Ciklikus szám (csoportelmélet)

Az elmélet a csoportok , a gyűrűs szám egy egész szám, n olyan, hogy van egy véges csoport a sorrendben n ( max izomorfizmus ) a ciklusos csoport (ℤ / n ℤ +) , vagy egy egész szám, n oly módon, hogy bármely csoport a sorrendben n ciklikus.

Hasonlóképpen, egy Abel száma egész szám n úgy, hogy bármely csoport érdekében n jelentése Abel .

Bármely ciklikus szám abeli, és bármely abeli szám nilpotens . Egész szám tagsága ezen osztályok egyikében leolvasható a fő tényezőkké történő bontásából .

Példák és ellenpéldák

Az 1. szám ciklikus (lásd: „ Triviális csoport ”).
Minden prímszám ciklikus (lásd „ Lagrange-tétel alkalmazásai ”).
A 15-ös szám ciklikus (lásd: " Sylow tételeinek alkalmazása ").
A prímszám bármely négyzete abeli, de nem ciklikus (lásd „ Megjegyzés a p -csoportokhoz ”).
A 6- nál nagyobb vagy egyenlő páros szám nem abeli (lásd: „ Dihedrális csoport ”).
A p prímszám egyetlen kockája sem abeli (lásd: „ Heisenberg-csoport F p-n ”).
Az abeli (vagy ciklikus) szám bármely osztója abeli (vagy ciklikus) szám (lásd „ Közvetlen termék ”).

Lásd még: „ Kiscsoportok listája ”.

Jellemzés

Legyen p 1 k 1 … p r k r az n prímtényezőkre bomlása ( p 1 <… < p r és k i ≥ 1 esetén).

n jelentése ciklusos, ha, és csak akkor, ha n jelentése prím φ ( n ), ahol φ jelöli a Euler mutatószám vagy több kifejezetten: ha n jelentése a négyzeten (azaz valamennyi kitevők k i értéke 1), és az összes $i < j$ , $p i$ nem osztja $p j - 1$ .
n akkor és csak akkor abeli, ha n "kockátlan" (azaz mindegyik i esetében k i értéke 1 vagy 2), és minden $i \neq j$ esetében $p i$ nem osztja $p j k d - 1-et$ .

Következmények:

Ha n abeli, akkor az n sorrendű abeli csoportok száma megegyezik . ${\ displaystyle 2 ^ {\ sum (k_ {i} -1)}}$
Minden természetes szám egy és b nem nulla, létezik egy végtelen Abel-számokat tartalmazó egy elsődleges tényező a teljesítmény 1 és b elsődleges tényező a teljesítmény 2 (szerint a Dirichlet számtani sorozat tétel ). Hasonlóképpen, az összes olyan nem nulla, van egy végtelen ciklikus szám, amelynek a legfontosabb tényező.

Demonstráció

Bármely ciklikus csoport abeli, vagyis legfeljebb az osztály nilpotentje . A részletes cikk azonban azt mutatja, hogy:

az n egész szám nilpotens ( azaz az n sorrend bármely csoportja nilpotens) akkor és csak akkor, ha minden $i \neq j$ és $k$ összes értéke $1$ és $k i között van$ , $p j$ nem osztja fel $p i k - 1$ ;
az n sorrend bármely csoportja legfeljebb akkor c ) nilpotens ( c = 1 esetén), ha n ráadásul „hatványok nélküli ( c + 2) -edik”.

Az abeli számok tehát a kockák nélküli nilpotens számok. Hasonlóképpen, mutassuk meg, hogy a ciklikus számok a négyzet nélküli nilpotens számok. Bármely véges nilpotens csoport a Sylow alcsoportok közvetlen terméke ; ezért ciklikus, ha Sylow alcsoportjai ciklikusak (és csak akkor). Következésképpen az n egész akkor és csak akkor ciklikus, ha nilpotens, és ha ráadásul mindegyik elsődleges tényezője p i k i ciklikus szám, vagyis ( lásd fent ) k i = 1.

Megjegyzések és hivatkozások

(De) Szele Tibor , " Über die endichen Ordnungszahlen, zu denen nur eine Gruppe gehört " , megjegyzés. Math. Helv. , vol. 20,1947, P. 265-267 ( DOI 10.1007 / BF02568132 ).
(a) Dieter Jungnickel , „ A egyediségét a ciklusos csoport a rend $n$ ” , Amer. Math. Havi , vol. 99, n o 6,1992, P. 545-547 ( JSTOR 2324062 , olvassa el online ).
(in) Joseph galliai és David Moulton, " Mikor $Z n$ az egyetlen csoport, sorrendben $n$ ? » , Elemente der Mathematik , vol. 48, n o 3,1993, P. 117–119 ( online olvasás ).
(in) Jonathan Pakianathan és Shankar Krishnan, " nilpotens számok " , Amer. Math. Havi , vol. 107, n o 7,2000, P. 631-634 ( JSTOR 2589118 , online olvasás ).
(a) Sumit Kumar Upadhyay és Shiv Kumar Datt, " megléte egy egyetlen csoport véges rendű " , preprint ,2011( arXiv 1104.3831 ).
(in) THE Dickson , " A csoport és a mező meghatározása független posztulátumok által " , Ford. Keserű. Math. Soc. , vol. 6,1905, P. 198-204 ( online olvasás ), 5. bek.
(in) Thomas W. Müller, " Egy aritmetikai tétel kapcsolódó csoportok nilpotency osztály határolt " , Journal of Algebra , Vol. 300, n o 1,2006, P. 10-15 ( online olvasható ).

Külső linkek

(en) suite A003277 a OEIS-ben ciklusos számok
(en) suite A051532 A OEIS-ben Abel számok
(en) „ Melyik $n$ esetében van csak egy $n$ rendű csoport ? » , A MathOverflow - ról ( aszimptotikus sűrűséggel kapcsolatos kérdéseket érint)