A numerikus analízisben a véges különbség módszer a parciális differenciálegyenletek közelítő megoldásainak megtalálásához elterjedt technika, amely egy olyan viszonyrendszer (digitális diagram) megoldásában áll, amely összekapcsolja az ismeretlen függvények értékeit bizonyos pontokon, egymáshoz kellően közel. .
Úgy tűnik, hogy ez a módszer a legegyszerűbben megvalósítható, mivel két szakaszban halad: egyrészt a levezetés / differenciálás operátorainak véges különbségekkel történő diszkretizálása, másrészt az így kapott numerikus diagram konvergenciája, amikor az pont csökken.
A differenciál operátorok (első deriváltak, másodpercek stb., Részlegesek vagy nem) diszkretizálását a Taylor-képletekkel kaphatjuk meg .
A Taylor-Young formuláció egyszerűbb használata esetén előnyösebb, a Taylor formuláció Laplace integrál maradékkal lehetővé teszi a hibák mérését (vö. Alább).
A diszkretizálási lépés x pontjában és egy h értékében úgy, hogy u háromszor differenciálható az [ x - h , x + h ] intervallumon , a Taylor-Young képlet két összefüggésre vezet:
ahol a két funkció epszilon i ( x , h ) konvergálnak 0. h . Ebből kifolyólag
felelnek meg két közelítéseket az u ( x ) az 1 st sorrendben h .
Az előző fejlemények kivonásával, amely az u ( x ) előtti és utáni két véges különbség átlagát veszi , megkapjuk
amely egy közelítése u ( x ) az 2 e sorrendben h .
Decentelt közelítések Upstream ellentételezésA diszkretizálási lépés x pontjában és h értékében úgy, hogy u háromszor differenciálható az [ x , x + 2 h ] intervallumon belül , a Taylor-Young képlet a relációhoz vezet:
ahol a függvény konvergál 0-ra h-vel . Ebből kifolyólag
felel meg közelítése u ( x ) az 1 st sorrendben h .
A művelet megismétlésével egy downstream off-centeren, írva, hogy:
honnan
amely közelítés u '' ( x ) a 2 e sorrendben h .
A képletek kiterjesztésre kerültek az egymást követő megrendelésekreA sablon méretének kibővítésével hasonló módszerekkel meg lehet határozni a magasabb rendek véges különbségeit (növelve a sorrendet Taylor képletében és meghatározva egy megfelelő lineáris kombinációt a felesleges kifejezések kiiktatásához).
Például a diszkretizálási lépés x pontjában és h értékében úgy, hogy u négyszer differenciálható az [ x - 2 h , x + 2 h ] intervallum alatt, a Taylor-képlet kiterjesztésével ötnél többet tudunk mutatni pont diagramok
a 4. sorrend első és második deriváltjának közelítései.
Kiterjesztés többváltozós függvényekre Upstream ellentételezésA diszkretizálási lépés ( x , y ) pontjában és a h dimenzióban (ugyanaz a két dimenzióban) úgy, hogy u ( x , y ) négyszer differenciálható a téglalapon [0, x + 2 h ] × [ 0, y + 2 h ] , írhatunk
amely közelíti a Laplace Δ u ( x , y ) a 2 e sorrendben h (vö egyenlet Laplace és Poisson-egyenlet ).
Központosított sablonA diszkretizációs lépés ( x , y ) pontjában és a h dimenzióban (ugyanaz a két dimenzióban) úgy, hogy u ( x , y ) négyszer differenciálható a téglalapon [ x - h , x + h ] × [ y - h , y + h ] , írhatunk
amely közelíti a Laplace Δ u ( x , y ) a 2 e sorrendben h (vö egyenlet Laplace és Poisson-egyenlet ).
A fent említett „rend” fogalma megfelel a diszkrecetizált operátor helyi konvergenciájának koncepciójának. A diszkrét megoldás globális konvergenciája nagyon eltérő fogalom, annak ellenére, hogy a kettő között családi kapcsolat van.
A véges különbség módszer esetében a háló a részleges differenciálegyenletek függvényében a függvények meghatározási tartományában elhelyezkedő izolált pontok (ún. Csomópontok ) halmaza, amelynek egyetlen csomópontján egy rács van meghatározva, a kb. e függvények értékeit.
A háló magában foglalja a mező határán elhelyezkedő csomópontokat is (vagy legalábbis ehhez a határhoz „közel”) annak érdekében, hogy a határfeltételeket és / vagy a kezdeti feltételt kellő pontossággal lehessen előírni .
Először a háló első minősége az, hogy a lehető legjobban lefedje azt a mezőt, amelyben fejlődik, hogy korlátozza az egyes csomópontok és legközelebbi szomszédja közötti távolságot. A hálónak azonban lehetővé kell tennie a differenciálódás operátorainak diszkrét megfogalmazását is: emiatt a háló csomópontjai leggyakrabban egy olyan rácson helyezkednek el, amelynek fő irányai a változók tengelyei.
A háló egyik lépcsője az egyik tengellyel párhuzamos vonalon elhelyezkedő két szomszédos csomópont közötti távolságot hívja meg . Ebben az értelemben a lépés egyszerre helyi és irányított fogalom. Globális hangmagasságról fogunk beszélni, hogy kijelöljük a legnagyobb helyi hangmagasságot .
Bár a konstans hangmagasságot a legtöbbször megtartják (anélkül, hogy elméleti problémát vetne fel a felbontásra), néha ésszerű változtatható hangmagasságot bevezetni, amelyet finomabban választanak azokon a területeken, ahol a pontos megoldás erősebb variációkat szenved: ez a trükk lehetővé teszi az ismeretek számának csökkentése az eredmények pontosságának veszélyeztetése nélkül. Másrészt a megfogalmazás kissé összetettebb, mert a differenciál operátorok diszkrétálásakor figyelembe kell venni.
