Schmidt-tétel (csoportelmélet)

A matematika , különösen az elméleti csoportok , a Schmidt-tétel , bizonyítja Otto Schmidt 1924-ben azt mondta, hogy ha G egy véges csoport , amelyben minden alcsoportban saját vannak nilpotens , G jelentése megoldható . K. Iwasawa a G csoport pontosabb leírását adta ugyanazon feltételezések mellett.

Demonstráció

Mi érvelni indukció a sorrendben a csoport . A ciklikus csoportok oldhatók. Ezért feltételezzük, hogy egy bizonyos n esetében az állítás igaz az < n rendű összes csoportra , és hogy G egy nem ciklikus n rendű csoport (tehát n > 1), amelynek az összes megfelelő alcsoportja nilpotens. Az alábbi 2. Lemma szerint G nem egyszerű . Indukciós hipotézissel és a megfeleltetési tétel szerint tehát megoldható (mert a nilpotencia a hányadosokra, a feloldhatóság pedig a kiterjesztésekre megy át ).

1. Lemma  -  Egy olyan véges csoportban, amelynek maximális alcsoportjai triviális metszéspontúak 2 és 2 között, e maximális alcsoportok egyike normális .

Demonstráció

Tegyük fel, hogy a G egyik maximális alcsoportja sem normális. Így :

A H \ { e } a maximális H-hez (ahol e a semleges elemet jelöli) állítólag 2-től 2-ig diszjunkt, és G \ { e } partíciót alkotnak . Megjegyezve c konjugációs osztályaik számát, h i az i -edik osztály alcsoportjainak indexét és g G- sorrendjét, ellentmondást vonunk le:

2. Lemma  -  Legyen G véges nem ciklikus csoport. Ha a G összes maximális alcsoportja nilpotens, akkor G nem egyszerű.

Demonstráció

Két különálló maximális alcsoport (ha van ilyen) metszéspontjai közül legyen I = H ∩ K a maximális sorrend. Ez a H nilpotens csoport megfelelő alcsoportja, ezért szigorú az I felvétele az N H ( I ) normalizálóba . Legfeljebb | I |, az egyetlen alcsoportja maximum G tartalmazó N H ( I ) jelentése hidrogénatom . Hasonlóképpen, K az egyetlen maximális alcsoport, amely N K ( I ) -et tartalmaz . Az alcsoport N G ( I ), amely mind az N H ( I ) és az N K ( I ), tehát nem szerepel semmilyen maximális alcsoportja, azaz egyenlő a G , vagy újra, hogy én normális.

Ha G egyszerű, arra következtetünk | I | = 1 (vagy pedig G- nek csak egy maximális alcsoportja van). Ezért alkalmazhatjuk az 1. lemmát: a G egyik maximális alcsoportja normális. Mivel feltételezzük, hogy G nem ciklikus, ez az alcsoport nem triviális, ami ellentmond a G egyszerűségének .

A csoport felépítésének részletei

Legyen G olyan véges csoport, amelynek minden megfelelő alcsoportja nilpotens, akkor G nilpotens vagy p m q n nagyságrendű, ahol p és q megkülönbözteti az elsődleges értéket és m , n ≥ 1.

Demonstráció

Bármely véges p- csoport nilpotens. Tegyük fel, hogy | G | legalább három fő osztója van. Mivel (amelyet a Schmidt-tétel) G megoldható, hogy van egy normális részcsoport H elsődleges index p . Mivel H a G megfelelő alcsoportja , ezért nilpotens. A alcsoportok Sylow ezért (teljesen) jellemző a H , így normális G . Válasszunk G-ben , a | minden egyes q elsődleges osztójára G |, q -Silow P q . A fentiek szerint bármely q ≠ p esetén P q normális G-ben . Mivel mindegyik P p P q ( q ≠ p esetén ) nilpotens (a saját számára G-ben ), P p- t az összes P q központosítja , így ezekhez hasonlóan G- ben normális . Ezért G nilpotens.

Nilpotens számok

A nilpotens szám jelentése egész szám, n ≥ 1 úgy, hogy bármely csoport érdekében n jelentése nilpotens. A nilpotens számokat a következő tétel jellemzi:

Hagyja, p 1 k 1 ... p r k r lesz a prímfaktorizáció az n . A szám n jelentése nilpotens, ha, és csak akkor, ha az összes i ≠ j , k i szigorúan kisebb, mint a multiplikatív sorrendben a p i modulo p j .

Demonstráció

Legyen n egész szám, amelynek prímtényezőkké történő bomlása nem felel meg az állítás feltételének. Ekkor n a p k q alak egész számának többszöröse , p és q különböző prímekkel, k ≥ 1 és p k ≡ 1 mod q . Mi könnyen össze egy nem-nilpotens csoport érdekében p k q , mint a félig közvetlen terméke a GL ( k , F p ) által ℤ / q ℤ és vezetjük le egy nem-nilpotens csoport érdekében n , a közvetlen terméke egy megfelelő rendű önkényes csoport.

