaz . Az aktuális sort tekintve, Ezután, mivel a rendszer invariáns az x irányú bármely fordítással, megoldást kereshetünk az ${\ displaystyle \ nabla \ times {\ textbf {u}} '= 0 \,}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = 0. \,}$

{\ displaystyle \ psi \ left (x, z, t \ right) = e ^ {i \ alfa \ left (x-ct \ right)} \ Psi \ left (z \ right), \,}

hol van a térbeli hullámszám . Tehát a probléma az egyenlet megoldásával jön létre $\ alfa \,$

{\ displaystyle \ left (D ^ {2} - \ alpha ^ {2} \ right) \ Psi _ {j} = 0, \, \, \, \ D = {\ frac {d} {dz}}, \, \, \, \ j = L, G. \,}

A probléma megoldásának mezője a következő: az indexelt „L” folyadék a régióra korlátozódik , míg az „G” indexelt folyadék a felső félsíkon helyezkedik el . A teljes megoldás meghatározásához meg kell határozni a határ- és az interfészfeltételeket. Ez meghatározza a c gyorsaságot , amely viszont a rendszer stabilitási tulajdonságait szabályozza. ${\ displaystyle - \ infty <z \ leq 0 \,}$ ${\ displaystyle 0 \ leq z <\ infty \,}$

Ezen feltételek közül az elsőt a határadatok adják meg. A perturbáció sebességek kell kielégíteni egy feltétele vízzárás (nulla áramlás), megakadályozza a folyadék kifelé tágul a domain a vizsgálat. Így mentén , és a . Ami az áramvonalakat illeti , ez meg van írva ${\ displaystyle w '_ {i} \,}$ ${\ displaystyle z = \ pm \ infty. \,}$ ${\ displaystyle w_ {L} '= 0 \,}$ ${\ displaystyle z = - \ infty \,}$ ${\ displaystyle w_ {G} '= 0 \,}$ ${\ displaystyle z = \ infty \,}$

{\ displaystyle \ Psi _ {L} \ left (- \ infty \ right) = 0, \ qquad \ Psi _ {G} \ left (\ infty \ right) = 0. \,}

A másik három feltételt az interfész viselkedése biztosítja . ${\ displaystyle z = \ eta \ bal (x, t \ jobb) \,}$

A függőleges sebességkomponens folytonossága; A függőleges sebességét alkatrészt kell csatlakoztatni: . Ami az áramvonalakat illeti , ez meg van írva ${\ displaystyle z = \ eta}$ ${\ displaystyle w '_ {L} = w' _ {G} \,}$

{\ displaystyle \ Psi _ {L} \ bal (\ eta \ jobb) = \ Psi _ {G} \ bal (\ eta \ jobb). \,}

Egy fejlesztés korlátozott az egyik szerez ${\ displaystyle z = 0 \,}$

{\ displaystyle \ Psi _ {L} \ bal (0 \ jobb) = \ Psi _ {G} \ bal (0 \ jobb) + {\ text {o (z)}}, \,}

Ez az interfész feltételét kifejező egyenlet.

Szabad felület állapota: A szabad felület mentén a következő kinematikai feltételek érvényesek: ${\ displaystyle z = \ eta \ bal (x, t \ jobb) \,}$

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges \ eta} {\ részleges t}} + u '{\ frac {\ részleges \ eta} {\ részleges x}} = w' \ bal (\ eta \ jobb). \, }

Linearizálással egyszerűen megszerezzük

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges \ eta} {\ részleges t}} = w '\ bal (0 \ jobb), \,}

ahol a sebesség linearizálódik a felszínen . Normál módú ábrázolások és korszerűsítések segítségével ez a feltétel a második interfészfeltétel. ${\ displaystyle w '\ left (\ eta \ right) \,}$ ${\ displaystyle z = 0 \,}$ ${\ displaystyle c \ eta = \ Psi \,}$

Nyomás ugrás az interfészen: Ha figyelembe vesszük a felületi feszültséget, akkor az interfészen keresztüli nyomásugrást a Laplace-egyenlet adja meg : ${\ displaystyle z = \ eta}$

