Black-Scholes modell

A Black-Scholes modellt két nagyon hasonló fogalom kijelölésére használják:

A Black-Scholes modell vagy Black-Scholes-Merton modell, amely egy matematikai modell a piacon egy állomány , amelyben az ár a készlet egy sztochasztikus folyamat a folytonos ; szemben a „ Cox Ross-Rubinstein modellel ”, amely diszkrét időben követ egy sztochasztikus folyamatot (vö. a sztochasztikus folyamatok az idő véletlenszerű függvényei);
a Black-Scholes parciális differenciálegyenlet az az egyenlet, amelyet egy primitív származékának ára elégít ki.

Robert C. Merton volt az első, amely Fischer Black és Myron Scholes munkájára hivatkozva publikált egy cikket, amely az opciós árazási modell matematikai aspektusát fejleszti . Ezek 1973-ban jelentek meg olyan teoretikusok fejlődésén alapulnak, mint Louis Bachelier vagy Paul Samuelson . A Black és Scholes modell alapvető hozzájárulása az opció implicit árának és az alapul szolgáló eszköz árának változásához való viszonyítása.

Robert Merton és Myron Scholes kapott 1997 az ára a Svéd Nemzeti Bank közgazdasági Alfred Nobel emlékére munkájukért. Közreműködőként Fischer Blacket nevezték meg, aki 1995-ben halt meg , ezért nem jogosult.

Feltételezések és modell

A Black-Scholes modell számos feltételen alapul:

az alapul szolgáló eszköz ára S t geometriai Brown-mozgást követ , állandó volatilitással és állandó sodródással : $\ sigma$ $\ mu$

{\ displaystyle Pr [{\ frac {\ Delta p_ {t} -E (\ Delta p_ {t})} {\ sigma (\ Delta p_ {t})}} <{\ frac {VaR_ {q} -E (\ Delta p_ {t})} {\ sigma (\ Delta p_ {t})}}] = 1-q}

egy bécsi folyamat ,

{\ displaystyle \ phi ^ {-} 1 (1-q)}

egy bécsi folyamat ,

{\ displaystyle VaR_ {q} = {E (\ Delta p_ {t})} - \ phi ^ {-} 1 (q) \ sigma (\ Delta p_ {t})}

egy bécsi folyamat ,

{\ displaystyle VaR_ {q} = - \ phi ^ {-} 1 (q) \ sigma (\ Delta p_ {t})}

egy bécsi folyamat ,

{\ displaystyle VaR_ {q} = {E (\ Delta p _ {\ textbf {P}})} - \ phi ^ {-} 1 (q) \ sigma (\ Delta p _ {\ textbf {P}}) }

egy bécsi folyamat ,

{\ displaystyle ES_ {p} = E [X | X> VaR_ {p}]}

egy bécsi folyamat ,

{\ displaystyle ES_ {p} = {\ frac {1} {p}} \ displaystyle \ int _ {0} ^ {p} VaR (_ {\ theta}) (X) \, \ mathrm {d} \ theta }

egy bécsi folyamat ;

nincs választottbírósági lehetőség;
az idő folyamatos függvény ;
lehetőség van rövid eladások lebonyolítására ;
nincsenek tranzakciós költségek;
van kockázatmentes , előre ismert és állandó kamatláb;
az összes mögöttes tökéletesen osztható (pl lehet kapni 1/100 th egy részvény);
részvény esetén nem fizet osztalékot az opció értékelése és lejárata között.

Ezen hipotézisek mindegyike szükséges a képlet igazolásához.

Amikor mindezek a hipotézisek teljesülnek, akkor Black-Scholes modellről beszélünk, vagy azt mondjuk, hogy a Black-Scholes ügyben vagyunk. A modell feltételezéseivel nem felel meg a pénzügyi piacok valóságának. De ennek a modellnek az általánosítása a „racionális mimika” (vagy éppen ebben az esetben az „irracionális”) fogalmára utal, amely az „önmegvalósító” döntéshozatal jelenségét idézi elő. Például, amikor egy nyáj pásztora a vízbe ugrik, és juhai követik őt, akkor előre láthatjuk és megállapíthatjuk, hogy a nyáj és a pásztor nedves lesz. A végeredmény releváns, de a kezdeti hipotézis kevésbé.

