Görög betűk a pénzügyi matematikában

A görög betűk vagy a görög vagy a görög a pénzügyi menedzsment lehetőségeinek alapvető eszközei . Ezek a főbb opcióértékelési modellekből származnak , különösen a Black Scholes modelljéből .

Ezek a mutatók kiszámítják az opció árára gyakorolt hatást az azt alkotó paraméterekben:

az alapul szolgáló eszköz (vagy azonnali ) ára , $S \, \!$
az opció (vagy sztrájk) által meghatározott lehívási ár , ${\ mathcal {}} K.$
a implikált volatilitás , $\ sigma \, \!$
az opció lejárata , vagyis az az idő, amely után az opció végrehajtható $T \, \!$
a kamatláb (vagy kamatláb ) . $r \, \!$

$d_ {1} = \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {T}} \ balra [\ ln \ balra (\ frac {S} {K} \ jobbra) + \ balra (r + \ frac {1} { 2} \ sigma ^ 2 \ jobbra) T \ jobbra]$

$d_ {2} = d_ {1} - \ sigma \ sqrt {T}$

$N '(x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ {2} / 2}$ , A sűrűségfüggvénye a csökkentett központú normális eloszlás .

$N (x) = \ int \ korlátozza ^ {x} _ {- \ infty} \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- t ^ {2} / 2} dt$ , A eloszlásfüggvénye a csökkentett központú normális eloszlás .

Definíciók

A Black és Scholes modellben kifejtett jelölések újbóli felvételével és az opció prémiumának jegyzetével a következő származékokat kapjuk . $P \, \!$

A delta

$\ delta = \ frac {\ részleges P} {\ részleges S}$

$\ delta_ {Hívás} = N (d_ {1})$

$\ delta_ {Put} = \ delta_ {Call} -1 = N (d_ {1}) - 1$

Az opció delta méri árának érzékenységét az alapul szolgáló ár adott változásával szemben.

A hívás díja az alapul szolgáló árak növekvő függvénye, míg az eladási díj csökkenő függvény . Valójában minél magasabb az alapul szolgáló ár, annál nagyobb a valószínűsége annak, hogy a hívás pénzben van. Szimmetrikusan, minél alacsonyabb az alapul szolgáló ár, annál nagyobb a valószínűsége annak, hogy a put a pénzben van. Tehát, ha egy opció delta értéke (abszolút értékben) egyenlő vagy közel 0,5, akkor azt mondják, hogy a pénznél van. $\ delta_ {call} \ ge 0$ $\ delta_ {put} \ le 0$

Ezen felül, és . Ezt úgy lehet megérteni, hogy a hívás szélső esetét nulla kötési árral vesszük alapul, amelynek nem lehet negatív ára. A prémium ez a lehetőség mindig egyenlő az alapul szolgáló ár: . Származtatott ügylete az alapul szolgáló árhoz viszonyítva tehát egyenlő lesz 1-vel. $\ delta_ {call} \ le 1$ $\ delta_ {put} \ ge -1$ $P_ {hívás} \, \! = S \, \!$

A szimmetrikus érvelés lehetővé teszi annak megértését, hogy a put delta miért nagyobb, mint -1.

Az opciós portfólió delta az egyes alkotó opciók deltáinak összege.

Megjegyzés: A hívás esetében a delta szükségszerűen pozitív (legrosszabb esetben nulla): egy vételi opció annál többet ér, minél magasabb az alapul szolgáló ár. Ezenkívül a hívás delta szükségszerűen 0 és 1 között van.
Az eladás esetében a delta szükségszerűen negatív (a legrosszabb esetben nulla): a fix opciós eladási opció annál drágább, mint az alárendeltség ára. alacsony. Az előzővel szimmetrikusan érvelve megmutathatjuk, hogy a put delta szigorúan -1 és 0 között van.

Gamma

fő cikk: gamma

$\ gamma_ {Hívás} = \ gamma_ {Put} = \ frac {\ részleges ^ 2 P} {\ részleges S ^ 2} = \ frac {N '(d_ {1})} {S \ sigma \ sqrt {T} }$

A gamma az opció árának konvexitását vagy termaxitását jelenti az alapul szolgáló eszköz árának megfelelően. Jelzi, hogy az opció ára hajlamos-e gyorsabban vagy lassabban mozogni, mint az alapul szolgáló ár. Analógia alapján összehasonlíthatjuk a delta sebességét, a gamma pedig a gyorsulást.