{\ displaystyle p_ {G} \ left (z = \ eta \ right) -p_ {L} \ left (z = \ eta \ right) = \ sigma \ kappa, \,}

ahol σ a felületi feszültség és a κ a görbülete a felület, egy közelítése melyet úgy kapunk, linearizálá:

{\ displaystyle \ kappa = \ nabla ^ {2} \ eta = \ eta _ {xx}. \,}

Így,

{\ displaystyle p_ {G} \ left (z = \ eta \ right) -p_ {L} \ left (z = \ eta \ right) = \ sigma \ eta _ {xx}. \,}

Ez a feltétel azonban magában foglalja a teljes nyomást (= alapnyomás + zavar), vagyis

{\ displaystyle \ left [P_ {G} \ left (\ eta \ right) + p '_ {G} \ left (0 \ right) \ right] - \ left [P_ {L} \ left (\ eta \ right ) + p '_ {L} \ bal (0 \ jobb) \ jobb] = \ sigma \ eta _ {xx}. \,}

(Mint mindig, tudjuk linearizáljuk a perturbációja a különböző mértékű a felület mentén Z = 0. ) A kifejező hidrosztatikus egyensúlyi , formájában

{\ displaystyle P_ {L} = - \ rho _ {L} gz + p_ {0}, \ qquad P_ {G} = - \ rho _ {G} gz + p_ {0}, \,}

azt kapjuk

{\ displaystyle p '_ {G} -p' _ {L} = g \ eta \ bal (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ jobb) + \ sigma \ eta _ {xx}, \ qquad {\ text {on}} z = 0. \,}

A megváltoztatása a nyomás mező értékeli a jelenlegi funkciók, köszönhetően az egyenlet a vízszintes impulzus venni a linearizált Euler egyenletei a zavarok, a ami ${\ displaystyle {\ frac {\ részleges u_ {i} '} {\ részleges t}} = - {\ frac {1} {\ rho _ {i}}} {\ frac {p_ {i}'} {\ részleges x}} \,}$ ${\ displaystyle i = L, G, \,}$

{\ displaystyle p_ {i} '= \ rho _ {i} cD \ Psi _ {i}, \ qquad i = L, G. \,}

Utolsó egyenletre hivatkozva az ugrás feltételével,

{\ displaystyle c \ left (\ rho _ {G} D \ Psi _ {G} - \ rho _ {L} D \ Psi _ {L} \ right) = g \ eta \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ jobbra) + \ sigma \ eta _ {xx}. \,}

Az interfész második feltételének kihasználásával és a normál mód reprezentációjának használatával ez a kapcsolat válik ${\ displaystyle c \ eta = \ Psi \,}$

{\ displaystyle c ^ {2} \ balra (\ rho _ {G} D \ Psi _ {G} - \ rho _ {L} D \ Psi _ {L} \ jobbra) = g \ Psi \ balra (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ jobbra) - \ sigma \ alpha ^ {2} \ Psi, \,}

ahol az is haszontalan index (csak származékai), mivel ha $\ Psi \,$ ${\ displaystyle \ Psi _ {L} = \ Psi _ {G} \,}$ ${\ displaystyle z = 0. \,}$

Megoldás

Most, hogy a rétegzett áramlási modellt matematikailag leírták, a megoldás elérhető távolságban van. Szerint megoldjuk az áramvonalak egyenletét a peremfeltételekkel ${\ displaystyle \ left (D ^ {2} - \ alpha ^ {2} \ right) \ Psi _ {i} = 0, \,}$ ${\ displaystyle \ Psi \ bal (\ pm \ infty \ jobb) \,}$

{\ displaystyle \ Psi _ {L} = A_ {L} e ^ {\ alpha z}, \ qquad \ Psi _ {G} = A_ {G} e ^ {- \ alfa z}. \,}

Az első interfészfeltétel ezt érvényesíti , amely előírja a harmadik interfészfeltételt ${\ displaystyle \ Psi _ {L} = \ Psi _ {G} \,}$ ${\ displaystyle z = 0 \,}$ ${\ displaystyle A_ {L} = A_ {G} = A. \,}$