Black-Scholes képlet

A Black-Scholes képlet lehetővé teszi egy európai opció elméleti értékének kiszámítását a következő öt adatból:

${\ mathcal {}} S_ {0}$ az alapul szolgáló részvény aktuális értéke
${\ mathcal {}} T.$ az opció lejártáig hátralévő idő (években kifejezve),
${\ mathcal {}} K.$ az opció által meghatározott lehívási ár,
${\ mathcal {}} r$ a kockázatmentes kamatláb ,
${\ mathcal {}} \ sigma$ a részvényárfolyam volatilitása .

Ha az első négy adat nyilvánvaló, akkor az eszköz volatilitását nehéz felmérni. Két elemző eltérő véleményen lehet a választás értékéről . ${\ mathcal {}} \ sigma$ ${\ mathcal {}} \ sigma$

A vételi opció elméleti árát , amely jogot ad az S eszköznek a T napon történő K értéken történő megvásárlására, de nem kötelességet, a kifizetés jellemzi : $({\ mathcal {S}} _ {{T}} - K) ^ {{+}} = \ max (S _ {{T}} - K; 0)$

Ezt a semleges kockázati valószínűség alatti várakozás adja meg a frissített terminál kifizetésére.

${\ displaystyle C = \ mathbb {E} ({\ text {Payoff}} \ szorzat e ^ {- rT}) ~}$ ,

vagy a Black-Scholes képlet:

${\ displaystyle C (S_ {0}, K, r, T, \ sigma) = S_ {0} {\ mathcal {N}} (d_ {1}) - Ke ^ {- rT} {\ mathcal {N} } (d_ {2})}$

Hasonlóképpen, az elméleti ár egy put opció a végeredmény adja meg: $(K - {\ mathcal {S}} _ {{T}}) ^ {{+}} = \ max (K-S _ {{T}}; 0)$

${\ displaystyle P (S_ {0}, K, r, T, \ sigma) = - S_ {0} {\ mathcal {N}} (- d_ {1}) + Ke ^ {- rT} {\ mathcal { N}} (- d_ {2})}$

val vel

${\ mathcal {N}}$ a csökkentett központú normál törvény eloszlásfüggvénye , azaz ${\ mathcal {N}} \ bal (0,1 \ jobb)$ ${\ mathcal {N}} (x) = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{x}} {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}}}} e ^ {{- {\ frac {1} {2}} u ^ {2}}} innen$
$d_ {1} = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {T}}}} \ balra [\ ln \ balra ({\ frac {S_ {0}} {K}} \ jobbra) + \ balra (r + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ jobb) T \ jobb]$
$d_ {2} = d_ {1} - \ sigma {\ sqrt {T}}$

A képletet fordítva is alkalmazhatjuk. Tekintettel a piacokon jegyzett opciós árra, milyen értéket kell választani ahhoz, hogy a Black-Scholes képlet pontosan ezt az árat adja meg? Így megkapjuk a hallgatólagos volatilitást, amely gyakorlati és elméleti szempontból nagy érdeklődésre tart számot. ${\ mathcal {}} \ sigma$

Demonstráció

Az európai kifizetési opció árának kiszámítása az itt elfogadott képleten alapul (az elvárás a valószínűségi kockázat semlegessége alatt van). $h$ $C = {\ mathbb {E}} [e ^ {{- rT}} h]$

A T lejáratú és a K sztrájkkal járó európai hívás ára:

${\ begin {aligned} C & = {\ mathbb {E}} [e ^ {{- rT}} (S_ {T} -K) {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K }}] \\ & = e ^ {{- rT}} {\ mathbb {E}} [S_ {T} {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] - Ke ^ {{-rT}} {\ mathbb {E}} [{1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] \\ & = e ^ {{- rT}} {\ mathbb { E}} [S_ {T} {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] - Ke ^ {{- rT}} {\ mathbb {P}} (S_ {T}> K) \ vége {igazítva}}$

