Szimmetrikus mátrix

A lineáris és a bilineáris algebra , egy szimmetrikus mátrix egy négyzetes mátrix , amely egyenlő a saját transzponáltját , azaz úgy, hogy egy i, j = a j, i az összes i és j 1 és n , ahol a egy i, j jelentése a mátrix és n együtthatói annak sorrendje.

Példák

A szimmetrikus mátrix együtthatói szimmetrikusak a főátlóhoz képest (a bal felső saroktól a jobb alsó sarokig). A következő mátrix tehát szimmetrikus:

(246.4010.6.10.12.){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 0 & 10 \\ 6 & 10 & 12 \ end {pmatrix}}}

Bármely átlós mátrix szimmetrikus.

Tulajdonságok

• A bilinear formát képviselő mátrix akkor és csak akkor szimmetrikus, ha ez utóbbi szimmetrikus.
• A készlet szimmetrikus mátrixok rend n együtthatók egy kommutatív területen egy vektor altér a dimenzió n ( n + 1) / 2 a vektor tér négyzetes mátrixok a rend n , és ha a jellemző a test más 2, egy további altér , hogy az antiszimmetrikus mátrixok .

Valódi szimmetrikus mátrixok

Spektrális bomlás

Egy euklideszi térben , egy képviselő mátrixot egy endomorphism egy ortonormáiis bázis szimmetrikus, ha, és csak akkor, ha a endomorphism van önálló csatlakozott . A véges dimenziós spektrális tétel ebből arra következtet, hogy bármely szimmetrikus mátrix valódi együtthatók jelentése diagonalizable alkalmazásával ortogonális átmenet mátrix , mert a sajátértékei egy önálló csatlakozott endomorphism valósak, sajátértékek vannak ortogonális .

Számszerűen a diagonalizáció folyamata bármely szimmetrikus mátrixra vonatkozik, és abból áll, hogy lebontja formában NÁL NÉL{\ displaystyle A}

NÁL NÉL=ODOT{\ displaystyle A = ODO ^ {\ mathsf {T}}}

ahol egy ortogonális mátrix (amelynek oszlopai sajátvektorai a ), és ahol egy diagonális mátrix , amelynek együtthatók pontosan a sajátértékei . O{\ displaystyle O}NÁL NÉL{\ displaystyle A}D{\ displaystyle D}NÁL NÉL{\ displaystyle A}

Megjegyzés  : a komplex együtthatójú szimmetrikus mátrix nem biztos, hogy átlósítható. Például a mátrix

(1énén-1){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & {\ rm {i}} \\ {\ rm {i}} & - 1 \ end {pmatrix}}}

0-t ismer el egyedüli sajátértékként; ha átlósítható lenne, akkor nulla lenne. A valós szimmetrikus mátrixok komplex analógja valójában a hermetikus mátrixok (amelyek a maguk részéről átlósíthatók).

Ky Fan nyomon követi az egyenlőtlenséget

Jelöljük a vektor tér valós szimmetrikus mátrixok a rend n és , a sajátértékek , amely rangsorolja csökkenő sorrendben: Snem{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {n}}λén(NÁL NÉL)∈R{\ displaystyle \ lambda _ {i} (A) \ in \ mathbb {R}}én=1,...,nem{\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}nem{\ displaystyle n}NÁL NÉL∈Snem{\ displaystyle A \ itt: {\ mathcal {S}} ^ {n}}

λ1(NÁL NÉL)⩾λ2(NÁL NÉL)⩾⋯⩾λnem(NÁL NÉL).{\ displaystyle \ lambda _ {1} (A) \ geqslant \ lambda _ {2} (A) \ geqslant \ cdots \ geqslant \ lambda _ {n} (A).}

Bemutatjuk az alkalmazást

λ:Snem→Rnem:NÁL NÉL↦(λ1(NÁL NÉL),...,λnem(NÁL NÉL)){\ displaystyle \ lambda: {\ mathcal {S}} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}: A \ mapsto (\ lambda _ {1} (A), \ ldots, \ lambda _ { n / A))}

