Fél direkt termék

A csoport elmélet , a félig-közvetlen termék lehetővé teszi, hogy meghatározza a csoport G a két csoport H és K , és általánosít fogalmát közvetlen termék a két csoport között.

Belső félvezető termék

A G csoport a K alcsoport normál H alcsoportjának belső féltermék-szorzata akkor és csak akkor, ha a következő egyenértékű definíciók egyike fennáll:

• H∩K={1} és G=HK{\ displaystyle H \ cap K = \ {1 \} {\ text {et}} G = HK}(más szóval, H és K jelentése kiegészíti egymást a G );
• ∀g∈G,∃!(h,k)∈H×K,g=hk{\ displaystyle \ összes g \ G-ben, \ létezik! (h, k) \ H-ban K-szer K, g = hk}(a G bármely elemét egyedülálló módon H és K elemének szorzataként írjuk );
• A korlátozás a K a kanonikus surjection egy izomorfizmus között és  ; G→G/H{\ displaystyle G \ - G / H}K{\ displaystyle K}G/H{\ displaystyle G / H}
• A kanonikus surjection van osztott egy morfizmus olyan, hogy .G→G/H→1{\ displaystyle G \ - G / H \ to 1} s{\ displaystyle s}s(G/H)=K{\ displaystyle s (G / H) = K}

A G elemeinek mint H és K elemének szorzatának bomlása valamilyen módon kompatibilis a csoport összetételének törvényével. Akármelyiket is

g1=h1k1 és g2=h2k2 {\ displaystyle g_ {1} = h_ {1} k_ {1} {\ text {és}} g_ {2} = h_ {2} k_ {2} \}

az így elbontott G két eleme. Nekünk van :

g1g2=h1k1h2k2=(h1k1h2k1-1)(k1k2) {\ displaystyle g_ {1} g_ {2} = h_ {1} k_ {1} h_ {2} k_ {2} = (h_ {1} k_ {1} h_ {2} k_ {1} ^ {- 1 }) (k_ {1} k_ {2}) \}

bomlik egy elemét a H (Itt használjuk a tény, hogy a H normális), és egy elem a K . h1k1h2k1-1{\ displaystyle h_ {1} k_ {1} h_ {2} k_ {1} ^ {- 1}}k1k2{\ displaystyle k_ {1} k_ {2}}

Ebben az esetben a csoport K révén hat konjugáció a H , és a csoport a G ezért izomorf a külső félig-közvetlen termékét, azaz, hogy a csoport által meghatározott Descartes-szorzat a H által K látva a törvény:

(h1,k1)(h2,k2)=(h1(k1h2k1-1),k1k2){\ displaystyle (h_ {1}, k_ {1}) (h_ {2}, k_ {2}) = (h_ {1} (k_ {1} h_ {2} k_ {1} ^ {- 1}) , k_ {1} k_ {2})}

Mindenért , az alkalmazás k∈K{\ displaystyle k \ K-ban}

f(k):H→H:h↦khk-1{\ displaystyle \ quad f (k): H \ to H: h \ mapsto khk ^ {- 1}}

egy automor a H . Ezen felül az alkalmazás

f:K→NÁL NÉLut(H):k↦f(k){\ displaystyle f: K \ - Aut (H): k \ mapsto f (k)}

csoportok morfizmusa.

Külső félig közvetlen termék

Ezért a következő általánosabb meghatározás lefolytatására késztetnek bennünket. Két csoport, és és egy morfizmus az a csoport automorfizmus , mivel tudjuk határozni a külső félig-közvetlen termék a és követi a Descartes-szorzat a és felruházott csoport törvény: H{\ displaystyle H}K{\ displaystyle K}f{\ displaystyle f}K{\ displaystyle K}NÁL NÉLut(H){\ displaystyle {\ rm {Aut}} (H)}H{\ displaystyle H}G{\ displaystyle G}H{\ displaystyle H}K{\ displaystyle K}f{\ displaystyle f}H{\ displaystyle H}K{\ displaystyle K}

(h1,k1)(h2,k2)=(h1f(k1)(h2),k1k2) {\ displaystyle (h_ {1}, k_ {1}) (h_ {2}, k_ {2}) = (h_ {1} f (k_ {1}) (h_ {2}), k_ {1} k_ {2}) ~}

ahol egy elem inverze van . (h,k){\ displaystyle \ bal (h, k \ jobb)}(f(k-1)(h-1), k-1){\ displaystyle \ left (f (k ^ {- 1}) (h ^ {- 1}), \ k ^ {- 1} \ jobbra}}

Mi lehet beadni be a kanonikus injekció , és adja át a kanonikus injekció . Ezután ellenőrizzük, hogy ez a par belső féltermék szorzata a cikk elején megadott értelemben. Azt is ellenőrizzük, hogy az automorfizmus a konjugációs automorfizmus . Észrevettük H{\ displaystyle H}G{\ displaystyle G} h ↦ (h,eK){\ displaystyle h \ \ mapsto \ (h, e_ {K})}K{\ displaystyle K}G{\ displaystyle G} k ↦ (eH,k){\ displaystyle k \ \ mapsto \ (e_ {H}, k)}G{\ displaystyle G}H{\ displaystyle H}K{\ displaystyle K}f(k){\ displaystyle f (k)}k{\ displaystyle k}