Ez az utóbbi két kifejezés kifejezetten kiszámítható az alapul szolgáló ár kifejezésével. Ezért ennek a kifejezésnek a megalapozásával kezdjük. Ez alá helyezik kockázati semleges valószínűségét, ami azt jelenti, hogy az eltolódás értéke (vagy R-a „a” jelentése az osztalék mértéke) .Mi van: . $r$ ${\ frac {dS_ {t}} {S_ {t}}} = rdt + \ sigma dW_ {t}$

Úgy véljük, az új eljárások , mint például: . Az alkalmazott Itô- képlet : $(Z_ {t}) _ {{0 \ leq t \ leq T}}$ $Z_ {t} = ln (S_ {t})$ $Z$

${\ begin {aligned} dZ_ {t} & = {\ frac {\ részben ln} {\ részleges x}} (S_ {t}) dS_ {t} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ részleges ^ {2} ln} {\ részleges ^ {2} x}} (S_ {t}) d <S, S> _ {t} \\ & = (r - {\ frac {\ sigma ^ { 2}} {2}}) dt + \ sigma dW_ {t} \ end {igazítva}}$

Az utolsó sor integrálásával eljutunk , majd felhasználjuk azt a tényt, hogy megkapjuk a kívánt képletet: $Z_ {t} = Z_ {0} + (r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}) t + \ sigma W_ {t}$ $S_ {t} = e ^ {{Z_ {t}}}$

$S_ {t} = S_ {0} e ^ {{(r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}) t + \ sigma W_ {t}}}$

Itt implicit módon felhasználtuk azt a tényt, hogy a folyamat szigorúan pozitív. Ezt az eredményt bebizonyíthatjuk, ha megmutatjuk, hogy a megtalált folyamat a sztochasztikus differenciálegyenlet egyedülálló megoldása . Ehhez alkalmazhatjuk az Itô képletét a folyamatra, és megmutathatjuk, hogy állandó. $S$ $dS_ {t} = rS_ {t} dt + \ sigma S_ {t} dW_ {t}$ $\ balra (S_ {t} e ^ {{- (r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}) t- \ sigma W_ {t}}} \ jobbra) _ {t}$

Vegye figyelembe, hogy a véletlen változó normális eloszlást követ . $W_t$ ${\ mathcal {N}} (0, t)$

Nekünk van : ${\ begin {aligned} {\ mathbb {P}} (S_ {T}> K) & = {\ mathbb {P}} \ left ((r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2} }) T + \ sigma W_ {T}> ln ({\ tfrac {K} {S_ {0}}}) \ jobbra) \\ & = {\ mathbb {P}} \ balra ({\ tfrac {1} {{\ sqrt {T}}}} W_ {T}> {\ frac {ln ({\ tfrac {K} {S_ {0}}}) - (r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}) T} {\ sigma {\ sqrt {T}}}} \ right) \\ & = {\ mathbb {P}} (G> -d_ {2}) \ end {igazítva}}$

Hol és . $G \ sim {\ mathcal {N}} (0,1)$ $d_ {2} = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {T}}}} \ left [ln ({\ tfrac {S_ {0}} {K}}) + (r - {\ frac { \ sigma ^ {2}} {2}}) T \ jobbra]$

Ahogy és ugyanaz a törvény van akkor: $G$ $-G$

${\ begin {aligned} {\ mathbb {P}} (S_ {T}> K) & = {\ mathbb {P}} (- G> -d_ {2}) \\ & = {\ mathbb {P} } (G <d_ {2}) \\ & = N (d_ {2}) \ vég {igazítva}}$

Hol van a redukált középpontú Gauss-féle eloszlásfüggvény. $NEM(.)$

Vessünk egy pillantást az első kifejezés kiszámítására. Ugyanezen előző lépések végrehajtásával könnyen megállapítható, hogy:

