Gamma törvény

Gamma törvény
Valószínűségi sűrűség
Elosztási funkció
Beállítások	k>0{\ displaystyle k> 0 \,}igazi valódi θ>0{\ displaystyle \ theta> 0 \,}
Támogatás	x∈[0,+∞[{\ displaystyle x \ itt: [0, + \ infty [}
Valószínűségi sűrűség	xk-1e-xθΓ(k)θk{\ displaystyle {\ frac {x ^ {k-1} \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {x} {\ theta}}}}} {\ Gamma (k) \ theta ^ {k}}}}
Elosztási funkció	γ(k,x/θ)Γ(k){\ displaystyle {\ frac {\ gamma (k, x / \ theta)} {\ Gamma (k)}}}
Remény	kθ{\ displaystyle k \ theta \,}
Középső	nincs hivatalos kifejezés
Divat	(k-1)θ{\ displaystyle (k-1) \ theta \,} mert k≥1{\ displaystyle k \ geq 1 \,}
Variancia	kθ2{\ displaystyle k \ theta ^ {2} \,}
Aszimmetria	2k{\ displaystyle {\ frac {2} {\ sqrt {k}}}}
Normalizált kurtosis	6.k{\ displaystyle {\ frac {6} {k}}}
Entrópia	kθ+(1-k)ln⁡(θ)+ln⁡(Γ(k)){\ displaystyle k \ theta + (1-k) \ ln (\ theta) + \ ln (\ Gamma (k)) \,} +(1-k)ψ(k){\ displaystyle + (1-k) \ psi (k) \,}
Pillanatgeneráló funkció	(1-θt)-k{\ displaystyle (1- \ theta \, t) ^ {- k}} mert t<1/θ{\ displaystyle t <1 / \ theta}
Jellemző funkció	(1-énθt)-k{\ displaystyle \ left (1-i \ theta t \ right) ^ {- k} \,}

A valószínűségelméletben és a statisztikákban a gamma-eloszlás vagy a gamma- eloszlás a véletlen változók valós pozitív valószínűség-eloszlásának egyik típusa . A Gamma-terjesztések családjába többek között a law² törvény és az exponenciális disztribúciók tartoznak . A Gamma eloszlást két paraméter jellemzi, amelyek befolyásolják a grafikus ábrázolás alakját és méretét .. A gammaeloszlásokat a jelenségek sokféleségének modellezésére használják, különös tekintettel az idővel előforduló jelenségekre, ahol lényegében az eltelt idő pozitív valós mennyiség; ez a helyzet például a túlélési elemzés során .

Definíció és tulajdonságok

Meghatározás

A véletlen változó X követ Gamma törvény paraméterekkel k és θ (szigorúan pozitív), amit szintén veszi (ahol Γ a nagybetű a görög betű gamma ) ha a sűrűségfüggvénye lehet a következő formában: x∼Γ(k,θ){\ displaystyle X \, \ sim \ Gamma (k, \ theta)}

f(x;k,θ)=xk-1e-xθΓ(k)θk{\ displaystyle f (x; k, \ theta) = {\ frac {x ^ {k-1} \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {x} {\ theta}}}}} {\ Gamma (k ) \ theta ^ {k}}}},

ahol x > 0 és Γ az Euler Gamma függvényét jelöli .

Alternatív megoldásként a Gamma eloszlás paraméterezhető az α = k alakparaméter és az intenzitás paraméter segítségével  : β=1/θ{\ displaystyle \ beta = 1 / \ theta}

f(x;α,β)=xα-1βαe-βxΓ(α) oour x>0{\ displaystyle f (x; \ alpha, \ beta) = x ^ {\ alpha -1} {\ frac {\ beta ^ {\ alpha} \, \ mathrm {e} ^ {- \ beta \, x}} {\ Gamma (\ alpha)}} \ \ mathrm {for} \ x> 0}.

Mindkét beállítás egyformán népszerű, a kontextustól függően.

