Faktoriális pillanat
A matematika és konkrétabban a valószínűségszámítás , a faktoriális pillanatban jelöli a várakozás a csökkenő faktoriális egy véletlen változó . A faktoriális momentumok hasznosak a természetes egész számok halmazában szereplő értékekkel rendelkező véletlen változók tanulmányozásában.
A faktoriális momentumokat a kombinatorika matematikai területén is alkalmazzák, diszkrét matematikai struktúrák tanulmányozására.
Meghatározás
Természetes r egész szám esetén az X valós vagy komplex értékű véletlen változó r- edik faktori nyomatéka az
E[(x)r]=E[x(x-1)(x-2)⋯(x-r+1)]{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} (X) _ {r} {\ bigr]} = \ mathbb {E} {\ bigl [} X (X-1) (X-2) \ cdots ( Xr + 1) {\ bigr]}}ahol a reményt és
E{\ displaystyle \ mathbb {E}}
(x)r: =x(x-1)(x-2)⋯(x-r+1)⏟r feltételeket{\ displaystyle (x) _ {r}: = \ underbrace {x (x-1) (x-2) \ cdots (x-r + 1)} _ {r {\ text {terms}}}}jelölje a csökkenő faktoriált (ezt konvenciónak tekintjük ). Ahhoz, hogy ez az utolsó elvárás jól meghatározható, szükséges például, hogy vagy .
(x)0=1{\ displaystyle (x) _ {0} = 1}(x)r≥0{\ displaystyle (X) _ {r} \ geq 0}E[|(x)r|]<∞{\ displaystyle \ mathbb {E} [| (X) _ {r} |] <\ infty}
Megjegyezzük, hogy a definícióban nem szükséges, hogy X pozitív egész számokkal rendelkezzen, még akkor is, ha nagyon gyakran a tényleges momentum fogalmát véletlenszerű változók összefüggésében használják, a természetes egészek halmazában szereplő értékekkel.
Példák
Poisson-törvény
Ha egy X véletlen változó Poisson-eloszlást követ a λ paraméterrel , akkor X faktoriális momentumait adja meg
E[(x)r]=λr{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} (X) _ {r} {\ bigr]} = \ lambda ^ {r}}.
Ez a képlet meglehetősen egyszerű ahhoz a klasszikus momentum- képlethez képest, amely Stirling második típusú számokat tartalmaz .
Binomiális törvény
Ha egy X véletlen változó követi az n és p paraméterek binomiális eloszlását , akkor X faktoriális momentumait az adja meg
E[(x)r]=(nem)ror{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} (X) _ {r} {\ bigr]} = (n) _ {r} p ^ {r}}.
Hypergeometrikus törvény
Ha egy valószínűségi változó X következőképpen egy hipergeometrikus törvény paraméterek n , p és N , akkor a faktoriális pillanataiban X adják
E[(x)r]=(nem)r(oNEM)r(NEM)r{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} (X) _ {r} {\ bigr]} = {\ frac {(n) _ {r} (pN) _ {r}} {(N) _ {r}}}}.
Béta-binomiális törvény
Ha egy valószínűségi változó X következőképpen egy béta-binomiális eloszlású paraméterek α , β és n , majd a faktoriális pillanataiban X adják
E[(x)r]=(nem)r(α)r(α+β)r{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} (X) _ {r} {\ bigr]} = {\ frac {(n) _ {r} (\ alpha) _ {r}} {(\ alpha + \ béta) _ {r}}}}.
Markov-Pólya törvény
Ha egy X véletlen változó Markov-Pólya-törvényt követ az a , b , h és n paraméterekkel , más szóval
P(x=k)=(nemk)nál nél(nál nél+h)...(nál nél+(k-1)h)b(b+h)...(b+(nem-k-1)h)(nál nél+b)(nál nél+b+h)...(nál nél+b+(nem-1)h) ∀k=0,1,...nem{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k) = {\ binom {n} {k}} {\ frac {a (a + h) \ pontok (a + (k-1) h) b (b + h) \ pontok (b + (nk-1) h)} {(a + b) (a + b + h) \ pontok (a + b + (n-1) h)}} ~~~~~~ \ összes k = 0,1, \ pont n}akkor nem nulla h esetén X faktoriális momentumait adja meg
E[(x)r]=(nem)r(-nál nél/h)r(-(nál nél+b)/h)r=(nem)r(nál nél/h)(r)((nál nél+b)/h)(r){\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} (X) _ {r} {\ bigr]} = {\ frac {(n) _ {r} (- a / h) _ {r}} {( - (a + b) / h) _ {r}}} = {\ frac {(n) _ {r} (a / h) ^ {(r)}} {((a + b) / h) ^ {(r)}}}}ahol a növekvő tényezőt jelöli .
x(r){\ displaystyle x ^ {(r)}}
Ha h értéke nulla, akkor X az n és a p = a / ( a + b ) paraméterek binomiális eloszlását követi .