${\ mathbb {E}} [S_ {T} {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] = S_ {0} {\ mathbb {E}} \ balra [e ^ { {(r - {\ tfrac {\ sigma ^ {2}} {2}}) T + \ sigma {\ sqrt {T}} G}} {1 \! \! 1} _ {{G> -d2} } \ jobbra]$

Ebből kifolyólag,

${\ begin {aligned} e ^ {{- rT}} {\ mathbb {E}} [S_ {T} {1 \! \! 1} _ {{S_ {T}> K}}] & = S_ { 0} \ int _ {{{\ mathbb {R}}}} {1 \! \! 1} _ {{x> -d_ {2}}} e ^ {{{\ tfrac {-x ^ {2} } {2}} + \ sigma {\ sqrt {T}} x - {\ tfrac {\ sigma ^ {2}} {2}} T}} {\ tfrac {dx} {{\ sqrt {2 \ pi} }}} \\\\ & = S_ {0} \ int _ {{- d_ {2}}} ^ {{+ \ infty}} e ^ {{- {\ tfrac {1} {2}} (x - \ sigma {\ sqrt {T}}) ^ {2}}} {\ tfrac {dx} {{\ sqrt {2 \ pi}}}}} \\ & = S_ {0} \ int _ {{- d_ {2} - \ sigma {\ sqrt {T}}}} ^ {{+ \ infty}} e ^ {{- {\ tfrac {x ^ {2}} {2}}}} {\ tfrac {dx} {{\ sqrt {2 \ pi}}}}} \\ & = S_ {0} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{d_ {1}}} e ^ {{- {\ tfrac {x ^ {2}} {2}}}} {\ tfrac {dx} {{\ sqrt {2 \ pi}}}}} \\ & = S_ {0} N (d_ {1}) \ vége {igazítva}}$

Végül az utolsó két eredmény kombinálásával megkapjuk: $C = S_ {0} N (d_ {1}) - Ke ^ {{- rT}} N (d_ {2})$

Vélemények

A matematikus, Benoît Mandelbrot a témában végzett számos műve révén, teljesen megkérdőjelezi Harry Markowitz elméletének és annak következményeinek érvényességét , a William F. Sharpe által kifejlesztett CAPM-et és a Black-Scholes-képletet. Úgy véli, hogy ezek az elméletek, bármennyire is gyönyörűnek tűnnek, és ilyen egyszerűek az alkalmazásuk, teljes mértékben nincsenek kapcsolatban a pénzügyi piacok valóságával. A Roll (in) pusztító kritikája tautológiai vagy lehetetlen megfigyelni a piaci portfóliót. A modell következtetéseit a különböző tőzsdei összeomlások során sokszor megkérdőjelezték. Olyan kockázatkezelési politikákhoz vezettek, amelyek felelőtlenségnek minősíthetők a pénzügyi intézmények részéről.

Az egyik gyakran felmerülő kritika az a tény, hogy ezek az elméletek a normális eloszláson (Gauss-törvényen vagy „haranggörbén”) alapulnak, ami nagymértékben alábecsüli az olyan „valószínűtlen” eseményeket, mint például a válságok vagy összeomlások. ritka, mint ez a törvény előírja. Ezt a problémát azonban könnyű kijavítani az adaptált volatilitás figyelembevételével (lásd a volatilitás mosolyát ). Egy másik probléma: ezek az elméletek alapjául szolgáló feltételezések nagyon irreálisak (különösen a befektetők ésszerűsége ...).

Mindezen kritikák ellenére a Black and Scholes modell (viszonylag) egyszerű és praktikus jellege miatt továbbra is a viszonyítási alap a szakemberek és az akadémikusok körében.