és, egy , oszlopvektor , jelöljük az átültetett sorvektor és a diagonális mátrix, amelynek index együttható van . v∈Rnem{\ displaystyle v \ in \ mathbb {R} ^ {n}}vT{\ displaystyle v ^ {\ mathsf {T}}}Diag⁡(v){\ displaystyle \ kezelőnév {Átló} (v)}(én,én){\ displaystyle (i, i)}vén{\ displaystyle v_ {i}}

Ky Fan nyomon követi az egyenlőtlenségeket  -  Mindenre és megvan NÁL NÉL{\ displaystyle A}B∈Snem{\ displaystyle B \ itt: {\ mathcal {S}} ^ {n}}

⟨NÁL NÉL,B⟩⩽λ(NÁL NÉL)Tλ(B),{\ displaystyle \ langle A, B \ rangle \ leqslant \ lambda (A) ^ {\ mathsf {T}} \ lambda (B),}

ahol <⋅, ⋅> jelöli a kanonikus skaláris terméketMnem(R){\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {R})} , az egyenlőséggel akkor és csak akkor lehet szerezni a megrendelt spektrális decompositions és a és az azonos ortogonális mátrix, azaz akkor és csak akkor λ(NÁL NÉL){\ displaystyle \ lambda (A)}λ(B){\ displaystyle \ lambda (B)}NÁL NÉL{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}

∃V ortogonális:NÁL NÉL=VDiag⁡(λ(NÁL NÉL))VTésB=VDiag⁡(λ(B))VT.{\ displaystyle \ létezik \, V ~ {\ mbox {ortogonal}}: \ quad A = V \; \ operátornév {Diag} (\ lambda (A)) \; V ^ {\ mathsf {T}} \ quad { \ mbox {és}} \ quad B = V \; \ operátor neve {Diag} (\ lambda (B)) \; V ^ {\ mathsf {T}}.}

Megjegyzések

• A fenti nyomkövetési egyenlőtlenséget Ky Fan publikálta 1949-ben, de szorosan kapcsolódik von Neumann (1937) korábbi munkájához . Az egyenlőség feltétele CM Teobald (1975).
• Szerint a fordítás fenti szempontjából önálló csatlakozott endomorfizmusok, és amelyek egyidejűleg diagonalizable akkor és csak akkor, ha ingázik, és az átjáró mátrixot ezután választott ortogonális. A fent említett feltétel, hogy egyenlőség legyen a Ky Fan egyenlőtlenségben, erősebb, mert megköveteli a kapott átlós mátrixok rendezését . Tehát, és ingázik, de eltér ettől .NÁL NÉL{\ displaystyle A}B∈Snem{\ displaystyle B \ itt: {\ mathcal {S}} ^ {n}}NÁL NÉL=Diag⁡(1,2){\ displaystyle A = \ operátornév {Átló} (1,2)}B=Diag⁡(2,1){\ displaystyle B = \ operátornév {Átló} (2,1)}⟨NÁL NÉL,B⟩=4{\ displaystyle \ langle A, B \ rangle = 4}λ(NÁL NÉL)Tλ(B)=5.{\ displaystyle \ lambda (A) ^ {\ mathsf {T}} \ lambda (B) = 5}
• A Ky Fan egyenlőtlenség pontosítás a Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenség a euklideszi altér az , abban az értelemben, hogy az utóbbi lehet levezetni az előbbi. Valóban, ha a merőleges, vanSnem{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {n}}Mnem(R){\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {R})}NÁL NÉL=VDiag⁡(λ(NÁL NÉL))VT{\ displaystyle A = V \, \ operátor neve {Átló} (\ lambda (A)) \, V ^ {\ mathsf {T}}}V{\ displaystyle V}
  ‖λ(NÁL NÉL)‖2=‖Diag⁡(λ(NÁL NÉL))‖=‖VDiag⁡(λ(NÁL NÉL))VT‖=‖NÁL NÉL‖,{\ displaystyle \ | \ lambda (A) \ | _ {2} = \ | \ operátor neve {Átló} (\ lambda (A)) \ | = \ | V \, \ operátor neve {Átló} (\ lambda (A) ) \, V ^ {\ mathsf {T}} \ | = \ | A \ |,}
  
