Lagrange pont

A Lagrange pont (Megjegyzendő, L 1 L 5 ), vagy, ritkábban, pont a vízjáték , olyan pozíció a térben, ahol a mezők gravitációs két szervek orbitális mozgás egymás körül, és a jelentős tömegek, hogy pontosan a centripetális a tér ezen pontjához szükséges erő, amely egyszerre kíséri a két test orbitális mozgását. Abban az esetben, ha a két test kör alakú pályán van, ezek a pontok jelentik azokat a helyeket, ahol egy elhanyagolható tömegű harmadik test mozdulatlan marad a két másikhoz képest, abban az értelemben, hogy ez kísérné a középpontjuk körüli forgást a azonos szögsebesség : közös gravitáció anélkül, hogy a hozzájuk viszonyított helyzete megváltozna.

Más szavakkal, azt a gravitációs erőt, amelyet két nagy test gyakorol az elhanyagolható tömeg harmadára, egy Lagrange-pontra helyezve, pontosan kompenzálja az utóbbi centrifugális ereje . A kis test helyzete ezért nem változik, mert a rá kifejtett három erő kompenzálja egymást.

Öt számban ezek a pontok két stabil pontra oszlanak, az úgynevezett L 4 és L 5 , és három instabil pontra, amelyeket L 1 - L 3 jelölnek . Joseph-Louis Lagrange francia matematikus tiszteletére nevezték el őket . Részt vesznek a Naprendszer objektumainak bizonyos konfigurációinak vizsgálatában (főleg stabil pontok esetében) és különféle mesterséges műholdak elhelyezésében (főleg instabil pontok esetében). Ezek a " Roche geometriájának  " (pont-col és extrém) figyelemre méltó pontjai , amelyek lehetővé teszik különösen a bináris csillagok különféle típusainak osztályozását .

A három L 1 , L 2 és L 3 pontot néha Euler-pontoknak nevezik, Leonhard Euler tiszteletére , amikor a Lagrange-pontok nevét a két L 4 és L 5 pontra tartják fenn .

Az L 4 és L 5 pontok stabilitása révén természetesen sokáig vonzhatják vagy tarthatják a tárgyakat. Az L 1 , L 2 és L 3 pont instabilak, ezért nem feltétlenül képesek sokáig karbantartani az objektumokat, de űrmissziók használhatják őket, pálya korrekcióval.

Történelmi

Az égi mechanikában van egy olyan téma, amely sok matematikust elbűvölt: ez a három test úgynevezett problémája . Newton , miután kimondta törvényét, amely kifejezi, hogy "a testek tömegük szorzatával arányos és fordítottan arányos erővel vonzzák egymást a középpontjaik távolságának négyzetével", három test viselkedését igyekezett leírni sikertelenül. . Meg kell várni a matematikus Joseph-Louis Lagrange , aki 1772-ben, tanult az esetben egy kis test, elhanyagolható tömegű (amit ma úgynevezett vizsgálati szerv vagy teszt részecske ), kitéve a vonzás két nagyobbak: a Nap és a például egy bolygó. Felfedezte, hogy vannak egyensúlyi helyzetek a kis test számára, ahol minden erő kiegyensúlyozott.

Meghatározás

Az ezeken a pontokon elhelyezkedő kis tömegű tárgy már nem mozog a másik két testhez képest, és együtt forog velük (például egy bolygó és a Nap ). Ha adunk példaként a Lagrange pont a Nap - Föld-rendszer , az öt pont jegyezni és a következőképpen definiáljuk (skála nem tartják be):

• L 1  : a két tömeg által meghatározott vonalon, közöttük, a pontos testhelyzet a két test közötti tömegaránytól függően; abban az esetben, ha a két test egyike sokkal kisebb tömegű, mint a másik, az L 1 pont sokkal közelebb helyezkedik el a nem túl masszív testhez, mint a hatalmas testhez.
• L 2  : a két tömeg által meghatározott vonalon, a kisebben túl. Abban az esetben, ha a két test egyike sokkal kisebb tömegű, az L 2 és a test közötti távolság összehasonlítható az L 1 és a test közötti távolsággal.
• L 3  : a két tömeg által meghatározott vonalon, a nagyobbon túl. Abban az esetben, ha a két test egyike lényegesen kevésbé masszív, mint a másik, az L 3 és a hatalmas test közötti távolság összehasonlítható a két test közötti távolsággal.
• L 4 és L 5  : azon két egyenlő oldalú háromszög csúcsán, amelyek alapját a két tömeg alkotja. L 4 az a két pont, amely a legkisebb tömeg pályája előtt van, a nagy körüli pályáján van, az L 5 pedig mögötte van. Ezeket a pontokat néha háromszög alakú Lagrange- pontoknak vagy trójai pontoknak nevezik , mert itt találhatók a Nap- Jupiter rendszer trójai aszteroidái . Az első három ponttól eltérően ez utóbbi kettő nem függ a másik két test relatív tömegétől.

