Frobenius-módszer
Az elemzés , a Frobenius módszer , nevezték el a német matematikus Ferdinand Georg Frobenius , egy technika megszerzéséhez egész sorozat fejlődését a megoldások egy lineáris differenciálegyenlet formájában :
d2udz2+o(z)dudz+q(z)u=0,{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} z ^ {2}}} + p (z) {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} z}} + q (z) u = 0,}A változó z hogy általában komplex , a közelben a pont Z = egy , feltéve, hogy p ( z ) és a q ( z ) vannak analitikai , vagy van egy szinguláris pont nevű rendszeresen ezen a ponton. Ha ezeket a feltételeket betartják, a Frobenius-módszer lehetővé teszi a forma legalább egy megoldásának meghatározását:
u(z)=∑nem=0+∞nál nélnem(z-nál nél)nem+r,(nál nél0≠0),r∈R.{\ displaystyle u (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {a_ {n} (za) ^ {n + r}}, \ qquad (a_ {0} \ neq 0), r \ in \ mathbb {R}.}Ezt a módszert általánosíthatjuk nem meghatározott p sorrendű lineáris differenciálegyenletre , az egyes származékok előtt megjelenő függvények megfelelő szabályszerűségi feltételeinek függvényében .
ok(z){\ displaystyle p_ {k} (z)}y(k),k=0,...,o-1{\ displaystyle y ^ {(k)}, \ quad k = 0, \ dots, p-1}
Általános elvek
Gyakran nem lehet közvetlenül, még lineárisan is integrálni a differenciálegyenleteket, és megoldásaikat polinomokból vagy "hétköznapi" transzcendentális függvényekből (például exponenciális , logaritmus , trigonometrikus függvények stb.) Kifejezni . Ezenkívül, még ha analitikai megoldás is elérhető, ennek nagyon összetett formája lehet, és a gyakorlatban alig használható.
Mindezen okokból hasznos olyan módszerek alkalmazása, amelyek lehetővé teszik a differenciálegyenlet megoldásának közelítő formáinak megszerzését. Ezek a módszerek két nagy kategóriába sorolhatók:
- helyi módszerek , ahol a megközelítő megoldást egy adott pont szomszédságában kívánják kifejezni;
- globális módszerek , ahol ezt a hozzávetőleges megoldást egy bizonyos intervallumon keresztül kívánják kifejezni: lényegében perturbációs módszerekről van szó, ahol egyszerűsíteni kell a kezdeti egyenletet bizonyos kifejezések elhanyagolásával, ami könnyen integrálhatóvá teszi az egyenletet, mielőtt figyelembe veszik az elhanyagolt kifejezéseket. az így kapott „0 sorrend” megoldás felhasználásával. Ezt a fajta módszert gyakran használják a csillagászatban vagy a kvantumfizikában .
A módszer elve
A Frobenius-módszer a módszerek első kategóriájába tartozik. Amint azt a bevezetőben jeleztük, az általános forma második rendjének lineáris differenciálegyenleteire vonatkozik:
d2udz2+o(z)dudz+q(z)u=0,{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} z ^ {2}}} + p (z) {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} z}} + q (z) u = 0,}és lehetővé teszi, hogy megkapjuk a szomszédságában egy pont Z = a fejlesztési legalább egy egész sorozat oldatának formájábanu(z)=∑nem=0+∞nál nélnem(z-nál nél)nem+r,(nál nél0≠0),r∈R.{\ displaystyle u (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {a_ {n} (za) ^ {n + r}}, \ qquad (a_ {0} \ neq 0), r \ in \ mathbb {R}.}
Az elv az lesz, hogy ezt a kifejezést helyettesítsük a differenciálegyenletben, és terminusonkénti azonosítással meghatározzuk az r-t, majd az a n együtthatók kifejeződését , amely általában magában foglalja az őket összekötő megismétlődési összefüggést .
A sorozat létezése és konvergenciája
Ha a differenciálegyenlet linearitása miatt formálisan mindig lehetséges ennek a helyettesítésnek a végrehajtása, akkor felmerül a sorozat konvergenciájának és a hozzá tartozó sugárnak a kérdése. Hasznos ezt a kérdést a komplex síkban elhelyezni.