{\ displaystyle c ^ {2} \ balra (\ rho _ {G} D \ Psi _ {G} - \ rho _ {L} D \ Psi _ {L} \ jobbra) = g \ Psi \ balra (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ jobb) + \ sigma \ alpha ^ {2}. \,}

A megoldást ebbe az egyenletbe helyezve kialakítjuk a relációt

{\ displaystyle Ac ^ {2} \ alpha \ left (- \ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) = Ag \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right ) + \ sigma \ alpha ^ {2}. \,}

Az A mindkét oldalon leegyszerűsödik, és megmarad

{\ displaystyle c ^ {2} = {\ frac {g} {\ alpha}} {\ frac {\ rho _ {L} - \ rho _ {G}} {\ rho _ {L} + \ rho _ { G}}} + {\ frac {\ sigma \ alpha} {\ rho _ {L} + \ rho _ {G}}}. \,}

Ennek az eredménynek a teljes értelmezéséhez érdekes megvizsgálni azt az esetet, amikor a felületi feszültség nulla. Ebben az esetben,

{\ displaystyle c ^ {2} = {\ frac {g} {\ alpha}} {\ frac {\ rho _ {L} - \ rho _ {G}} {\ rho _ {L} + \ rho _ { G}}}, \ qquad \ sigma = 0, \,}

és így egyértelmű, hogy

ha , és c valós. Ez történik, amikor a legkönnyebb folyadék fent van; ${\ displaystyle \ rho _ {G} <\ rho _ {L} \,}$ ${\ displaystyle c ^ {2}> 0 \,}$
ha , és c tökéletesen tiszta: ez történik, ha a nehezebb folyadék felett van. ${\ displaystyle \ rho _ {G}> \ rho _ {L} \,}$ ${\ displaystyle c ^ {2} <0 \,}$

Tehát amikor a legnehezebb folyadék van a tetején ,, és ${\ displaystyle c ^ {2} <0 \,}$

{\ displaystyle c = \ pm i {\ sqrt {\ frac {g {\ mathcal {A}}} {\ alpha}}}, \ qquad {\ mathcal {A}} = {\ frac {\ rho _ {G } - \ rho _ {L}} {\ rho _ {G} + \ rho _ {L}}}, \,}

hol van az Atwood-szám . Csak a pozitív megoldást figyelembe véve látjuk, hogy a megoldás formájú ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \,}$

{\ displaystyle \ Psi \ left (x, z, t \ right) = Ae ^ {- \ alpha | z |} \ exp \ left [i \ alpha \ left (x-ct \ right) \ right] = A \ exp \ left (\ alpha {\ sqrt {\ frac {g {\ tilde {\ mathcal {A}}}} {\ alpha}}} t \ right) \ exp \ left (i \ alpha x- \ alpha | z | \ jobbra] \,}

és hogy az interfész η helyzetével társul : Állítsuk be most ${\ displaystyle c \ eta = \ Psi. \,}$ ${\ displaystyle B = A / c. \,}$

A szabad felület jellegzetes növekedési idejét kezdetben a következők adják meg: ${\ displaystyle z = \ eta (x, t), \,}$ ${\ displaystyle \ eta (x, 0) = \ Re \ bal \ {B \, \ exp \ left (i \ alpha x \ right) \ right \}, \,}$

{\ displaystyle \ eta = \ Re \ balra \ {B \, \ exp \ balra ({\ sqrt {{\ mathcal {A}} g \ alpha}} \, t \ jobbra) \ exp \ balra (i \ alfa x \ right) \ right \} \,}

amely az idő múlásával exponenciálisan növekszik. Itt B jelöli a nagysága a kezdeti zavar, és a valós része az összetett kifejezést zárójelben. ${\ displaystyle \ Re \ left \ {\ cdot \ right \} \,}$

Általában az instabilitás lineáris feltétele az, hogy a c komplex sebesség képzeletbeli része pozitív legyen. Végül a felületi feszültség helyreállítása csökkenti a c 2 modulusát, és ezért stabilizáló hatást fejt ki. Valóban van egy rövid hullámmező, amelynek felületi feszültsége stabilizálja a rendszert és megakadályozza az instabilitást.