A Lagrange-pontok helyzetének kiszámítása

A Lagrange-pontok helyzetének kiszámítása az elhanyagolható tömegű test egyensúlyának figyelembevételével történik két pályára kerülő test által létrehozott gravitációs potenciál és a centrifugális erő között . Az L 4 és L 5 pontok helyzete analitikusan meghatározható. Ez a másik három pontot L 1 L 3 megoldásával nyerhető numerikusan, vagy esetleg egy korlátozott kiterjedésű , egy algebrai egyenlet. E három pont helyzetét az alábbi táblázat adja meg, abban az esetben, ha a két test (ebben az esetben a 2. szám ) tömege elhanyagolható a másik előtt, az előzőtől R távolságra helyezkedik el .. A pozíciók kapnak a tengely mentén összekötő két test, melynek eredete azonosítunk a súlypontja a rendszer, és amelynek orientációs megy 1 test és a 2 test . Az r 2 és q mennyiségek a 2 test tengelyen való helyzetét, valamint a könnyebb test tömegének és a két test össztömegének arányát jelölik . Végül az ε mennyiséget használjuk, amelyet ε  = ( q  / 3) 1/3 határoz meg .

Pont	Pozíció a rendszer súlypontjához viszonyítva
L 1	r2+R(-ε+13ε2+19.ε3+O(ε4)){\ displaystyle r_ {2} + R \ bal (- \ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} + {\ frac {1} {9}} \ varepsilon ^ {3} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {4}) \ right)}
L 2	r2+R(ε+13ε2-19.ε3+O(ε4)){\ displaystyle r_ {2} + R \ bal (\ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} - {\ frac {1} {9}} \ varepsilon ^ {3} + { \ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {4}) \ right)}
L 3	-R+R(-5.12.q+112720736q3+O(q4)){\ displaystyle -R + R \ balra (- {\ frac {5} {12}} q + {\ frac {1127} {20736}} q ^ {3} + {\ mathcal {O}} (q ^ { 4}) \ jobbra}}

Az irodalomban néha némileg eltérõ kifejezéseket találunk, annak a ténynek köszönhetõen, hogy a tengely eredete máshová kerül, mint a súlypontra, és hogy a korlátozott fejlõdés alapjaként használjuk a kettõ közötti viszonyt. tömegek helyett a kisebb és a teljes tömeg aránya, azaz néha a q ' mennyiség által meghatározott . q′=m2M1=q1-q{\ displaystyle q '= {\ frac {m_ {2}} {M_ {1}}} = {\ frac {q} {1-q}}}

A számítás részletei - Bevezetés Előzetes

M 1-gyel és m 2 -nel jelöljük a két test tömegét, feltételezve, hogy az első tömege nagyobb vagy egyenlő a második testével. A két test állítólag pályára körkörös, azok elkülönítés R . A két test közös súlypontja körül kering . Jelölje r 1 és r 2 algebrai távolságok a két test képest egy orientált tengely 1 test és a 2 test (azaz, hogy az R 1 negatív lesz, és R 2 pozitív). A súlypontot az egyenlet határozza meg

M1r1+m2r2=0{\ displaystyle M_ {1} r_ {1} + m_ {2} r_ {2} = 0},

az R távolság meghatározásával ,

r2-r1=R{\ displaystyle r_ {2} -r_ {1} = R}.

Ennek a két egyenletnek van megoldása

r1=-m2MR{\ displaystyle r_ {1} = - {\ frac {m_ {2}} {M}} R}, r2=M1MR{\ displaystyle r_ {2} = {\ frac {M_ {1}} {M}} R},

ahol M  =  M 1  +  m 2 jelöljük a rendszer teljes tömegét.

A két test ω szögsebességgel kering egymás körül , amelynek értékét Kepler harmadik törvénye adja meg  :

ω2=GMR3{\ displaystyle \ omega ^ {2} = {\ frac {GM} {R ^ {3}}}},

G a gravitációs állandó .

Ha a forgó keretbe helyezzük magunkat a két testtel, vagyis ω szögsebességgel , akkor egy álló testet a két test gravitációs erői mellett a centrifugális erőnek is kitesszük . Ha r-vel jelöljük ennek a testnek a vektorsugarát, akkor azt az f c tömegegységre eső centrifugális erőt írjuk fel, amelynek ki lesz téve.

fvs.=rω2{\ displaystyle {\ boldsymbol {f}} _ {\ rm {c}} = {\ boldsymbol {r}} \; \ omega ^ {2}}.Alapegyenlet

A Lagrange-pont meghatározása az, hogy ezeken a pontokon eltűnik a gravitációs és tehetetlenségi erők összege. A kérdéses pont (ok) sugárvektorának r jelölésével tehát megvan