Valójában egy pont szomszédságában differenciálható komplex (és egységes) változó u függvénye ebben a környéken valójában határozatlanul differenciálható. Ezután azt mondják, hogy ezen a ponton analitikus , és a tartomány bármely olyan pontja körül , ahol az u analitikus, egész sorban fejleszthető, egységes konvergenciával az összes figyelembe vett tartományban.
z=nál nél∈VS{\ displaystyle z = a \ in \ mathbb {C}}
Szabályos és egyes pontok
Általánosságban elmondható, hogy egy pontra egy komplex változófüggvény alakítható ki , amely egy pont körüli tartományban analitikus , Laurent-sorozatban :
z=nál nél∈VS{\ displaystyle z = a \ in \ mathbb {C}}r<|z-nál nél|<R{\ displaystyle r <| za | <R}
u(z)=∑nem=-∞nem=+∞unem(z-nál nél)nem,{\ displaystyle u (z) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {n = + \ infty} {u_ {n} (za) ^ {n}},}ez a fejlemény egyedülálló, és a konvergencia egységes az egész területen. A sorozat a rendszeres része a fejlesztés, a sorozat pedig a fő részét belőle.
∑nem=0nem=+∞unem(z-nál nél)nem{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {n = + \ infty} {u_ {n} (za) ^ {n}}}∑nem=-∞nem=-1unem(z-nál nél)nem{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {n = -1} {u_ {n} (za) ^ {n}}}
Ha u analitikus az a-ban , akkor Laurentian-féle fejlõdésének minden együtthatója nulla: azt mondják, hogy ez a fajta pont szabályos . Ellenkező esetben a lényeg egyesnek mondható , és meg lehet különböztetni:
- a lényeges egyes pontok , amelyeknél a fejlõdés fõ része végtelen terminusokat tartalmaz: ebben az esetben nem léteznek;limz→nál nélu(z){\ displaystyle \ lim _ {z \ to} u (z)}
- Az oszlopok a rend p , melyek a fő része van egy véges számú tagra és a forma: .u-o(z-nál nél)o+u-o+1(z-nál nél)o-1+⋯+vs.-1(z-nál nél){\ displaystyle {\ frac {u _ {- p}} {(za) ^ {p}}} + {\ frac {u _ {- p + 1}} {(za) ^ {p-1}}} + \ pont + {\ frac {c _ {- 1}} {(za)}}}
A megoldások általános formája - Fuchs-tétel
Az előző elképzelések lehetővé teszik a differenciálegyenlet legalább egy megoldásának létfeltételeinek meghatározását, amelyek a fentiek szerinti forma egész soros kiterjesztését engedik meg a figyelembe vett pont körüli, nulla sugarú tartományban.
Valójában ezután bizonyítani lehet a következő tételt egy ilyen megoldás létezésére vonatkozóan:
- Ha, a differenciálegyenlet a formában , a funkciók p és q jelentése analitikus a tartomány , akkor létezik egy egyenlet megoldása az általános formában , a folyamatos, és f analitikus az egész tartomány tekinthető.u″+o(z)u′+q(z)u=0{\ displaystyle u '' + p (z) u '+ q (z) u = 0}r<|z-nál nél|<R,0<r<R{\ displaystyle r <| za | <R, \ quad 0 <r <R}u(z)=(z-nál nél)rf(z){\ displaystyle u (z) = (za) ^ {r} f (z)}r∈VS{\ displaystyle r \ in \ mathbb {C}}
Ha ekkor p ( z ) és q ( z ) is analitikus a doménen, beleértve z = a-t is , akkor ezt a pontot közönségesnek mondjuk . Ha nem ez a helyzet, akkor a pont egyesnek minősül . Ha azonban létezik, bármilyen megoldás a differenciálegyenlet, a valós szám s oly módon, hogy a szinguláris pont azt mondják, hogy a rendszeres . Ellenkező esetben szabálytalan lesz .
|z-nál nél|<R{\ displaystyle | za | <R} limz→nál nél(z-nál nél)su(z)=0{\ displaystyle \ lim _ {z \ to} {(za) ^ {s} u (z)} = 0}
A Fuchs (in) tétele ekkor kimondja, hogy szabályos egyespont lesz, ha és a teljes mezőben analitikus .
z=nál nél{\ displaystyle z = a}(z-nál nél)o(z){\ displaystyle (za) p (z)}(z-nál nél)2q(z){\ displaystyle (za) ^ {2} q (z)}|z-nál nél|<R,R>0{\ displaystyle | za | <R, \ quad R> 0}
Lehetőség van a szabálytalan vagy az egyes karakterek tanulmányozására is a végtelenségen, a differenciálegyenletben végrehajtva a változó változását ( Möbius-transzformáció ) , valamint a viselkedést w = 0-nál .
w=1/z{\ displaystyle w = 1 / z}
Példa: legyen a differenciálegyenlet. Nyilvánvaló,ésaz egész komplex síkon analitikusak, kivéve az origót, ami nyilvánvaló, hogy ez az 1. sorrend pólusát képezi. Mint másrészt,ésaz eredeténél analitikusak, a pontegy szabályos egyespontot alkot.
