A matematika és pontosabban aritmetikai , egy egész szám, anélkül, hogy egy négyzet alakú faktor (gyakran nevezik, hagyományosan, vagy a kényelem quadratfrei vagy squarefree ) egy relatív egész szám, amely nem osztható bármilyen tökéletes négyzet , kivéve 1. Például, 10 anélkül, egy négyzet tényező de a 18 nem, mivel egyenletesen osztható 9 = 3 2-vel . A tíz legkisebb számokat a OEIS-ben A005117 szekvenciáját a pozitív egész szám nem négyzetes faktor 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 10 , 11 , 13 , 14 .
A integer n nélkül egy négyzet tényező, ha, és csak akkor, ha a prímfaktorizáció az N , sem prímszám egynél többször fordul elő. Egy másik egyenértékű szempontból az, hogy minden egyes elsődleges osztója p az N , a prímszám p nem osztója n / p . Egy másik készítmény a következő: n nélkül egy négyzet tényező, ha, és csak akkor, ha az egyes bomlási n = ab , a tényezők egy és b van relatív prím .
Minden olyan prímszám p a p -adic értékelési az egész n legfeljebb egyenlő 1 Azt is szokták mondani, hogy egy ilyen szám quadratfrei . Emlékezzünk, hogy bármely prímszám p és minden természetes egész szám n , a p-adikus értékelése N (néha jelöljük ν p ( n )) egyenlő, definíció szerint, a kitevő a p a bomlását n be termék prímszámok .
Így, ha van , és quadratfrei egyenértékű .
Az n > 0 egész szám akkor és csak akkor lesz négyzetfaktor nélküli, ha a Möbius-függvény képe nem nulla.
Egy egész szám n > 0 négyzetre, ha, és csak akkor, ha az összes Abel-csoportok a érdekében n jelentése izomorf , ami az esetben, ha, és csak akkor, ha az összes olyan gyűrűs . Ez Kronecker tételéből következik .
Egy egész szám n > 1 négyzet alakú, ha, és csak akkor, ha a gyűrű faktoriális ℤ / n ℤ egy termék a test . Ez következik a kínai maradéktétel és a tény, hogy egy gyűrű formájában ℤ / k ℤ egy mezőt akkor és csak akkor k egy prímszám .
Minden egyes természetes szám n , a készlet minden pozitív osztója n van részben rendezett a oszthatóság kapcsolatban ; sőt elosztó és határolt rács . Akkor és csak akkor logikai algebra, ha n négyzetfaktor nélkül van.
A szigorúan pozitív egész szám akkor és csak akkor van négyzetfaktor nélkül, ha megegyezik a gyökökkel (azaz a fő osztók szorzatával).
A Dirichlet- generátor négyzetes tényező nélküli egész számok
ahol ζ ( s ) a Riemann zeta függvény és μ a Möbius függvény .
Könnyen ellenőrizhető az euleri termékkel
Ha Q ( x ) az 1 és x közötti négyzetfaktor nélküli egész számok számát jelenti , akkor
(lásd pi és nagy O jelölés ). A négyzetfaktor nélküli számok aszimptotikus természetes sűrűsége tehát
Kihasználva a legnagyobb ismert nulla-nulla régióban a Riemann-féle zéta-függvény által meghatározott Ivan Vinogradov , Nikolai Korobov és Hans-Egon Richert (de) , Arnold Walfisz képes volt csökkenteni a becsült mérete hibataggal, és mi
pozitív konstansra c . A Riemann-hipotézis szerint ez a becsült méret tovább csökkenthető, és meg is tettük
Hasonlóképpen, ha Q ( x, n ) az egész számot jelenti, n- edik 1 és x közötti teljesítménytényező nélkül , meg tudjuk mutatni
A binomiális együttható
Soha nem quadratfrei, amikor n > 4. Ezt Erdős Pál sejtette , 1985-ben Sárközy András bizonyította minden kellően nagy egész számra , és 1996-ban korlátozás nélkül Olivier Ramaré és Andrew Granville .