-GM1(r-r1)||r-r1||3-Gm2(r-r2)||r-r2||3+rω2=0{\ displaystyle - {\ frac {GM_ {1} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1})} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} || ^ {3}}} - {\ frac {Gm_ {2} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2})} {|| {\ félkövér szimbólum {r}} - {\ félkövér szimbólum {r}} _ {2} || ^ {3}}} + {\ félkövér szimbólum {r}} \; \ omega ^ {2} = 0},

a kettős sáv jelzi, hogy az egyik a figyelembe vett vektorok normáját veszi fel . Ezután az ω szögsebesség helyébe a Kepler által adott harmadik törvény adódik

-GM1(r-r1)||r-r1||3-Gm2(r-r2)||r-r2||3+GMrR3=0{\ displaystyle - {\ frac {GM_ {1} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1})} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} || ^ {3}}} - {\ frac {Gm_ {2} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2})} {|| {\ félkövér szimbólum {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + {\ frac {GM {\ boldsymbol {r}}} {R ^ {3}}} = 0},

hogy azonnal leegyszerűsítjük a gravitációs állandóval

-M1r-r1||r-r1||3-m2r-r2||r-r2||3+MrR3=0{\ displaystyle -M_ {1} {\ frac {{\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} - m_ {2} {\ frac {{\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2}} {|| {\ boldsymbol {r} } - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + M {\ frac {\ boldsymbol {r}} {R ^ {3}}} = 0}.

Ennek az egyenletnek a felbontása adja meg Lagrange különböző pontjait.

A két megfontolandó eset

Ennek az egyenletnek a pálya síkjára merőleges vetülete, amelynek normális értékét egy jelzett vektor adja meg, azonnal megadja z^{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {z}}}}

r⋅z^=0{\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} \ cdot {\ hat {\ boldsymbol {z}}} = 0},

ami azt jelenti, hogy a Lagrange-pontok halmaza a pálya síkjában helyezkedik el. Az egyenlet tehát a pályasíkban oldódik meg. Két esetet kell figyelembe venni:

• az, ahol a két test által alkotott tengely mentén keresünk egy pontot,
• az, ahol egy pontot keresünk ezen a tengelyen kívül.

A második eset kiderül, hogy a legkönnyebben tanulmányozható.   A számítás részletei - L 4 és L 5 pont Az L 4 és L 5 pont esete

Feltételezzük, hogy az r sugárvektor nem párhuzamos a két testen áthaladó tengellyel. Ezért az alapegyenletet erre a tengelyre merőlegesen vetítjük, egy irányt, amelyet feltételezünk, hogy egy meghatározott vektor határoz meg . Definíció szerint, mivel ez az irány merőleges a két testet összekötő tengelyre, megvan y^{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {y}}}}

y^⋅r1=y^⋅r2=0.{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {1} = {\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ { 2} = 0.}.

Az alapegyenlet tehát átírásra kerül

-M1y^⋅r||r-r1||3-m2y^⋅r||r-r2||3+My^⋅rR3=0{\ displaystyle -M_ {1} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r} } _ {1} || ^ {3}}} - m_ {2} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}} {|| {\ boldsymbol { r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + M {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}} {R ^ {3}}} = 0}.

A kifejezések leegyszerűsödnek, ami megadja y^⋅r{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}}

-M1||r-r1||3-m2||r-r2||3+MR3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} - {\ frac {m_ { 2}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + {\ frac {M} {R ^ {3}}} = 0 }.

Az irányt most r-re merőlegesen definiáljuk . Mivel r nem kollináris az r 1 és r 2 értékekkel , a mennyiségek nem nulla. Az alapegyenlet s mentén történő kivetítésével megkapjuk s^{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {s}}}}s^⋅r1,2{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {s}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {1,2}}

M1s^⋅r1||r-r1||3+m2s^⋅r2||r-r2||3=0{\ displaystyle M_ {1} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {s}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} + m_ {2} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {s}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {2}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} = 0}.

Szerint azonban a Thalész-tétel , a nyúlványok a r 1 és r 2 mentén vannak azonos arányban, mint a nyúlványok ezen vektorok tengelye mentén összekötő a két szerv. Ebből következik, hogy az előző egyenlet átírható s^{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {s}}}}

M1r1||r-r1||3+m2r2||r-r2||3=0{\ displaystyle M_ {1} {\ frac {r_ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} + m_ {2 } {\ frac {r_ {2}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} = 0}.

A két test baricentruma, amint azt korábban láttuk, azt jelenti

M1r1+m2r2=0{\ displaystyle M_ {1} r_ {1} + m_ {2} r_ {2} = 0}.

A kombináció Ennek az egyenletnek és ami megelőzi tehát magában foglalja azt, hogy a két távolság és azonos, értékük megjegyezve R „: ||r-r1||{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} ||}||r-r2||{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} ||}

||r-r1||=||r-r2||≡R′{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || = || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || \ equiv R '}.

Azzal, hogy ezt az eredményt az r mentén lévő vetületre injektálja , akkor jön

-M1R′3-m2R′3+MR3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {R '^ {3}}} - {\ frac {m_ {2}} {R' ^ {3}}} + {\ frac {M} {R ^ {3}}} = 0}.