Egy olyan változó függvényére vonatkozó differenciálegyenletre, amelynek tartománya (in ) intervallum [0; 1] , az állandó hangmagasságú rácsot M + 1 csomópont jellemzi x i = ih , 0 ≤ i ≤ M h = 1 / M lépéssel . Ez a háló magában foglalja azt a két x 0 és x M határpontot, amelyekre lehetséges határfeltételeket szabnak.
Vegyünk egy részleges differenciálegyenletet két változó (tartomány ) függvényére :
A numerikus séma meghatározható a véges különbség módszerével megtervezett diszkrét probléma algebrai megfogalmazásaként. A folyamat a következő lépéseket tartalmazza:
A numerikus diagram elkészítése és a diszkrét probléma megfogalmazása után nem csak annak megoldása a kérdés, hanem annak biztosítása is, hogy a diszkrét megoldás a pontos megoldás felé konvergáljon, amikor a háló lépései 0 felé fordulnak.
Bizonyos úgynevezett explicit diagramok esetében lehetőség van az ismeretlenek sorrendjére úgy, hogy mindegyik rekurzívan meghatározható legyen az előzőekből, amelyek állítólag már kiszámításra kerültek ( háromszögmátrix ). Az implicit sémák esetében néha elkerülhető az összes egyenlet teljes rendszerének megoldása. Ez különösen érvényes egy olyan fejlődő rendszerre, amelynek állapotát - amelyet térbeli változók jellemeznek - kezdeti feltételek határoznak meg (t = 0), majd az idő előrehaladtával folyamatosan fejlődnek: a numerikus diagram explicit marad az időbeli változóban, és implicit jellege csak a térbeli változókat.
Minden esetben a numerikus diagram minden egyes egyenlete csak kevés ismeretlenre vonatkozik. Lineáris környezetben ez a tulajdonság a diszkrét probléma megfogalmazásához vezet ritka mátrixok felhasználásával, és kihasználja annak megoldását megfelelő módszerekkel . Ez az előny tagadhatatlan, ha a háló mérete meghaladja a didaktikai tanulmány kereteit.
A numerikus diagramok felbontása általában klasszikus algebrai módszereken alapul. Más egyenértékű készítmények azonban optimalizálási módszereket igényelhetnek .
Vegye figyelembe a következő problémát:
Ez a probléma továbbra is akadémikus, amennyiben a pontos megoldás ismert:
Azzal a kifejezett Euler rendszerének érdekében 1 alkalmazott rendszeres mesh hangmagasság h = 1 / M , az ismeretlenek u n tükröző u ( NH ) kapcsolódik össze, a kapcsolatok
Ez a diagram az ismétlődés relációjához vezet
amelynek kifejezett megoldása
Egy másik készítmény, amelyet a 2. sorrend diagramjának felhasználásával kapunk (kivéve az n = 1 csomópontnál , amelynél megtartja az 1. sorrend diagramját)
Az elsőhöz hasonlóan ez a második ábra is egyértelmű .
Nagyon egyszerű számszerűen meghatározni ennek a két diagramnak a megoldásait, összehasonlítva őket a pontos megoldással. Jogosnak tűnik jobb eredményeket várni a második diagrammal, mivel annak sorrendje magasabb, mint az elsőé (megmutatható, hogy a két digitális diagram egységesen konvergens):
Ez az összehasonlítás egyértelműen azt mutatja, hogy a differenciális operátorok megfelelő ábrázolása nem elegendő feltétel a jó numerikus diagram megszerzéséhez.
A digitális diagram konvergenciája egy teljes elméleti tulajdonság, amely biztosítja, hogy a hozzávetőleges megoldás és a pontos megoldás közötti különbség (egy szabvány értelmében ) 0 felé haladjon, amikor a diszkrecetizálási lépés 0 felé halad (vagy amikor az egyes lépések globálisan társulnak). a különböző irányokkal 0 felé hajlik).
A digitális diagram hozzávetőleges megoldása mindaddig nem túl hiteles, amíg annak konvergenciáját nem mutatják be. Ez a bizonyítás kétségkívül a finom különbségek módszerének legkényesebb pontja, mindenesetre az, amely analitikai eszközök használatát igényli .
Nem elég konkrét numerikus példák segítségével ellenőrizni, hogy a diszkrét megoldás viselkedése megfelel-e az elvárásoknak a konvergencia biztosítása érdekében. Másrészt az ilyen példák segíthetnek bizonyítani az ellenkezőjét.
Fogalmilag a közelítő megoldás és a pontos megoldás közötti különbségeket két jelenség kombinációja fejezi ki:
Ezek a fogalmak nem veszik figyelembe a kerekítési hibákat, amelyek tovább bonyolíthatják a helyzetet, amint az az alábbi ábrán látható, és amelyet konkrét példával kapunk :
A konvergenciát tanulmányozó szabványnak függetlennek kell maradnia a diszkrecetizációs lépésektől. Gyakori azonban az L p szóközökhöz kapcsolódó szabványok használata . Egy változó függvényéhez:
Az összefüggésben evolúciós probléma kezdeti feltétellel , Lax tétel szigorúan meghatározza a fogalmakat következetesség és a stabilitás , a második pedig egy szükséges és elégséges feltétele, hogy biztosítsa a konvergencia .
Az előző, fent bemutatott példában, amelyről egyszerre ismerjük a pontos megoldást és a hozzávetőleges megoldást (Euler diagramja) , a jelentés kielégíti
amely 0 felé hajlik, ha 0 felé hajlik, ez egységesen a
Így egységesen hajlik a 0 felé, ami bizonyítja ezen Euler-séma konvergenciáját a normában