zu″+(β-z)u′-αu=0,α,β∈R{\ displaystyle zu '' + (\ beta -z) u '- \ alpha u = 0, \ quad \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R}}o(z)=βz-1{\ displaystyle p (z) = {\ tfrac {\ beta} {z}} - 1}q(z)=-αz{\ displaystyle q (z) = - {\ tfrac {\ alpha} {z}}}P(z)=zo(z)=β-z{\ displaystyle P (z) = zp (z) = \ beta -z}Q(z)=z2q(z)=-αz{\ displaystyle Q (z) = z ^ {2} q (z) = - \ alfa z}z=0{\ displaystyle z = 0}
Ha ezután elvégzi a változás változó differenciálegyenlet kerül a formában , ezért ebben az esetben egyértelmű, hogy , és nem analitikus itt : az egyik következtetést vonja le, hogy, hogy egy szabálytalan színgulárispont erre differenciálegyenlet.
w=1/z{\ displaystyle w = 1 / z}u″+(2-βw+1w2)u′-αw3u=0, val vel u=u(w){\ displaystyle u '' + \ bal ({\ tfrac {2- \ beta} {w}} + {\ tfrac {1} {w ^ {2}}} \ jobbra) u '- {\ tfrac {\ alpha } {w ^ {3}}} u = 0, {\ text {with}} u = u (w)}wo(w)=2-β+1w{\ displaystyle wp (w) = 2- \ beta + {\ tfrac {1} {w}}}w2q(w)=-αw{\ displaystyle w ^ {2} q (w) = - {\ tfrac {\ alpha} {w}}}w=0{\ displaystyle w = 0}z=∞{\ displaystyle z = \ infty}
Következésképpen, ha a funkciók p és q jelentése az analitikai , vagy olyan, hogy ezen a ponton egy szabályos szinguláris pont , akkor nem lesz léteznek legalább az egyik megoldás az általános formában , a valós R és analitikai f a szomszédságában . Az előzőekből egyértelmű, hogy az R konvergencia sugara megegyezik a legközelebb eső szinguláris ponttal való távolság minimumával . A sorozat konvergenciája a figyelembe vett tartományban is egységes lesz . Mindez igazolja a fejlesztés Frobenius-módszerben javasolt formáját.
z=nál nél{\ displaystyle z = a}u(z)=(z-nál nél)rf(z){\ displaystyle u (z) = (za) ^ {r} f (z)} nál nél<|z-nál nél|<R,R>0{\ displaystyle a <| za | <R, \ quad R> 0}z=nál nél{\ displaystyle z = a}
A módszer bemutatása
A Frobenius-módszer a következő lépésekből áll:
- Vagy az általános forma és a közönséges pont differenciálegyenletét , vagy a szabályos egyes számot állítjuk be, és mely függvények a figyelembe vett ponton analitikusak ;d2udz2+o(z)dudz+q(z)u=0,{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} z ^ {2}}} + p (z) {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} z}} + q (z) u = 0,}z=nál nél{\ displaystyle z = a}Pnál nél(z)=(z-nál nél)o(z){\ displaystyle P_ {a} (z) = (za) p (z)}Qnál nél(z)=(z-nál nél)2q(z){\ displaystyle Q_ {a} (z) = (za) ^ {2} q (z)}
- Mi helyettesítheti a differenciálegyenlet a kifejezés az oldat formájában az egész sorozat (ismert, mint Frobenius): a , az úgynevezett index kitevő .u(z)=∑nem=0∞nál nélnem(z-nál nél)nem+r,(nál nél0≠0),{\ displaystyle u (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} (za) ^ {n + r}, \ qquad (a_ {0} \ neq 0),}r∈R{\ displaystyle r \ in \ mathbb {R}}
- Ezután sorra jönnek a következő kifejezések a differenciálegyenlet különböző feltételei számára:
q(z)u=∑nem=0+∞nál nélnemQnál nél(z)(z-nál nél)nem+r-2,{\ displaystyle q (z) u = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {a_ {n} Q_ {a} (z) (za) ^ {n + r-2}},}
o(z)dudz=∑nem=0+∞nál nélnem(nem+r)Pnál nél(z)(z-nál nél)nem+r-2,{\ displaystyle p (z) {\ frac {du} {dz}} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {a_ {n} (n + r) P_ {a} (z) ( za) ^ {n + r-2}},}
d2udz2=∑nem=0+∞nál nélnem(nem+r)(nem+r-1)(z-nál nél)nem+r-2.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} z ^ {2}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {a_ {n } (n + r) (n + r-1) (za) ^ {n + r-2}}.}
- Következésképpen a differenciálegyenlet a következő formában jelenik meg:
(z-nál nél)r(∑nem=0+∞nál nélnem[(nem+r)(nem+r-1)+Pnál nél(z)(nem+r)+Qnál nél(z)](z-nál nél)nem-2)=0,{\ displaystyle (za) ^ {r} \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {a_ {n} \ left [(n + r) (n + r-1) + P_ { a} (z) (n + r) + Q_ {a} (z) \ jobbra] (za) ^ {n-2}} \ jobbra = 0,}
azonosítással azonban ezt az egyenlőséget csak akkor ellenőrizzük, ha az összeg
z-jében azonos fokú
tagok mindegyike nulla.