Megszorozzuk a teljes által R ' 3 és eszébe jutott, hogy M az összeget a két tömegek, végül megkapjuk

M(R′3R3-1)=0{\ displaystyle M \ bal ({\ frac {R '^ {3}} {R ^ {3}}} - 1 \ jobb) = 0},

ami végül ad

||r-r1||=||r-r2||=R{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || = || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || = R},

vagyis a keresett pontok egyenlő oldalú háromszöget alkotnak a rendszer két testével. Ezek a háromszögek is szerepelnek az orbitális síkban, amely a két lehetséges pont, jelöljük közölteknek L 4 és L 5 , hogy található mindkét oldalán a tengely összekötő a két szerv.

A Pitagorasz-tétel segítségével megírjuk e két Lagrange-pont D távolságát a rendszer súlypontjától

D2=(-|r1|+R/2)2+(3R/2)2{\ displaystyle D ^ {2} = (- | r_ {1} | + R / 2) ^ {2} + ({\ sqrt {3}} R / 2) ^ {2}},

Amelyek adnak

D2=r12+14R2-R|r1|+34R2{\ displaystyle D ^ {2} = r_ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {4}} R ^ {2} -R | r_ {1} | + {\ frac {3} {4 }} R ^ {2}},

Amelyek adnak

D2=R2+r12-R|r1|{\ displaystyle D ^ {2} = R ^ {2} + r_ {1} ^ {2} -R | r_ {1} |}.

Ennek felhasználásával jön R=|r1|+r2{\ displaystyle R = | r_ {1} | + r_ {2}}

D2=r22+|r1|R=r12+r2R{\ displaystyle D ^ {2} = r_ {2} ^ {2} + | r_ {1} | R = r_ {1} ^ {2} + r_ {2} R}. A távolság tehát nagyobb, mint a két test távolsága a rendszer súlypontjától. Ezek a Lagrange-pontok tehát túl vannak a legkevésbé masszív test pályáján, és nem szigorúan helyezkednek el rajta, bár ez szinte érvényes abban a határban, ahol a legkönnyebb test tömege elhanyagolhatóvá válik társa tömegéhez képest.   A számítás részletei - L 1 – L 3 pont Az L 1 – L 3 pont esete

Ha figyelembe vesszük a két testet összekötő tengelyen elhelyezkedő Lagrange-pontokat, három esetet kell figyelembe venni:

1. Az az eset, amikor a pont (ok) az 1. és 2. mező között vannak  ;
2. Az esetben, ha pont (ok) átellenes helyzetben vannak 2 test képest a test 1  ;
3. Az esetben, ha pont (ok) átellenes helyzetben vannak 1 test tekintetében a 2 test .

Ebben a három esetben az alapvető egyenletet a következőképpen írják át:

• 1. eset: a két erő tengelyre vetítése ellentétes előjellel rendelkezik (az 1 test által kifejtett erő vetülete negatív, a 2 test által kifejtett erő pozitív), ami -M1(r-r1)2+m2(r-r2)2+MrR3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {(r-r_ {1}) ^ {2}}} + {\ frac {m_ {2}} {(r-r_ {2}) ^ {2 }}} + M {\ frac {r} {R ^ {3}}} = 0},

val vel r1<r<r2{\ displaystyle r_ {1} <r <r_ {2}}.

• 2. eset: a két erő vetülete a tengelyre negatív, ami megadja -M1(r-r1)2-m2(r-r2)2+MrR3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {(r-r_ {1}) ^ {2}}} - {\ frac {m_ {2}} {(r-r_ {2}) ^ {2 }}} + M {\ frac {r} {R ^ {3}}} = 0},

val vel r1<r2<r{\ displaystyle r_ {1} <r_ {2} <r}.

• 3. eset: a két erő vetülete a tengelyre pozitív, ami M1(r-r1)2+m2(r-r2)2+MrR3=0{\ displaystyle {\ frac {M_ {1}} {(r-r_ {1}) ^ {2}}} + {\ frac {m_ {2}} {(r-r_ {2}) ^ {2} }} + M {\ frac {r} {R ^ {3}}} = 0},

val vel r<r1<r2{\ displaystyle r <r_ {1} <r_ {2}}.

E három egyenlet mindegyike redukálható egy ötödik fokú polinomiális egyenletre , amelyre nincs pontos analitikai megoldás, kivéve bizonyos eseteket (például két azonos tömegét).