G=H⋊fK{\ displaystyle G = H \ rtimes _ {f} K}vagy egyszerűen .G=H×fK{\ displaystyle G = H \ szor _ {f} K}

A triviális csoport morfizmusa (azaz ) megfelel a közvetlen terméknek . f{\ displaystyle f}f(k1)(h2)=h2{\ displaystyle f (k_ {1}) (h_ {2}) = h_ {2}}

Legyen H, H 1 , K, K 1-es csoport, f egy morfizmus H AUT (K), az f 1 a morfizmus H 1 AUT (K 1 ). Ekkor f és f 1 tekinthető H-nak K-on és H 1 -nek K 1-re gyakorolt ​​hatásának (bal oldalon) az automorfizmusok által . Ha ezek a cselekvések szinte egyenértékűek (mint például az automorfizmusok), akkor a félvezető termékek

H⋊fK{\ displaystyle H \ rtimes _ {f} K} és H1⋊f1K1{\ displaystyle H_ {1} \ rtimes _ {f_ {1}} K_ {1}}

izomorf csoportok.

Példák

• A diédercsoport D 2 n jelentése a félig közvetlen terméke egy ciklusos csoport C n rendű n egy ciklusos csoportot C 2 rendű 2 , ahol az egység a C 2 aktusok a C n , mint az azonos térképezés és a másik elem a A C 2 inverzióval hat a C n- re. Kifejezetten a C 2 morfizmusát Aut ( C n ) -ben az alábbiak határozzák meg:f{\ displaystyle f}ha és akkorVSnem=⟨x⟩{\ displaystyle C_ {n} = \ langle x \ rangle}VS2=⟨y⟩{\ displaystyle C_ {2} = \ langle y \ rangle}∀k∈{0;1;2;...;nem-1},f(1)(xk)=xk,f(y)(xk)=x-k.{\ displaystyle \ forall k \ in \ {0; 1; 2; \ dots; n-1 \}, f (1) (x ^ {k}) = x ^ {k}, f (y) (x ^ {k}) = x ^ {- k}.}Geometriailag a csoport C n van által generált rotációs, a csoport a C 2 egy reflexió.
• Az affin csoport az affin tér mögött álló E vektortérből (a transzlációk csoportjára izomorf) képződő additív csoport félig közvetlen szorzata, ennek a vektortérnek a lineáris csoportja által. Ha az affin teret E vektortérével azonosítjuk , akkor az affin csoport f eleme olyan alakú, ahol a lineáris csoport eleme és u egy E vektor . f- t tehát a pár adatai határozzák meg . Az affin térképek együttese a következő csoporttörvényt eredményezi:f(v)=u+φ(v){\ displaystyle f (v) = u + \ varphi (v)}φ{\ displaystyle \ varphi}(u,φ){\ displaystyle (u, \ varphi)}

(u,φ)(v,ψ): =(u+φ(v),φ∘ψ).{\ displaystyle (u, \ varphi) (v, \ psi): = (u + \ varphi (v), varphi \ circ \ psi).}

• Különösen az affin izometriák csoportja az adott pont invariánsát hagyó izometriák csoportjának fordításcsoportjának félig közvetlen terméke .
• A szimmetrikus csoport a csoport fél direkt terméke, felváltva az átültetéssel létrehozott csoporttal.
• A lineáris csoport egy kommutatív gyűrű R jelentése a félig közvetlen terméke a lineáris panel (endomorphism determináns 1) a csoport R x az invertálható elemei R .
• A holomorph csoport G lehet meghatározni, mint a félig közvetlen terméke G Aut ( G ) (automorfizmus csoportja G ) képest a természetes Aut művelet ( G ) a G .

Származtatott csoport

A G = H ⋊ K félig direkt termék D ( G ) származtatott csoportja megegyezik a (D ( H ) [ H , K ]) ⋊ D ( K ) alcsoporttal .

Valójában D ( G ) a három D ( H ), [ H , K ] ( H-be tartozó ) és D ( K ) alcsoport egyesülésével létrehozott alcsoport , és a halmaz D ( H ) [ H , K ] a H alcsoportja , stabil K hatására, ezért a D ( K ) alcsoportra .

Kapcsolódó cikkek

• A csoportok bővítése
• Egy csoport holomorfja
• Korona termék
• A Zappa-Szép  (en) terméke

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

1. megtekintése (in) Michael Aschbacher , véges csoport elmélet , UPC ,2000, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. 1993), 304  p. ( ISBN  978-0-521-78675-1 , online olvasás ) , p.  30, állítás 10.3.
2. Lásd Aschbacher 2000 , p.  141.
3. (a) Daciberg Lima Gonçalves és John GUASCHI, „  Az alsó központi sorozat és származtatott a zsinór csoportok a gömb  ” , Trans. Keserű. Math. Soc. , vol.  361,2009, P.  3375-3399 ( online olvasás )(3.3. Javaslat), arXiv : math / 0603701 (29. tétel).

Hivatkozások

• Daniel Perrin , algebrai tanfolyam , Éditions Ellipses ,1996, 207  o. ( ISBN  978-2-7298-5552-9 ) , p.  21–24
• en) Saunders Mac Lane és Garrett Birkhoff , Algebra , Macmillan Publishers ,1999, 3 e  . , 626  p. ( ISBN  978-0-8284-0330-6 , online olvasás )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">