A gamma másik olvasata a delta evolúciójának iránya az alapul szolgáló ár ára szerint. A pozitív gamma azt jelzi, hogy az alap- és a delta ára ugyanabban az irányban mozog, míg a negatív gamma az ellenkezőjét mutatja.

Tetszik és azt mondjuk, hogy a hívás vagy eladási vevő gamma hosszú lesz, vagy a portfóliója gamma pozitív lesz, az eladó pedig gamma rövid vagy gamma negatív. Ha minden más dolog egyenlő, akkor a gamma akkor maximális, ha az opció a pénznél van (azaz amikor a delta értéke 0,5). A hosszú (úgynevezett hosszú ) és rövid (az úgynevezett rövid ) opciós pozíciókat különböző kötési áron (ugyanazon mögöttes alapon) tartalmazó portfólió gamma értéke tehát alakul, vagy akár előjelet is változik, attól függően, hogy az alapul szolgáló ár. $\ gamma_ {call} \ ge 0$ $\ gamma_ {put} \ ge 0$

Az opciós portfólió gamma az egyes alkotó opciók gamma összege.
A gamma az érettség csökkenő függvénye.

Theta

A Theta az opciós portfólióra fordított idő költsége (vagy nyeresége). Értékeli, hogy az idő múlása mennyiben befolyásolja az opció értékét. Egy hosszú opciós pozíció (pozitív gamma) theta negatív lesz. A kereskedőnek minden nap meg kell győződnie arról, hogy kifizeti-e napi thétáját, kihasználva a gammában elfoglalt hosszú pozícióját. Ezért inkább egy olyan opcióval szeretnénk hosszú lenni , amely kellőképpen ingatag, így a pozíció újbóli kiegyensúlyozásával fizethetünk a gamma kereskedésével eltelt időért.
$\ theta = - \ frac {\ részleges P} {\ részleges T}$

Az osztalékot nem fizető részvény európai felhívása :

$\ theta_ {call} = - \ frac {SN '(d_ {1}) \ sigma} {2 \ sqrt {T}} - rKe ^ {- rT} N (d_ {2})$

Egy európai put egy részvényre nem fizet osztalékot:

$\ theta_ {put} = - \ frac {SN '(d_ {1}) \ sigma} {2 \ sqrt {T}} + rKe ^ {- rT} N (-d_ {2})$

A rho

Ez a prémium változásának mértéke a kockázatmentes kamatláb függvényében.

$\ rho = \ frac {\ részleges P} {\ részleges r}$

$\ rho_ {call} = KTe ^ {- rT} N (d_ {2})$

$\ rho_ {put} = -KTe ^ {- rT} N (-d_ {2})$

Vega

${\ displaystyle \ nu _ {call} = \ nu _ {put} = {\ frac {\ részleges P} {\ részleges \ sigma}} = S {\ sqrt {T}} N '(d_ {1})}$

A Vega az implicit volatilitás iránti érzékenységet méri (lásd Black-Scholes modell ). A nu kisbetű képviseli, mert a "vega" név önmagában nem görög betűnév. Tetszik és azt mondjuk, hogy a hívás vagy eladási vevő sokáig fog élni a zöldséggel, vagy hogy portfóliója veg pozitív lesz, az eladó pedig rövid ( rövid ) zöldség vagy negatív veg. ${\ displaystyle \ nu _ {call} \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ nu _ {put} \ geq 0}$

A gammától és a tétától eltérően a zöldség az érettség növekvő függvénye. Így a volatilitás párhuzamos növekedése nagyobb hatással lesz a távoli lejárati idejű opciókra, mint a hozzá közel állókra. A kereskedők és a piaci döntéshozók által általánosan értékelt pozíciónak tehát globálisan pozitív gamma-pozíciója van (érzékeny a nagyobb piaci mozgásokra) és negatív vega, amely rövid opciók és hosszú opciók eladásából áll.

használat

Kockázati mutatók

A görögök mindenekelőtt azt mutatják, hogy milyen kockázatokkal jár az, aki opciókat vásárolt vagy adott el. E kockázatokat származásuk szerint bontják: az alapul szolgáló, implicit volatilitás árát, az időt és a kamatlábat.

