Egyidejű ortogonalizáció
Gauss módszer létrehoz egy ortogonális alapot egy adott négyzetes forma egy igazi vektor teret a véges dimenzióban . A tétel megmutatja, hogy két kvadratikus forma esetén egyidejűleg van-e ortogonális alap, amelyek egyike pontszorzatból származik.
Egyidejű ortogonalizáció euklideszi esetben
Tétel - Legyen E egy euklideszi tér . Ha q másodfokú alak E-n , akkor a pont szorzatnak ortonormális alapja van, a q esetében pedig ortogonális .
Bizonyítás -
Jelölje a skaláris szorzatotés a hozzá tartozó euklideszi normát(x,y)↦⟨x⋅y⟩{\ displaystyle (x, y) \ mapsto \ langle x \ cdot y \ rangle \,}x↦‖x‖2.{\ displaystyle x \ mapsto \ | x \ | ^ {2}.}
- Mivel E jelentése a véges dimenzióban , az egység gömb van kompakt szerint Borel-Lebesgue tétel . A funkció van folyamatos a S . Ezért fokozott ott, és eléri ezt a határt egy bizonyos ponton e .S={x∈E∣‖x‖=1}{\ displaystyle S = \ {x \ -ban E \ középen \ | x \ | = 1 \}}f:x↦q(x)/‖x‖2{\ displaystyle f: x \ mapsto q (x) / \ | x \ | ^ {2}}
- Ha ϕ a q- val társított poláris forma , akkor:q(e+x)-q(e)=2ϕ(e,x)+q(x).{\ displaystyle q (e + x) -q (e) = 2 \ phi (e, x) + q (x).}A differenciál a q at e van, akkor a lineáris része a kifejezés a jobb oldalon:Dqe(x)=2ϕ(e,x).{\ displaystyle Dq_ {e} (x) = 2 \ phi (e, x).}
- Mivel e egy szélsőérték az f , a differenciális f in e szükségszerűen nulla, azaz0=Dfe(x)=2ϕ(e,x)‖e‖2-2q(e)⟨x⋅y⟩‖e‖4{\ displaystyle 0 = Df_ {e} (x) = {\ frac {2 \ phi (e, x) \ | e \ | ^ {2} -2q (e) \ langle x \ cdot y \ rangle} {\ | e \ | ^ {4}}}}vagy2ϕ(e,x)=2q(e)⟨x⋅y⟩{\ displaystyle 2 \ phi (e, x) = 2q (e) \ langle x \ cdot y \ rangle}tehát edz mindenért⟨e⋅x⟩=0{\ displaystyle \ langle e \ cdot x \ rangle = 0}2ϕ(e,x)=0{\ displaystyle 2 \ phi (e, x) = 0}x∈E.{\ displaystyle x \ E-ben}
- Az E tér dimenziójának indukciójával egészíti ki a bizonyítást . Az 1. dimenzióban nyilvánvaló. Tegyük fel, hogy az ingatlan igaz dimenziója n - 1. tétel Rendezte e van direkt összege ortogonális ortogonális:E=⟨e⟩⨁⊥⟨e⟩⊥{\ displaystyle E = \ langle e \ rangle {\ overset {\ perp} {\ bigoplus}} \ langle e \ rangle ^ {\ perp}}mert a pont szorzat szimmetrikus pozitív határozott forma. Az indukciós hipotézis megadja a skaláris szorzat ortonormális alapját , ϕ esetében pedig ortogonális . Építés szerint:
(u2,...,unem){\ displaystyle (u_ {2}, ..., u_ {n})}⟨e⟩⊥{\ displaystyle \ langle e \ rangle ^ {\ perp}}
-
⟨e⋅uén⟩=0{\ displaystyle \ langle e \ cdot u_ {i} \ rangle = 0}és ezért azϕ(e,uén)=0{\ displaystyle \ phi (e, u_ {i}) = 0}én=2,...,nem{\ displaystyle i = 2, \ ldots, n}
- ‖e‖=1.{\ displaystyle \ | e \ | = 1.}
Az alap tehát megválaszolja a kérdést.
(e,u2,...,unem){\ displaystyle (e, u_ {2}, ..., u_ {n})}
A Gauss-redukcióval ellentétben ez egy létezési eredmény, amely nem hozza létre a kérdéses bázist.
Alkalmazások
A középső kúpnak ortogonális szimmetriavonalai vannak.
Értékelés és referencia
-
Michèle Audin , geometria , EDP tudományok ,2006, 3 e . , 428 p. ( ISBN 978-2-7598-0180-0 , online olvasás ) , p. 271.
Kapcsolódó cikk
Spektrális tétel
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">