Hosszú távú viselkedés

Az előző elemzés már nem érvényes, ha nagy amplitúdójú zavarral van dolgunk: ebben az esetben a növekedés nem lineáris, a polipok és a buborékok összefonódnak és örvényekben tekerednek fel. Amint azt a szemközti ábra szemlélteti, numerikus szimulációra van szükség a rendszer matematikai leírásához.

Megjegyzések és hivatkozások

DH Sharp, „ A Rayleigh-Taylor instabilitás áttekintése ”, Physica D , vol. 12,1984, P. 3–18 ( DOI 10.1016 / 0167-2789 (84) 90510-4 )
Drazin (2002) p. 50–51 .
HB Che, B. Hilko és E. Panarella, „ The Rayleigh - Taylor instabilitás a gömbcsípésben ”, Journal of Fusion Energy , vol. 13, n o 4,1994, P. 275–280 ( DOI 10.1007 / BF02215847 )
(en) Wang, C.-Y. & Chevalier RA “ Instabilitások és összetapadás az Ia típusú szupernóva maradványaiban ”, v1 verzió,2000.
(in) RJ Tayler ( szerk. ), W. Hillebrandt és P. Höflich , Csillag-asztrofizika , Supernova 1987a a nagy magellán felhőben , Bristol / Philadelphia, CRC Press ,1992, 356 p. ( ISBN 0-7503-0200-3 ) , p. 249–302 : vö. 274. oldal.
J. Jeff Hester , „ A rák köd: asztrofizikai kiméra ”, Asztronómia és asztrofizika éves áttekintése , vol. 46,2008, P. 127–155 ( DOI 10.1146 / annurev.astro.45.051806.110608 )
Drazin (2002) p. 48–52 .
találunk hasonló számítás munkájában Chandrasekhar (1981), §92, pp. 433–435.
Shengtai Li és Hui Li, " Parallel AMR Code for Compresssible MHD or HD Equations " , Los Alamos Nemzeti Laboratórium (hozzáférés : 2006. szeptember 5. )
IUSTI, " Richtmyer-Meshkov instabilitások numerikus szimulációja " ,2008. október 6(megtekintés : 2009. augusztus 20. )

Lásd is

Bibliográfia

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia „ Rayleigh-Taylor instabilitás ” című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .

Történelmi források

John William Strutt Rayleigh : „ Változó sűrűségű , összenyomhatatlan nehéz folyadék egyensúlyának jellemének vizsgálata ”, Proceedings of the London Mathematical Society , vol. 14,1883, P. 170–177 ( DOI 10.1112 / plms / s1–14.1.170 )(Az eredeti cikk a következő címen érhető el: https://web.archive.org/web/20061210173022/https://www.irphe.univ-mrs.fr/%7Eclanet/otherpaperfile/articles/Rayleigh/rayleigh1883.pdf .)
Geoffrey Ingram Taylor : „ A folyékony felületek instabilitása, amikor a síkjaikra merőleges irányba gyorsul fel ”, Proceedings of the Royal Society of London. A. sorozat, Matematika és Fizika , vol. 201, n o 10651950, P. 192–196 ( DOI 10.1098 / rspa.1950.0052 )

Friss irodalomjegyzék

Subrahmanyan Chandrasekhar , Hidrodinamikai és hidromágneses stabilitás , Doveri Közlemények ,tizenkilenc nyolcvan egy, 652 p. ( ISBN 978-0-486-64071-6 , online olvasás )
PG Drazin , Bevezetés a hidrodinamikai stabilitásba , Cambridge University Press ,2002, xvii + 238 oldal o. ( ISBN 0-521-00965-0 , online olvasás ) .
PG Drazin és WH Reid , hidrodinamikai stabilitás , Cambridge, Cambridge University Press ,2004( Utánnyomás 2 ND ), 626 p. ( ISBN 0-521-52541-1 , online olvasás )