- Megegyezés alapján, úgy gondoljuk, hogy , és úgy véljük, a legalacsonyabb rendű távon, azaz az egyik a , értékelték , ahol definíció és analitikus, ott jön egy másodfokú egyenlet r úgynevezett index egyenlet :nál nél0≠0{\ displaystyle a_ {0} \ neq 0}zr-2{\ displaystyle z ^ {r-2}}z=nál nél{\ displaystyle z = a}Pnál nél(z){\ displaystyle P_ {a} (z)}Qnál nél(z){\ displaystyle Q_ {a} (z)}
r2+(Pnál nél(0)-1)r+Qnál nél(0)=0,{\ displaystyle r ^ {2} + (P_ {a} (0) -1) r + Q_ {a} (0) = 0,}
amelynek gyökereit általában és azzal jegyzik .
r1{\ displaystyle r_ {1}}r2{\ displaystyle r_ {2}}r1>r2{\ displaystyle r_ {1}> r_ {2}}
- Az így kapott r egyik értékének a következő kifejezésekben történő helyettesítése lehetővé teszi az együtthatók kifejezésének megszerzését , tetszőlegesen maradva (leggyakrabban mi vesszük ). Általában ez a kifejezés megismétlődő kapcsolat formájában jelenik meg , és .nál nélnem{\ displaystyle a_ {n}}nál nél0{\ displaystyle a_ {0}}nál nél0=1{\ displaystyle a_ {0} = 1}nál nélnem{\ displaystyle a_ {n}}nál nélnem-1{\ displaystyle a_ {n-1}}nál nélnem+2{\ displaystyle a_ {n + 2}}
Alkalmazási példák
Két példa szemlélteti a módszert:
- Tekintsük a differenciálegyenletet , amely azonnal formát öltz2u″-zu′+(1-z)u=0{\ displaystyle z ^ {2} u '' - zu '+ (1-z) u = 0}u″-1zu′+1-zz2u=0.{\ displaystyle u '' - {1 \ over z} u '+ {1-z \ over z ^ {2}} u = 0.}
Ennek eredményeként , és ezek a funkciók fogadására is rendszeres szinguláris pont
z = 0 , és , .
o(z)=-1z{\ displaystyle p (z) = - {1 \ felett z}}q(z)=1-zz2{\ displaystyle q (z) = {1-z \ felett z ^ {2}}}P0(z)=-1{\ displaystyle P_ {0} (z) = - 1}Q0(z)=1-z{\ displaystyle Q_ {0} (z) = 1-z}
A fentiek szerint a Frobenius sorozat kiterjesztési egyenletének helyettesítése a következőket adja:
z=0{\ displaystyle z = 0}
zr(∑nem=0+∞nál nélnem[(nem+r-1)2znem-2-znem-1])=0{\ displaystyle z ^ {r} \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {a_ {n} \ left [(n + r-1) ^ {2} z ^ {n-2 } -z ^ {n-1} \ right]} \ right) = 0},
vagy ugyanezen
n fokú tagok átrendezése után :
(r-1)2nál nél0zr-2+∑nem=1∞((nem+r-1)2nál nélnem-nál nélnem-1)znem+r-2=0{\ displaystyle (r-1) ^ {2} a_ {0} z ^ {r-2} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bal ((n + r-1) ^ {2 } a_ {n} -a_ {n-1} \ jobbra) z ^ {n + r-2} = 0},
a megadott indexegyenlet, amely beengedi a kettős gyököt .
