Inverz-Gauss-törvény

Inverz-Gauss-törvény
Valószínűségi sűrűség



Beállítások	${\ displaystyle \ lambda> 0}$ $\ mu> 0$
Támogatás	${\ displaystyle x \ in] 0, \ infty [}$
Valószínűségi sűrűség	${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ lambda} {2 \ pi x ^ {3}}} \ right] ^ {1/2} \ exp {\ frac {- \ lambda (x- \ mu) ^ { 2}} {2 \ mu ^ {2} x}}}$
Elosztási funkció	${\ displaystyle \ Phi \ bal ({\ sqrt {\ frac {\ lambda} {x}}} \ bal ({\ frac {x} {\ mu}} - 1 \ jobb) \ jobb)}$ ${\ displaystyle + \ exp \ left ({\ frac {2 \ lambda} {\ mu}} \ right) \ Phi \ left (- {\ sqrt {\ frac {\ lambda} {x}}} \ left ({ \ frac {x} {\ mu}} + 1 \ jobbra) \ jobbra}}$ hol van a normális eloszlás eloszlásfüggvénye ${\ displaystyle \ Phi \ bal (\ jobb)}$
Remény	$\ mu$
Divat	${\ displaystyle \ mu \ left [\ left (1 + {\ frac {9 \ mu ^ {2}} {4 \ lambda ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} - {\ frac {3 \ mu} {2 \ lambda}} \ right]}$
Variancia	${\ displaystyle {\ frac {\ mu ^ {3}} {\ lambda}}}$
Aszimmetria	${\ displaystyle 3 \ bal ({\ frac {\ mu} {\ lambda}} \ jobb) ^ {1/2}}$
Normalizált kurtosis	${\ displaystyle {\ frac {15 \ mu} {\ lambda}}}$
Pillanatgeneráló funkció	${\ displaystyle e ^ {\ left ({\ frac {\ lambda} {\ mu}} \ right) \ left [1 - {\ sqrt {1 - {\ frac {2 \ mu ^ {2} t} {\ lambda}}}} \ right]}}$
Jellemző funkció	${\ displaystyle e ^ {\ bal ({\ frac {\ lambda} {\ mu}} \ jobb) \ bal [1 - {\ sqrt {1 - {\ frac {2 \ mu ^ {2} \ mathrm {i } t} {\ lambda}}}}} jobbra}}}$

A valószínűségelméletben és a statisztikákban az inverz-Gauss- törvény (vagy az inverz Gauss-törvény, vagy akár Wald-törvény ) folyamatos valószínűségi törvény , két paraméterrel és szigorúan pozitív értékekkel. Abraham Wald statisztikusról kapta a nevét .

Az "inverz" kifejezést nem szabad félreértelmezni, a törvény a következő értelemben fordított: a Brown-mozgás rögzített időpontban érvényes értékének normális törvénye van, fordítva, az az idő, amikor a Brown-mozgás pozitív sodródással (sodródott) elér egy a fix érték inverz-Gauss-törvény.

A valószínűségi sűrűség adják

{\ displaystyle f (x; \ mu, \ lambda) = {\ begin {cases} \ displaystyle \ left ({\ frac {\ lambda} {2 \ pi x ^ {3}}} \ right) ^ {1 / 2} \ exp {\ frac {- \ lambda (x- \ mu) ^ {2}} {2 \ mu ^ {2} x}} és {\ text {for}} x> 0, \\ 0 és { \ text {egyébként}}. \ end {esetek}}}

ahol $μ> 0$ az elvárása és $λ> 0$ egy alakparaméter .

Amikor $λ$ a végtelenbe hajlik, az inverz-Gauss- törvény normális törvényként viselkedik , ez utóbbival több hasonló tulajdonsággal rendelkezik.

Az inverz-Gauss-törvény kumulánsainak generátorfüggvénye (a jellegzetes függvény logaritmusa ) a normális törvény fordítottja .