Az egyenlet megoldása

Folyamatos visszatérés

Arányos megtérülés

Görög betűk

A Black-Scholes modell által használt görög betűk a következők:

A hívásért és a putért

$\ Delta = {\ frac {\ részleges P} {\ részleges S}}$
$\ Gamma = {\ frac {\ részleges ^ {2} P} {\ részleges S ^ {2}}}$
$\ Theta = - {\ frac {\ részleges P} {\ részleges T}}$
$\ rho = {\ frac {\ részleges P} {\ részleges R}}$
${\ mathcal {V}} = {\ frac {\ részleges P} {\ részleges V}}$

Levezetési képletek

Történelmi és gazdasági jelentőség

1973- ban jelent meg , és Paul Samuelson és Robert Merton munkájának folytatása volt . Louis Bachelier francia matematikus 1900-ban avatta fel a téma tanulmányozását . Black és Scholes alapvető intuíciója az volt, hogy az opció implicit árát viszonyítsa az alapul szolgáló eszköz árának változásához. Felfedezésük nagyon gyorsan jelentős hatással volt, és modelljük variációit a pénzügyi piacok minden szegmensében alkalmazzák. Már 1977 , Oldrich Vasicek volt ihlette, hogy megtalálta a modern elmélet a kamatok .

A Black és Scholes modell a gyakorlatban

A Black és Scholes modell alapvető tézise az volt, hogy a vételi opció árát implicit módon meg kell jelölni, ha az alapul a piacokon kereskednek.

A modell és a Black-Scholes képlet használata nagyon elterjedt a pénzügyi piacokon, olyan mértékben, hogy bizonyos árajánlatokat inkább volatilitási, mint abszolút árfolyamon adnak meg. Valójában a modell egyéb paraméterei (lejárati idő, kötési ár, kockázatmentes kamatláb és az alapul szolgáló ár) könnyen megfigyelhetők a piacokon.

Black és Scholes modellje azonban nem pontosan modellezi a való világot. A tapasztalatok azt mutatják, hogy a volatilitás a valóságban a kötési ártól és a lejárattól függ.

A gyakorlatban a volatilitási felület (implicit volatilitás a kötési ár és lejárat függvényében) nem lapos. Gyakran egy adott futamidő alatt a kötési árral szembeni implicit volatilitásnak van egyfajta mosolya (az úgynevezett volatilitási mosoly ): a pénznél az implicit volatilitás alacsonyabb és minél távolabb van a pénztől., Annál magasabb. Megjegyezzük azt is, hogy a mosoly gyakran nem szimmetrikus a részvénypiacon: magasabb az eladási oldalon, mint a vételi oldalon . A piaci szereplők ugyanis érzékenyebbek a lefelé mutató kockázatra, mint a részvény felfelé mutató kockázatára.

Adott kötési ár esetén a megfigyelt implicit volatilitás és a pénznél meglévő különbség ferdítésnek nevezhető .

Az alapul szolgáló eszköz volatilitási felülete is változik az idő múlásával. A piaci szereplők folyamatosan újraértékelik, megváltoztatva annak valószínűségét, hogy minden kötési ár és lejárat esetén melyik opció kerül a pénzpiacra.

Modellbővítmények

A fenti képlet nem mentes a kritika alól: nem teszi lehetővé a nem állandó kamatlábak és volatilitások támogatását, illetve az európai opciók árfolyamának kifizetését .

Így az 1987-es összeomlás előtt megfigyelhettük, hogy az S & P500 részvények opcióinak állandó implikált volatilitása volt, de az összeomlás óta az implicit volatilitás „mosolyt” mutat.

A modell azonban könnyen módosítható a nem állandó arányok és volatilitások támogatására.

Így a szakértők által áttekintett pénzügyi matematikai folyóiratokban számos tudományos publikáció bírálja ezt a képletet, és javasolja annak kiterjesztését, javítását, a különbségek magyarázatát vagy alternatív megoldások javaslatát.

Kiterjeszthető az osztalékot fizető európai opciókra is. Az olyan indexek opciói esetében (mint például az FTSE 100 vagy a CAC 40 ), ahol a számításba bevont társaságok évente egyszer vagy kétszer fizethetnek osztalékot, ésszerű feltételezni, hogy az osztalékokat megszakítás nélkül fizetik ki.