Tegyük fel viszont, hogy n elsődleges faktorozása kielégíti az állítás feltételét, és mutassuk meg, hogy az n rendű bármely G csoport nilpotens. Megalapozott indukcióval haladunk , feltételezve, hogy az állítás minden rendre igaz < n . Az előző szakasz szerint G ekkor nilpotens, ahol n pontosan két p és q prímtényezővel rendelkezik . De ebben az esetben a második, az a feltételezés, a prímfaktorizáció az n és 3 e tétele Sylow , G egy p -Sylow és q -Sylow egyedülálló így normális, hogy a G az ő terméket közvetlenül tehát ott újra, G jelentése nilpotent.

(Különösen a páros nilpotens számok tehát a 2 hatáskörei. )

Bármely c ≥ 1 egész számra van egy pontosabb állításunk a nilpotencia osztályra vonatkozóan:

Bármely n nilpotens szám esetén a következő két tulajdonság egyenértékű:

Demonstráció

Az n rendű bármely csoport (tehát a nilpotens) a Sylow alcsoportok közvetlen terméke. Nilpotencia osztálya tehát az övék maximuma.

Minden p prime esetén:

Megjegyzések és hivatkozások

  1. (de) HL Schmidt, "Über Gruppen, deren sämtliche Teiler spezielle Gruppen sind", Matematikai Gyűjtemény [ Mat. Sbornik ], Moszkva, vol. 1924, 31. o.  366-372 . (Hivatkozás: (en) John S. Rose, A csoportelmélet tanfolyama , CUP ,1978( online olvasható ) , p.  264 és 298.) Orosz eredeti online .
  2. A tétel ilyen formájú igazolásához lásd G. Endimioni: „  Bevezetés a nilpotens csoportokba: Cours de DEA  ” , Provence-i Egyetem (Franciaország) Matematikai és Számítástechnikai Központ, 1996/1997 , p.  17-18.
  3. (de) K. Iwasawa, "Ueber die Struktur der endlichen Gruppen, deren echte Untergruppen sämtlich nilpotent sind", Proc. Phys.-Math. Soc. Japán , vol. 1941. 23., p.  1-4 . (Hivatkozás: Rose 1978 ,  264. és 297. o. )
  4. Endimioni 1996/1997 , Lemma 4.2. Vö. Joseph en Gallian és David Moulton (en) lemmájával: „  Mikor van Z n az n rend egyetlen csoportja ?  » , Elemente der Mathematik , vol.  48, n o  3,1993, P.  117–119 ( online olvasás ), amely a ciklikus számokra vonatkozik .
  5. További részletekért lásd (de) Bertram Huppert  (en) , Endliche Gruppen , vol.  Én, Springer , koll.  -  Grund. matek. Wiss.  „( N o  134),2013( 1 st  szerk. 1967) ( olvasott sort ) , p.  281.
  6. (en) OEIS A056867  : A nilpotens számok követése.OEIS 
  7. (a) Gerhard Pazderski, "  Die Ordnungen, zu denen nur MIT Gruppen gegebenen gehören Eigenschaften  " , Arch. Math. , vol.  10,1959, P.  331–343 ( DOI  10.1007 / BF01240807 ).
  8. (in) Jonathan Pakianathan és Shankar Krishnan, "  nilpotens számok  " , Amer. Math. Havi , vol.  107, n o  7,2000, P.  631-634 ( JSTOR  2589118 , online olvasás )( megoldható , nilpotens, abeli vagy ciklikus számok jellemzése ).
  9. Pakianathan és Shankar 2000 ihlette .
  10. (in) Thomas W. Müller, "  Egy aritmetikai tétel kapcsolódó csoportok nilpotency osztály határolt  " , Journal of Algebra , Vol.  300, n o  1,2006, P.  10-15 ( matematikai vélemények  2228629 , olvassa el online ), azt állítja, hogy közvetlenül demonstrálja a „legfeljebb c osztályú nilpotens számok” teljes aritmetikai jellemzését,  és így megtalálja a nilpotens számok ( c = ∞ esetén ) és az abeli számok ( c = 1) számadatait . A valóságban bizonyítása nemcsak a fentihez hasonlóan Schmidt tételén és a csoport felépítésén nyugszik - az itt használtnál pontosabb változatban ( Huppert 2013 ,  281. o. ), Hanem egy Hall- tételen is, amely a számú automorfizmusaira egy p -csoport , míg  Sylow a 3 rd tétel elegendő volt számunkra.
  11. (in) Charles Leedham-Green  (in) és Susan McKay, a szerkezet csoportjai Prime teljesítmény rendelés , OUP ,2002( online olvasás ), 3.1. szakasz

Külső linkek