  ahol és jelöli a kanonikus euklideszi normákat és . Ezért a Ky rajongói egyenlőtlenség és a Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség az adás mellett‖⋅‖2{\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {2}}‖⋅‖{\ displaystyle \ | \ cdot \ |}Rnem{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}Mnem(R){\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {R})}Rnem{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
  ⟨NÁL NÉL,B⟩⩽‖λ(NÁL NÉL)‖2‖λ(B)‖2=‖NÁL NÉL‖‖B‖.{\ displaystyle \ langle A, B \ rangle \ leqslant \ | \ lambda (A) \ | _ {2} \, \ | \ lambda (B) \ | _ {2} = \ | A \ | \, \ | B \ |.}
  
  Mi levezetni a Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség által is figyelembe véve, hogy kapjuk, hogy a fenti a .Snem{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {n}}B{\ displaystyle B}-B{\ displaystyle -B}
• Ha egyenlőtlen Ky Fan-t alkalmazunk az átlós mátrixokra, van egy Hardy-egyenlőtlenség, Littlewood és Polya , amellyel egyszerűen be lehet mutatni, hogy két vektor euklideszi skaláris szorzata, és a vektorok határolják, és az előző vektorokból származnak, ha alkatrészeiket csökkenő sorrendbe rendezik:x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}[x]{\ displaystyle [x]}[y]{\ displaystyle [y]}
  ∀x,y∈Rnem:xTy⩽[x]T[y].{\ displaystyle \ forall \, x, y \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \ qquad x ^ {\ mathsf {T}} y \ leqslant [x] ^ {\ mathsf {T}} [y] .}
  
  

Pozitív szimmetrikus mátrixok

Az n rendű valós S szimmetrikus S mátrixot mondjuk:

• pozitív, ha a társult (szimmetrikus bilinear) forma pozitív, azaz ha

∀x∈Rnem,xTSx≥0 ;{\ displaystyle \ forall \, x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, \ qquad x ^ {\ mathsf {T}} Sx \ geq 0 ~;}

• pozitív határozott, ha a társított forma határozott és pozitív, azaz ha

∀x∈Rnem∖{0},xTSx>0.{\ displaystyle \ forall \, x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \}, \ qquad x ^ {\ mathsf {T}} Sx> 0.}

Megjegyzés: egy ilyen (széles vagy akár szigorú) egyenlőtlenséget ellenőrző valós négyzetmátrix nem feltétlenül szimmetrikus (vö. Síkfordulási mátrix ).

Beton felhasználások

A szimmetrikus mátrix a rend 3 jelentése kúpszelet a homogén koordináták egy projektív sík felépített . VS3∖{(0,0,0)}{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3} \, \ hátsó perjel \, \ {(0,0,0) \}}

Függelékek

Megjegyzések

1. (en) K. ventilátor (1949). Weyl-tételünk van a lineáris transzformációk sajátértékeire vonatkozóan. Az Amerikai Egyesült Államok Nemzeti Tudományos Akadémiájának közleményei 35, 652-655. [ online olvasás ]
2. (en) J. Neumann (1937). Néhány mátrix-egyenlőtlenség és a mátrix-tér mérése. Tomszki Egyetemi Szemle 1, 286-300. In Collected Works , Pergamon, Oxford, 1962, IV. Kötet, 205–218.
3. (en) CM Teobald (1975). Két szimmetrikus mátrix szorzatának egyenlőtlensége. A Cambridge Philosophical Society matematikai anyagai 77, 265-266.
4. (in) GH Hardy , JE Littlewood és G. Pólya , egyenlőtlenségek , Cambridge University Press , Cambridge, Egyesült Királyság, 1952.

Szakkönyv

(en) JM Borwein és AS Lewis , Convex Analysis an Nonlinear Optimization , New York, Springer ,2000

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">