Ezután az osztalék kifizetését egy bizonyos időtartamra feljegyzik: $\ balra [t, t + \ delta t \ jobbra]$

q \, S_ {t} \, dt

Egy állandó. Ezen megfogalmazás szerint a Black-Scholes modell szerinti szabad arbitrázs ár a következő lehet: $q$

C (S, T) = e ^ {{- qT}} S_ {0} N (d_ {1}) - e ^ {{- rT}} KN (d_ {2}) \,

P (S, T) = e ^ {{- rT}} KN (-d_ {2}) - e ^ {{- qT}} S_ {0} N (-d_ {1}) \,

vagy most:

F = e ^ {{(rq) T}} S_ {0} \,

az előre módosított ár, amely kifejezésekben és . Ez a képlet általában Black-Scholes-Merton néven ismert . $d_1$ $d_2$

Ugyanezt a képletet használják a devizaárfolyamok opcióinak árazására, azzal a különbséggel, hogy ez a külföldi kockázatmentes kamatláb és az azonnali árfolyam szerepét tölti be . Ez Garman-Kohlhagen (1983) modellje . $q$ $S$

Lehetőség van a Black-Scholes keretrendszer kiterjesztésére a diszkrét osztalékot fizető instrumentumok opcióira is. Ez akkor hasznos, ha az opció egyszerű műveleteken alapul.

Egy tipikus modell feltételezi, hogy a részvényár (ár) egy részét előre meghatározott időpontokban osztalékként fizetik. $\delta$ $T_ {1}, T_ {2} ...$

A részvények árát ezután modellezi: $S_ {t} = S_ {0} (1- \ delta) ^ {{n (t)}} e ^ {{\ sigma W_ {t} + \ mu t}}$

hol van az időben kifizetett osztalékok száma . $n (t)$ $t$

Az ilyen részvények vételi opciójának ára ismét:

C (S_ {0}, K, r, T, q, \ sigma) = e ^ {{- rT}} (FN (d_ {1}) - KN (d_ {2})) \,

P (S_ {0}, K, r, T, q, \ sigma) = e ^ {{- rT}} (KN (-d_ {2}) - FN (-d_ {1})) \,

vagy most:

F = S_ {0} (1- \ delta) ^ {{n (T)}} e ^ {{rT}} \,

az osztalékfizetõ részvények elõzetes ára.

Nehezebb értékelni az amerikai lehetőségeket. A modellre példa a Whaley modellje, amely kifejezett analitikai képletet ad; a Cox Ross és Rubinstein modell szimulálja az eseményeket az alapul szolgáló áron (ugrások, osztalékok stb.) binomiális fa felhasználásával, ahol minden csomópont valószínűséggel társul.

Végül meg kell említeni, hogy a modell kiterjesztésével kapcsolatos fejlemények a következő négy irányba haladtak:

helyi volatilitási modell. A volatilitás az alap és az idő determinisztikus függvényévé válik. Ez a helyzet az úgynevezett Dupire modellel;
sztochasztikus volatilitási modell. A volatilitás a diffúzióval sztochasztikus funkcióvá válik. Ez a helyzet az úgynevezett Heston vagy Pitterbarg modellel;
ugrási modell;
modell, amely a fent említett megközelítéseket ötvözi (például modell helyi volatilitással és ugrással, modell helyi és sztochasztikus volatilitással stb.).

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Pénzügyi matematika
Opcióértékelés
Binomiális modell , egy másik modell, amelyet általában használnak az opciók értékelésére
Opció (pénzügy) , call , put , straddle , warrant
Valódi opciók elemzése

Bibliográfia

Benoît Mandelbrot . Fraktálok, esély és pénzügy , Flammarion , 1959, 1997.
Benoît Mandelbrot . Fractal Approach to Markets , Benoît Mandelbrot & Richard Hudson, Odile Jacob editions , 2005.
Nicole El Karoui , Kockázatfedezet a pénzügyi piacokon (file.pdf)

Megjegyzések és hivatkozások

(in) " Üdvözöljük a nem-Black-Scholes világ " ( Archív • Wikiwix • Archive.is • Google • Mit kell tenni? ) [PDF] .