Annak jelzésére, hogy az X véletlen változónak inverz-Gauss paraméter-eloszlása van, és a jelölést használjuk $\ mu$ $\ lambda$ ${\ displaystyle X \ sim IG (\ mu, \ lambda). \, \!}$

Tulajdonságok

Összeg

Ha a valószínűségi változók , van a jog , és ezeket, függetlenek , akkor az összegük az inverz Gauss törvény: $X_ {i}$ ${\ displaystyle i = 1,2, \ pont, n}$ ${\ displaystyle IG (\ mu _ {0} w_ {i}, \ lambda _ {0} w_ {i} ^ {2})}$

{\ displaystyle S = \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ sim IG \ left (\ mu _ {0} \ sum w_ {i}, \ lambda _ {0} \ left (\ összeg w_ {i} \ right) ^ {2} \ right).}

meg kell jegyezni, hogy

{\ displaystyle {\ frac {{\ textrm {Var}} (X_ {i})} {{\ textrm {E}} (X_ {i})}} = {\ frac {\ mu _ {0} ^ { 2} w_ {i} ^ {2}} {\ lambda _ {0} w_ {i} ^ {2}}} = {\ frac {\ mu _ {0} ^ {2}} {\ lambda _ {0 }}}}

állandó minden i-re . Ez az összegzési képlet szükséges feltétele .

Létra

Ha X inverz-Gauss-eloszlású, akkor minden $t > 0$ esetén tX- nek inverz-Gauss-eloszlása van, amelynek paramétereit meg kell szorozni t-vel :

{\ displaystyle X \ sim IG (\ mu, \ lambda) \ quad \ Longrightarrow \ quad tX \ sim IG (t \ mu, t \ lambda).}

Exponenciális család

Az inverz Gauss-eloszlás egy exponenciális család két paraméter a természetes beállításokat és , és nemzeti statisztikai X és 1 / X . ${\ displaystyle {\ frac {- \ lambda} {2 \ mu ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {- \ lambda} {2}}}$

Összekapcsolás Brown-mozgással

A sztochasztikus folyamat által meghatározott ${\ displaystyle X = (X_ {t}, t \ geq 0)}$

{\ displaystyle {\ begin {esetben} X_ {0} = 0 \\ X_ {t} = \ nu t + \ sigma W_ {t} \ end {esetek}}}

hol van a standard Brown-mozgás és $ν> 0$ , egy Brown által $mozgatott$ , $ν$ által sodrott mozgás . ${\ displaystyle (W_ {t}, t \ geq 0)}$

Tehát az X által rögzített $α> 0$ érték (vagy szint) elérésének (vagy első áthaladási idejének) az ideje véletlenszerű és az inverz-Gauss-törvény szerint:

{\ displaystyle T _ {\ alpha} = \ inf \ {t> 0 \ közepén X_ {t} = \ alpha \} \ sim IG \ balra ({\ frac {\ alpha} {\ nu}}, {\ frac {\ alpha ^ {2}} {\ sigma ^ {2}}} \ jobbra). \,}

A nulla sodródásért

Az előző magyarázat gyakori speciális esete az az eset, amikor a Brown-mozgásnak nincs sodródása. Ebben az esetben a $μ$ paraméter a végtelenbe hajlik, és az $α <0$ rögzített érték eléréséhez szükséges idő a valószínűségi sűrűség véletlen változója, mint a Lévy-eloszlás paramétere : ${\ displaystyle c = {\ frac {\ alpha ^ {2}} {\ sigma ^ {2}}}}$

{\ displaystyle f \ left (x; 0, \ left ({\ frac {\ alpha} {\ sigma}} \ right) ^ {2} \ right) = {\ frac {\ alpha} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi x ^ {3}}}}}} exp \ left (- {\ frac {\ alpha ^ {2}} {2x \ sigma ^ {2}}} \ right).}

A legnagyobb valószínűség

Tekintsük a modellt

{\ displaystyle X_ {i} \ sim IG (\ mu, \ lambda w_ {i}), \, \, \, \, \, \, i = 1,2, \ ldots, n}

ahol az összes $w i$ ismert, ismeretlen, és ahol az $X$ $i$ független változók rendelkeznek a valószínűség funkcióval : ${\ displaystyle (\ mu, \ lambda)}$