Összeg

Ha minden X i következik a törvény Γ ( k i , θ) az i  = 1, 2, ...,   N , és ha a valószínűségi változók tartalom X i jelentése független , akkor:

∑én=1NEMxén∼Γ(∑én=1NEMkén,θ){\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} X_ {i} \ sim \ Gamma \ bal (\ sum _ {i = 1} ^ {N} k_ {i}, \ theta \ right)}.

Méretváltozás

Minden t > 0 esetén a tX változót elosztjuk

Γ ( k ,   t θ) ahol θ a skála paraméter

vagy

Γ ( α , β / t ) ahol β az intenzitás paraméter ( sebességparaméter ).

Kapcsolat más terjesztésekkel

A paraméterek korlátozása

• Ha , akkor X exponenciális eloszlású a λ paraméterrel .x∼Γ(k=1,θ=1/λ){\ displaystyle X \ sim {\ Gamma} (k = 1, \ theta = 1 / \ lambda) \,}
• Ha , akkor X jelentése azonos a változó χ 2 ( ν ) , a megoszlása a törvény χ² a ν szabadsági fokkal.x∼Γ(k=v/2,θ=2){\ displaystyle X \ sim {\ Gamma} (k = \ nu / 2, \ theta = 2) \,}
• Ha k egész szám, akkor a Gamma törvény Erlang eloszlás .
• Ha , akkor az X -eloszlása Maxwell-Boltzmann paraméterrel rendelkezik .x2∼Γ(3/2,2nál nél2){\ displaystyle X ^ {2} \ sim {\ Gamma} (3 / 2,2a ^ {2}) \,}

Egyéb manipulációk

• Ha X eloszlása ​​Γ ( k , θ), akkor 1 / X inverz Gamma eloszlású , k és θ −1 paraméterekkel .
• Ha X és Y egymástól függetlenül oszlik el a Γ (α, θ) és Γ (β, θ) törvények szerint, akkor X  / ( X  +  Y ) az α és β paraméterek béta eloszlásával rendelkezik.
• Ha X i vannak elosztva a törvények Γ (α i , θ) rendre, majd a vektor ( X 1  /  S , ...,   X n  /  S ), ahol S  =  az X 1  + ... +  X n , következik az α 1 , ..., α n paraméterek Dirichlet-eloszlása .
• Mert nagy k , a Gamma eloszlás konvergál egy normális eloszlás átlagos és a szórás . Sőt, bármi is legyen k és θ, az állandók és ily módon rögzítésével a Gamma eloszlás Γ ( k , θ) és a normál eloszlás valószínűségi sűrűsége ugyanazon abszcisszán két inflexiós ponttal rendelkezik, ismeretében és .μ=(k-1)θ{\ displaystyle \ mu = (k-1) \ theta}σ2=(k-1)θ2{\ displaystyle \ sigma ^ {2} = (k-1) \ theta ^ {2}}μ{\ displaystyle \ mu}σ{\ displaystyle \ sigma}NEM(μ,σ2){\ displaystyle N (\ mu, \ sigma ^ {2})}μ+σ=θ(k-1)+θk-1{\ displaystyle \ mu + \ sigma = \ theta (k-1) + \ theta {\ sqrt {k-1}}}μ-σ=θ(k-1)-θk-1{\ displaystyle \ mu - \ sigma = \ theta (k-1) - \ theta {\ sqrt {k-1}}}

Koncentrációs tulajdonság

Ha , akkor mindenért , és . x∼χ2(k){\ displaystyle X \ sim \ chi ^ {2} (k)}t>0{\ displaystyle t> 0}P(x≥k+2kt+2t)≤e-t{\ displaystyle \ mathbb {P} \ bal (X \ geq k + 2 {\ sqrt {kt}} + 2t \ jobb) \ leq e ^ {- t}}P(x≤k-2kt)≤e-t{\ displaystyle \ mathbb {P} \ balra (X \ leq k-2 {\ sqrt {kt}} \ jobbra) \ leq e ^ {- t}}

Hivatkozások

1. (in) Verzelen, Nicolas és GASSIAT, Elizabeth "  Adaptive becslése magas dimenziós jel-zaj arány  " , arXiv ,2017. március 16, P.  41 ( online olvasás )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">