Hasonlóképpen, ha h egyenlő -1, akkor X hipergeometriai törvényt követ, amelynek paraméterei n , p = a / ( a + b ) és N = a + b .
Végül, ha h egyenlő 1-vel, akkor X egy béta-binomiális törvényt követ, amelynek paraméterei α = a , β = b és n .
Negatív binomiális törvény
Ha egy X véletlen változó az n és p paraméterek negatív binomiális eloszlását követi , más szavakkal, ha
P(x=k)=(nem+k-1k)onem(1-o)k ∀k=0,1,...{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k) = {\ binom {n + k-1} {k}} p ^ {n} (1-p) ^ {k} ~~~~~~ \ mind k = 0,1, \ pont}akkor X faktoriális mozzanatait adja meg
E[(x)r]=(1-o)rnem(r)or{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} (X) _ {r} {\ bigr]} = {\ frac {(1-p) ^ {r} n ^ {(r)}} {p ^ {r}}}}ahol a növekvő tényezőt jelöli .
x(r){\ displaystyle x ^ {(r)}}
Kapcsolat más mennyiségekkel
Pillanatok
Az X véletlen változó n- edik momentuma akkor létezik és csak akkor véges, ha létezik n- edik faktori nyomatéka, és véges, ráadásul ha igen, akkor a következő összefüggés van
E[xnem]=∑r=0nemS(nem,r)E[(x)r]{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} X ^ {n} {\ bigr]} = \ összeg _ {r = 0} ^ {n} S (n, r) \ mathbb {E} [(X ) _ {r}]}ahol S ( n , r ) a második fajta Stirling-számot jelöli .
Valószínűséggeneráló függvény
Abban az esetben, egy véletlenszerű változó X pozitív egész szám, a R -edik faktoriális momentum egy véletlenszerű változó X létezik, és véges, ha, és csak akkor, ha a generáló funkciója a valószínűségek elismeri egy bal származékot sorrendben R 1, sőt, adott esetben a következő összefüggés áll fennGx{\ displaystyle G_ {X}}
E[(x)r]=Gx(r)(1){\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} (X) _ {r} {\ bigr]} = G_ {X} ^ {(r)} (1)}.
Mass funkció
Pozitív egészértékű X véletlenszerű változó esetén természetesen összefüggésbe hozhatjuk az X r- edik tényleges momentumát a tömegfüggvényével
E[(x)r]=∑k=0+∞(r+k)!k!P(x=r+k){\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} (X) _ {r} {\ bigr]} = \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(r + k)! } {k!}} \ mathbb {P} (X = r + k)}.
Lehetőség van ennek a képletnek az invertálására annak érdekében, hogy a tömegfüggvény kifejezése a faktoriális momentumok függvényében létrejöjjön
P(x=k)=∑ℓ=0+∞(-1)ℓk!ℓ!E[(x)k+ℓ]{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = k) = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {\ ell}} {k! \ ell!} } \ mathbb {E} {\ bigl [} (X) _ {k + \ ell} {\ bigr]}}.
Lásd még
Megjegyzések és hivatkozások
-
DJ Daley és D. Vere-Jones. Bevezetés a pontfolyamatok elméletébe. Repülési. Én . Valószínűség és alkalmazásai (New York). Springer, New York, második kiadás, 2003
-
John Riordan , Bevezetés a kombinatorikus elemzésbe , Dover,1958
-
John Riordan , Bevezetés a kombinatorikus elemzésbe , Dover,1958, 30 p.
-
Potts, RB, „ Megjegyzés a standard eloszlások faktoriális mozzanatairól ”, Australian Journal of Physics , CSIRO, vol. 6,1953, P. 498–499 ( DOI 10.1071 / ph530498 )
-
(in) RC Tripathi, RC Gupta és J Gurland, " Paraméterek becslése a béta binomiális modellben " , Ann. Inst. Stat. Math , vol. 46,1994, P. 317-331 ( online olvasás )
-
Charles Jordan, „ Az ismételt tesztek valószínűségének általánosított esetéről ”, CR Acad. Sci. Párizs , vol. 184,1927, P. 315-317
-
(in) " Negatív binomiális tényezői idő " ,2016
-
Laurent Rouvière, " Általános valószínűségek " , p. 43
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">