A megoldások egyediségét mindhárom esetben abból a tényből vezetjük le, hogy az erőegyensúlyon megoldandó egyenlet egy U potenciálból származik , amelyet

U=-M1||r-r1||-m2||r-r2||-12Mr2R3{\ displaystyle U = - {\ frac {M_ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} ||}} - {\ frac {m_ {2} } {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} ||}} - {\ frac {1} {2}} {\ frac {Mr ^ {2}} {R ^ {3}}}}. Ez a potenciál képviseli az r 1 és r 2 pólusait , és ezen értékeken kívül megfelel három konkáv kifejezés összegének, ezért lokálisan konkáv. Ezért csak egy helyi szélsősége van minden olyan tartományban, ahol meghatározzák, vagyis a fent említett három esetben.   Megoldások L 1- től L 3-ig abban az esetben, ha a tömegek aránya alacsony Csökkentett forma és oldat alacsony tömegarány esetén

Amikor az m 2 és M 1 (vagy m 2 és M) közötti arány alacsony, akkor megközelítő megoldást találhatunk az egyes pontok helyzetére azáltal, hogy korlátozott kiterjesztést hajtunk végre egy könnyen megközelíthető megoldásból. A jelölés leegyszerűsítése érdekében léptékváltást hajtottunk végre annak érdekében, hogy az összes hosszúságot R elválasztási lépésekben és az M össztömeg egységeiben kifejezzük . Így pózolunk

u=r/R{\ displaystyle u = r / R},

és

u1,2=r1,2/R{\ displaystyle u_ {1,2} = r_ {1,2} / R},

és mi határozza meg a kis paraméter q által

q≡m2/M{\ displaystyle q \ equiv m_ {2} / M},

amelyből kifejezhetjük

M1/M=1-q{\ displaystyle M_ {1} / M = 1-q}, u1=-q{\ displaystyle u_ {1} = - q}, u2=1-q{\ displaystyle u_ {2} = 1-q}.

Ebben az esetben a fent felírt három egyenlet egyszerűbb formát ölt

• 1. eset: -1-q(u+q)2+q(u-1+q)2+u=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0},

val vel -q<u<1-q{\ displaystyle -q <u <1-q}.

• 2. eset: a két erő vetülete a tengelyre negatív, ami megadja -1-q(u+q)2-q(u-1+q)2+u=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} - {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0},

val vel 1-q<u{\ displaystyle 1-q <u}.

• 3. eset: a két erő vetülete a tengelyre pozitív, ami 1-q(u+q)2+q(u-1+q)2+u=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0},

val vel u<-q{\ displaystyle u <-q}.L 1. pont

Ha a 2. test tömege elhanyagolható, akkor vonzereje elhanyagolható, hacsak a tesztrészecske nincs nagyon közel. Ha azonban a 2 test vonzása elhanyagolható, akkor az 1 test vonzereje és a centrifugális erő közötti egyensúly olyan, hogy az egyensúlyi pont távolsága R nagyságrendű . Ha a pont a egyensúlyi szemben helyezkedik el a 2 test , vagyunk abban az esetben, a Lagrange pont  L 3 , amely tehát, durván, szemben helyezkedik el a 2 test , mint az 1 test . Ellenkező esetben, tehát feltételezzük, hogy a pont a egyensúlyi meglehetősen közel van a 2 testhez (és ezért ismét található a távolság R a test 1 ), de ennek ellenére elég messze, hogy a vonzás a 2 test hat a vizsgálati marad részecske kicsi az 1. testéhez képest . Ezért a redukált formából pózolunk

u=u2+ε′=1-q+ε{\ displaystyle u = u_ {2} + \ varepsilon '= 1-q + \ varepsilon},

ahol itt ε ' egy kicsi és negatív mennyiség (itt feltételezzük, hogy a pont a két mező között van). A redukált egyenlet ekkor alakul

-1-q(1+ε′)2+qε′2+1-q+ε′=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon ') ^ {2}}} + {\ frac {q} {\ varepsilon' ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon '= 0}.

Olyan fejlesztést hajtunk végre, amely a test által létrehozott vonzás első rendjére korlátozódik  :

-(1-q)(1-2ε′)+qε′2+1-q+ε′=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon ') + {\ frac {q} {\ varepsilon' ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon '= 0}.

Az 1 -  q kifejezések leegyszerűsödnek, és marad

(3-2q)ε′+qε′2=0{\ displaystyle (3-2q) \ varepsilon '+ {\ frac {q} {\ varepsilon' ^ {2}}} = 0}.

A q értékben továbbra is csak a legalacsonyabb sorrendű feltételeket tartja , ez jön

ε′=-(q3)13{\ displaystyle \ varepsilon '= - \ balra ({\ frac {q} {3}} \ jobbra) ^ {\ frac {1} {3}}}.

Ezután folytathatjuk a számítást, kifejlesztve a 2 testen lévő pont eltérését az ε ' hatványokban . Így pózolunk

u=1-q+ε′+xε′2+O(ε′3){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon '^ {3})}.

A csökkentett alapegyenlet ekkor megadja

-1-q(1+ε′+xε′2)2+q(ε′+xε′2)2+1-q+ε′+xε′2=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2}) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(\ varepsilon '+ x \ varepsilon '^ {2}) ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon' + x \ varepsilon '^ {2} = 0}.