(r-1)2=0{\ displaystyle (r-1) ^ {2} = 0}r=1{\ displaystyle r = 1}
Ezt az értéket behelyettesítve az előző kifejezés index kitevőjére, ekkor a következőket kapja:
∑nem=1∞((nem2nál nélnem-nál nélnem-1)znem-1=0,{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ balra ((n ^ {2} a_ {n} -a_ {n-1} \ jobbra) z ^ {n-1} = 0,}
amely magában foglalja a megismétlődés kapcsolatát , vagyis a kifejezés szerint .
nál nélnem+1=nál nélnem(nem+1)2{\ displaystyle a_ {n + 1} = {\ frac {a_ {n}} {(n + 1) ^ {2}}}}nál nél0{\ displaystyle a_ {0}}nál nélnem=nál nél0(nem!)2{\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {a_ {0}} {(n!) ^ {2}}}}
- Legyen a:: differenciálegyenlet , amely nyilvánvaló, szabályos, egyes számú pont. Ebben az esetben , és az index egyenlet adja , amely elismeri, két különböző gyökerek és .u″-6.z2u=0{\ displaystyle u '' - {\ frac {6} {z ^ {2}}} u = 0}z=0{\ displaystyle z = 0}P0(z)=0{\ displaystyle P_ {0} (z) = 0}Q0(z)=-6.{\ displaystyle Q_ {0} (z) = - 6}r2-r-6.=0{\ displaystyle r ^ {2} -r-6 = 0}r1=3{\ displaystyle r_ {1} = 3}r2=-2{\ displaystyle r_ {2} = - 2}
A fejlesztés egész sorokban történő helyettesítése a következő kifejezést adja:
u(z){\ displaystyle u (z)}
∑nem=0+∞nál nélnem((nem+r)(nem+r-1)-6.)znem+r-2=0{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {a_ {n} \ bal ((n + r) (n + r-1) -6 \ jobb) z ^ {n + r-2 }} = 0}ami azt jelenti, hogy az
r összes értéke esetén . Ezért nincs megismétlődési összefüggés, azonban ha egyet választunk, két lehetséges megoldást és . Könnyű ellenőrizni, hogy valóban az egyenlet megoldásai-e, a második azonban nem analitikus az eredeténél (2. sorrendű pólus).
nál nélnem=0{\ displaystyle a_ {n} = 0}nem≠0{\ displaystyle n \ neq 0}nál nél0=1{\ displaystyle a_ {0} = 1}u1(z)=z3{\ displaystyle u_ {1} (z) = z ^ {3}}u2(z)=z-2{\ displaystyle u_ {2} (z) = z ^ {- 2}}
Megjegyzések és hivatkozások
Megjegyzések
-
Itt nem ezeknek az egyenleteknek a numerikus felbontásáról van szó, hanem arról, hogy megfelelő fejlesztéssel közelítsük meg a valós megoldást, jelen esetben itt egész sorokban .
-
Értékét u ( z ) egyenlő a saját Taylor-sor körül Z = egy .
-
Mi azt is jelenti, hogy ezek a funkciók elismerik a sorozat Laurent és .z=nál nél{\ displaystyle z = a} o(z)=o-1(z-nál nél)+o0+nál nél1(z-nál nél)+o2(z-nál nél)2+...{\ displaystyle p (z) = {\ frac {p _ {- 1}} {(za)}} + p_ {0} + a_ {1} (za) + p_ {2} (za) ^ {2} + \ pont}q(z)=q-2(z-nál nél)2+q-1(z-nál nél)+q0+q1(z-nál nél)+q2(z-nál nél)2+...{\ displaystyle q (z) = {\ frac {q _ {- 2}} {(za) ^ {2}}} + {\ frac {q _ {- 1}} {(za)}} + q_ { 0} + q_ {1} (za) + q_ {2} (za) ^ {2} + \ dots}
-
Ez a differenciálegyenlet az összefolyó hipergeometrikus függvényhez kapcsolódik .
-
Így egész sorozatban fejleszthető .z=nál nél{\ displaystyle z = a}
Hivatkozások
-
(en) George Arfken , Matematikai módszerek fizikusoknak , San Diego / New York / Berkeley stb., Academic Press ,1985, 3 e . , 985 p. , keménytáblás ( ISBN 0-12-059820-5 , LCCN 84-71328 ) , fej . 8. §, 5. bek
-
(en) Carl M. Bender (en) és Steven A. Orszag , Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers , New York, Mc Graw-Hill , coll. "Tiszta és alkalmazott matematika nemzetközi sorozat",1978, 593 p. , kötött ( ISBN 0-07-004452-X , LCCN 77-29168 ) , II . rész, fej . 3.
-
Hervé Reinhard, Differenciálegyenletek: Alapítványok és alkalmazások , Párizs, Éditions Dunod ,1989, 2 nd ed. , 452 p. , Puhafedeles ( ISBN 2-04-018814-2 , nyilatkozat BNF n o FRBNF36633166 , LCCN 83.130.784 ) , része VII.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">