{\ displaystyle L (\ mu, \ lambda) = \ balra ({\ frac {\ lambda} {2 \ pi}} \ jobbra) ^ {\ frac {n} {2}} \ balra (\ prod _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {w_ {i}} {X_ {i} ^ {3}}} \ jobbra) ^ {\ frac {1} {2}} \ exp \ balra ({\ frac { \ lambda} {\ mu}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} - {\ frac {\ lambda} {2 \ mu ^ {2}}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} X_ {i} - {\ frac {\ lambda} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} {\ frac {1} {X_ {i }}} \ jobb).}

A valószínűségi egyenlet megoldásával a következő becsléseket kapjuk:

{\ displaystyle {\ hat {\ mu}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} X_ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}, \, \, \, \, \, \, \, \, {\ frac {1} {\ hat {\ lambda}}} = {\ frac {1} {n}} \ összeg _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} \ balra ({\ frac {1} {X_ {i}}} - {\ frac {1} {\ hat {\ mu}}} \ jobbra) .}

${\ hat {\ mu}}$ és függetlenek és ${\ displaystyle {\ hat {\ lambda}}}$

{\ displaystyle {\ hat {\ mu}} \ sim IG \ balra (\ mu, \ lambda \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} \ right) \, \, \, \ ,, \, \, \, \, {\ frac {n} {\ hat {\ lambda}}} \ sim {\ frac {1} {\ lambda}} \ chi _ {n-1} ^ {2}.}

Az inverz-Gauss-törvény numerikus szimulációja

A következő algoritmus használható inverz-Gauss-törvényértékek előállítására.

Vesz

{\ displaystyle N \ sim {\ mathcal {N}} (0,1)}

és

{\ displaystyle y = N ^ {2}}

és .

{\ displaystyle X = \ mu + {\ frac {\ mu ^ {2} y} {2 \ lambda}} - {\ frac {\ mu} {2 \ lambda}} {\ sqrt {4 \ mu \ lambda y + \ mu ^ {2} y ^ {2}}}}

Vesz

{\ displaystyle Z \ sim {\ mathcal {U}} (0,1).}

Ha visszatér

{\ displaystyle Z \ leq {\ frac {\ mu} {\ mu + x}}}

x

Ellenkező esetben térjen vissza

{\ displaystyle {\ frac {\ mu ^ {2}} {x}}}

Kapcsolat más törvényekkel

Az inverz-Gauss- törvény és az exponenciális törvény konvolúcióját válaszidő-modellezésként használják a pszichológiában. Ex-Wald törvénynek hívják.

Történelmi

Ezt a törvényt eredetileg Erwin Schrödinger használta 1915-ben a Brown-mozgás elérési idejeként. Az „inverz-Gaussian” ( angolul fordított Gaussian ) elnevezést Tweedie javasolta 1945-ben. Abraham Wald ezt a törvényt 1947-ben egy minta korlátozó formájaként használta fel egy teszt során. Tweedie 1957-ben részletezi a törvény statisztikai tulajdonságait.

Szoftver

Az R programozási nyelv rendelkezik ezzel a törvényrel.

Megjegyzések és hivatkozások

Hivatkozások

(in) Véletlenszerű változatok előállítása John Ro Michael, William R. Schucany és Roy W. Haas, American Statistician , Vol. 30., 2. szám (1976. május), pp. 88–90
(in) Schwarz W (2001) A korábbi Wald-eloszlás, mint a válaszidők leíró modellje. Behav Res Methods Instrum Comput 33 (4): 457-469
Schrodinger E (1915) Zur Theorie der Fall- und Steigversuche an Teilchen mit Brownscher Bewegung. Physikalische Zeitschrift 16, 289-295
Folks JL & Chhikara RS (1978) Az inverz Gaussian és annak statisztikai alkalmazása - áttekintés. J Roy Stat Soc 40 (3) 263-289
http://www.ci.tuwien.ac.at/~hornik/R/R-FAQ.html
statmod csomag

Az inverz gauss eloszlás: Raj Chhikara és Leroy Folks elmélete, módszertana és alkalmazásai , 1989 ( ISBN 0-8247-7997-5 )
A rendszer megbízhatóságának elmélete : Marvin Rausand és Arnljot Høyland
Az inverz Gauss-eloszlás , Dr. V. Seshadri, Oxford Univ Press, 1993