A második tagot q  /  ε ' 2 -vel faktorizálhatjuk , amelyet helyettesíthetünk értékével, azaz -3  ε' . Ezután megkapjuk

-(1-q)(1+ε′+xε′2)-2-3ε′(1+xε′)-2+1-q+ε′+xε′2=0{\ displaystyle - (1-q) (1+ \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2}) ^ {- 2} -3 \ varepsilon '(1 + x \ varepsilon') ^ {- 2} +1 -q + \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2} = 0}.

Ezután az első két kifejezés korlátozott kiterjesztését hajtjuk végre, a második sorrendben az első és az első sorrendben a következők szerint, ami

-(1-q)(1-2ε′-2xε′2+3ε′2)-3ε′(1-2xε′)+1-q+ε′+xε′2=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon '-2x \ varepsilon' ^ {2} +3 \ varepsilon '^ {2}) - 3 \ varepsilon' (1-2x \ varepsilon ') +1 -q + \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2} = 0},

amiből arra következtetünk, hogy x értéke harmadát ér, ami megadja

u=1-q+ε′+13ε′2+O(ε3){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon '+ {\ frac {1} {3}} \ varepsilon' ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {3})}.

Ezután a fejlesztést ugyanezen eljárás szerint lehet folytatni. A következő sorrendben így vagyunk

u=1-q+ε′+13ε′2-19.ε′3+O(ε′4){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon '+ {\ frac {1} {3}} \ varepsilon' ^ {2} - {\ frac {1} {9}} \ varepsilon '^ {3} + { \ mathcal {O}} (\ varepsilon '^ {4})}.L 2 pont

Az L 2 pont esete pontosan úgy oldódik meg, mint az előző szakaszban, azzal a különbséggel, hogy az alapegyenlet második tagjának jele negatív. Tehát kérdezzük

u=1-q+ε{\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon},

ε , hogy ebben az időben feltételezhető, hogy a kis- és pozitív, és ezáltal

-1-q(1+ε)2-qε2+1-q+ε=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon) ^ {2}}} - {\ frac {q} {\ varepsilon ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon = 0 }.

A legalacsonyabb sorrendű felbontás adja

-(1-q)(1-2ε)-qε2+1-q+ε=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon) - {\ frac {q} {\ varepsilon ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon = 0},

amely a feltételek törlése után megadja

3ε=qε2{\ displaystyle 3 \ varepsilon = {\ frac {q} {\ varepsilon ^ {2}}}},

vagyis

ε=(q3)13=-ε′{\ displaystyle \ varepsilon = \ left ({\ frac {q} {3}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}} = - \ varepsilon '}.

Ez megfelel az előző eredményhez legközelebb eső előjelnek. A megoldás továbbfejlesztése a korábbiakhoz hasonlóan történik. Kezdjük

u=1-q+ε+xε2{\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2}},

és ezt az eredményt injektáljuk az alapegyenletbe

-1-q(1+ε+xε2)2-q(ε+xε2)2+1-q+ε+xε2=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2}) ^ {2}}} - {\ frac {q} {(\ varepsilon + x \ varepsilon ^ { 2}) ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2} = 0}.

Mint korábban, ezt a kifejezést is a következőképpen alakítjuk át

-(1-q)(1-2ε-2xε2+3ε2)-3ε(1-2xε)+1-q+ε+xε2=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon -2x \ varepsilon ^ {2} +3 \ varepsilon ^ {2}) - 3 \ varepsilon (1-2x \ varepsilon) + 1-q + \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2} = 0},

amit megoldunk

x=13{\ displaystyle x = {\ frac {1} {3}}},

vagyis

u=1-q+ε+13ε2+O(ε3){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {3})}.

Ez a kifejezés azonos az első Lagrange pont helyett ε „ által ε , de ez a két pont aszimmetrikus: jeleként ε , ε” változások között pont L 1 és L pont 2. , a másodrendű korrekció, mindig pozitív közelíti az L pont 1. a 2 test , miközben megtartja az L pont 2  : a két pont nem egyenlő távolságra a 2 test . A Föld esetében a tömegarány 1 ⁄ 300 000 , az ε pedig 0,01 nagyságrendű, ami a két pontot a Földhöz viszonyítva a Föld-Nap távolság egyszázadnyi távolságára, vagy 1 500 000 kilométeres távolságra helyezi  . A másodrendű kifejezés a Föld-Nap távolság harmincezredének nagyságrendű, azaz 5000 km-en belül van  . Az L 1 pont tehát körülbelül 10 000  km-rel közelebb van a Földhöz, mint az L 2 .

Végül folytathatjuk a fejlesztést a magasabb rendig, amely megadja az összes elvégzett számítást

u=1-q+ε+13ε2-19.ε3+O(ε4){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} - {\ frac {1} {9}} \ varepsilon ^ {3} + {\ mathcal { O}} (\ varepsilon ^ {4})}.L 3 pont

A 3. esetben, amely megfelel az L 3 pontnak , az alapvető egyenletet írjuk fel

1-q(u+q)2+q(u-1+q)2+u=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0}.