Ezért lehetővé teszik ezeknek a paramétereknek a finom kezelését, akár kereskedés szintjén , akár a kockázatkezelési szolgáltatások szintjén azokban a struktúrákban, ahol léteznek.

A görögök rendkívül fontosak, mert lehetővé teszik az opciók portfóliójához kapcsolódó kockázatok fedezését. Általánosságban a kereskedők nem az egyes opciókhoz kapcsolódó kockázatokat, hanem az általuk felelősséggel rendelkező opciós portfólió általános kockázatait fedezik. A kockázatkezelő szoftver megadja nekik ezeknek a görögöknek az értékeit, hogy közvetlenül tudják, milyen termékeket vásárolnak vagy adnak el, hogy fedezzék a semlegesíteni kívánt kockázatokat. A „teljesen” fedezett portfólió olyan portfólió, amelynek minden görög értéke nulla: nincs érzékenység egyetlen paraméterre sem. A gyakorlatban lehetetlen nullára csökkenteni a kockázatokat. Valójában a görögök is érzékenyek ugyanazokra a paraméterekre, és az értékek a piacok fejlődésével folyamatosan fejlődnek.

Kezelő eszközök a kereskedő számára

A leggyakoribb opciókezelési stratégiát delta semleges menedzsmentnek nevezik. Ez az alapul szolgáló eszköz árához kapcsolódó kockázat mindenkori kiküszöbölését jelenti.

Vegyünk egy kereskedő példáját, aki azonnal azonos delta hívásokat ad el . Portfoliójának delta akkor . A portfólióját immunissá akarja tenni az alapul szolgáló ár ingadozásaival szemben, törölni fogja ezt a delta-t. A legegyszerűbb megoldás általában ekkor az alapul szolgáló mennyiség megvásárlása (mert hívás esetén ) . Valójában definíció szerint az alapul szolgáló delta egyenlő 1-vel. $t_ {0}$ $nem$ $\ delta _ {0}$ $n \, \ alkalommal \, \ delta_0$ $\ delta_ {call} \ ge 0$ $n \, \ alkalommal \, \ delta_0$

Ennek az opciónak az élettartama alatt azonban a delta megváltozik, különösen azért, mert az alapul szolgáló ár megváltozott. Jelenleg a delta különbözik attól, és ezért a portfólió fedezeti ügyletei már nem lesznek optimálisak: a kereskedőnek ezt ki kell igazítania egy kicsit több alapanyag vételével vagy eladásával. $t_1$ $\ delta _ {1}$ $\ delta _ {0}$

A gamma figyelembevétele lehetővé teszi ennek a menedzsmentnek az optimalizálását. Ha a gamma pozitív, a delta növekszik, amint az alap árfolyama emelkedik. Kényelmes helyzet az üzemeltető számára, akinek a piaci emelkedés idején el kell adnia az alapot, eséskor pedig vissza kell vásárolnia. Ezeket az oda-vissza útokat az idő múlásának költségeinek megtérítésére használják (gyakran mondjuk: fizetni a tétát). Másrészt, ha a gamma negatív, akkor a fordított műveleteket kell végrehajtania, és az oda-vissza útnak kevesebbet kell veszítenie, mint amit a téta nyer.

Ezenkívül minél nagyobb a gamma, annál gyakoribbak a deltát semlegesítő beavatkozások, ami problémát jelenthet egy olyan környezetben, ahol a tranzakciós költségek magasak. Ezzel szemben, ha az opció gamma nulla, akkor a kereskedő rögzített pozíciót tarthat fenn az opció élettartama alatt.

A delta-semleges menedzsment lehet a volatilitás fogadásának módja: mivel a portfólió elméletileg immúnis az alapul szolgáló ár ingadozásaival szemben, értéke főleg a hallgatólagos volatilitás függvényében változik.

Lásd is