Mivel feltételezzük, hogy a pont túl van az 1. testen a 2. test vonatkozásában, közelebb áll a legmasszívabb testhez, amelynek vonzereje túlsúlyban lesz a másik testtel szemben. A jelenlegi helyzetben a keresett pont álláspontja tehát közelít

1-q(u+q)2+u=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + u = 0}.

Ennek az egyenletnek a hozzávetőleges megoldása természetesen az

u≃-1{\ displaystyle u \ simeq -1}.

Az ezen értéktől való eltérések megtalálásához beírjuk az alapegyenletbe

u=-1+v{\ displaystyle u = -1 + v},

és az egyenletet úgy oldjuk meg, hogy figyelembe vesszük a q első elemeit . Így megszerezzük

1-q(-1+v+q)2+q(-1-1+v+q)2-1+v=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(- 1 + v + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(- 1-1 + v + q) ^ {2}}} -1 + v = 0}.

A mennyiségek és q R előtt kicsiek , az első tagot írjuk v{\ displaystyle v}

1-q(-1+v+q)2=(1-q)(1-v-q)-2≃(1-q)+2(v+q){\ displaystyle {\ frac {1-q} {(- 1 + v + q) ^ {2}}} = (1-q) (1-vq) ^ {- 2} \ simeq (1-q) + 2 (v + q)}.

Mivel a második kifejezés elenyésző az előzőhöz képest (arányos a q-val ), közelíthető

q(-1-1+v+q)2≃q4{\ displaystyle {\ frac {q} {(- 1-1 + v + q) ^ {2}}} \ simeq {\ frac {q} {4}}}.

Mindezen kifejezések kombinálásával megkapjuk

1-q+2(v+q)+q4-1+v=0{\ displaystyle 1-q + 2 (v + q) + {\ frac {q} {4}} - 1 + v = 0},

Amelyek adnak

5.4q+3v=0{\ displaystyle {\ frac {5} {4}} q + 3v = 0},

vagyis

v=-5.12.m2M+O(m22M2){\ displaystyle v = - {\ frac {5} {12}} {\ frac {m_ {2}} {M}} + {\ mathcal {O}} \ bal ({\ frac {m_ {2} ^ { 2}} {M ^ {2}}} \ jobbra)}.

Minden nehézség nélkül folytathatja ezt a számítást azzal, hogy most pózol

u=-1-5.12.q+w{\ displaystyle u = -1 - {\ frac {5} {12}} q + w},

w{\ displaystyle w}ekkor arányos a q 2-vel . Az alapegyenlet ekkor válik

1-q(-1-5.12.q+w+q)2+q(-1-1-5.12.q+w+q)2-1-5.12.q+w=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {\ balra (-1 - {\ frac {5} {12}} q + w + q \ jobbra) ^ {2}}} + {\ frac {q} { \ balra (-1-1 - {\ frac {5} {12}} q + w + q \ jobbra) ^ {2}}} - 1 - {\ frac {5} {12}} q + w = 0},

vagyis

1-q(1-712.q-w)2+q(2-712.q-w)2-1-5.12.q+w=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {\ balra (1 - {\ frac {7} {12}} qw \ jobbra) ^ {2}}} + {\ frac {q} {\ balra (2- {\ frac {7} {12}} qw \ right) ^ {2}}} - 1 - {\ frac {5} {12}} q + w = ​​0}.

Ezt a kifejezést a q második sorrendjére kiterjesztve azt találjuk

w=0+O(q3){\ displaystyle w = 0 + {\ mathcal {O}} (q ^ {3})},

vagyis legfeljebb q 3-ban van . A számítás ebben az összefüggésben történő átdolgozásával végül megtaláljuk w{\ displaystyle w}

w=112720736q3+O(q4){\ displaystyle w = {\ frac {1127} {20736}} q ^ {3} + {\ mathcal {O}} (q ^ {4})}. Ritkán hasznos ilyen messzire számítani: a Sun-Planet konfigurációban az utolsó korrekciós kifejezés a legjobb esetben 10 -9 nagyságrendű , mivel a legnagyobb bolygó-Nap tömegarány, a Jupiter esetében a ezrelék nagyságrendű. A q 3 kifejezés tehát a Jupiter esetében egymilliárdos nagyságrendű, amely a pályája nagyságát tekintve körülbelül ötven méteres korrekciónak felel meg, tekintettel arra, hogy a q 3 faktor-hányadosa egy huszadik nagyságrendű. . A Föld-Nap rendszer esetében (kb. 150 millió kilométer távolság, tömegarány kb. 1 ⁄ 300 000 ) az utolsó korrekció egy mikron töredéke.  

Stabilitás

A fenti számítás nem mutat semmit, ha a Lagrange-pontok stabilak. Ezen pontok stabilitása, vagy sem, ráadásul nem túl intuitív. A két testtel együtt forgó referenciakeretben egy tesztrészecske látható a potenciálnak kitéve, ideértve a gravitációs hozzájárulást és a centrifugális erő hatását is. Ezt a potenciált, amelyet Ω-nak nevezünk, úgy írjuk

Ω=-GM1|r-r1|-Gm2|r-r2|-12|r|2ω2{\ displaystyle \ Omega = - {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |}} - {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} |}} - {\ frac {1} {2}} | {\ boldsymbol {r}} | ^ {2} \ omega ^ {2}}.

Ennek a potenciálnak az összes feltétele negatív és csökken, ha az ember eltávolodik a tömegektől (az első két kifejezésnél) vagy a rendszer súlypontjától (a harmadiknál). Megmutathatjuk tehát, hogy az L 4 és L 5 Lagrange-pontok a Ω potenciál helyi maximumai (lásd alább), és hogy a másik három pont nyeregpont . Általában az egyensúlyi helyzet (amelyet a potenciál deriváltjainak törlése határoz meg) csak akkor stabil, ha a potenciál helyi minimumaiban található. Tekintettel azonban arra, hogy forgó referenciakeretben vagyunk, a referenciakeret nem inerciális . Az ebben a referenciakeretben mozgó tárgy, például egy egyensúlyi helyzet közelében, a Coriolis-erőnek lesz kitéve , és mozgása nem csak a potenciál alakjától függ. A Lagrange-pontok stabilitásának tanulmányozásához ezért figyelembe kell venni a Coriolis-erőt.

A Lagrange-pontok stabilitásának kiszámításához tehát meg kell vizsgálni egy objektum mozgásegyenletét, amely az egyik pont közelében helyezkedik el. Ha megjegyezzük, hogy a δR a δX és δY koordináták vektora , megadja az ilyen objektum eltérését az egyik Lagrange-pontban (amelyet feltételezünk, hogy csak a pályasíkra korlátozódik), akkor a mozgásegyenletet felírjuk

δR¨=-2ω∧δR˙+δf{\ displaystyle {\ ddot {\ boldsymbol {\ delta R}}} = - 2 {\ boldsymbol {\ omega}} \ wedge {\ dot {\ boldsymbol {\ delta R}}} + {\ boldsymbol {\ delta f }}},

ahol δf az objektumra kifejtett tömegegységre eső erőt jelenti. Ez az erő kicsi annak a ténynek köszönhető, hogy a Lagrange-pontban az erő (gravitációs komponensből és a centrifugális erőből áll) nulla, és az ember egy ilyen pont közelébe helyezi magát. Ez az erő korlátozott fejlődéssel számolható. Például az X komponenshez megvan

δfx=fx(0)+∂fx∂xδx+∂fx∂YδY{\ displaystyle \ delta f_ {X} = f_ {X} (0) + {\ frac {\ részleges f_ {X}} {\ részleges X}} \ delta X + {\ frac {\ részleges f_ {X}} {\ részleges Y}} \ delta Y}.

Az első kifejezés a Lagrange-pontban kifejtett erőnek felel meg, amely erő felépítésből adódóan nulla. Ezenkívül a potenciálból származó erő kifejezheti az erő deriváltjait a potenciál második deriváltjaival:

δfx=-∂2Ω∂x2δx-∂2Ω∂x∂YδY{\ displaystyle \ delta f_ {X} = - {\ frac {\ részleges ^ {2} \ Omega} {\ részleges X ^ {2}}} \ delta X - {\ frac {\ részleges ^ {2} \ Omega } {\ részleges X \ részleges Y}} \ delta Y}.

Így kifejezhetjük a mozgásegyenletet a komponensek szerint

δx¨=2ωδY˙-∂2Ω∂x2δx-∂2Ω∂x∂YδY{\ displaystyle {\ ddot {\ delta X}} = 2 \ omega {\ dot {\ delta Y}} - {\ frac {\ részleges ^ {2} \ Omega} {\ részleges X ^ {2}}} \ delta X - {\ frac {\ részleges ^ {2} \ Omega} {\ részleges X \ részleges Y}} \ delta Y}, δY¨=-2ωδx˙-∂2Ω∂x∂Yδx-∂2Ω∂Y2δY{\ displaystyle {\ ddot {\ delta Y}} = - 2 \ omega {\ dot {\ delta X}} - {\ frac {\ részleges ^ {2} \ Omega} {\ részleges X \ részleges Y}} \ delta X - {\ frac {\ részleges ^ {2} \ Omega} {\ részleges Y ^ {2}}} \ delta Y}.

Ez az egyenletcsoport négy elsőrendű differenciálegyenlet rendszerének formájában állítható fel :

∂∂t(δxδYδx˙δY˙)=(00100001-Ω,xx-Ω,xy02ω-Ω,xy-Ω,yy-2ω0)(δxδYδx˙δY˙){\ displaystyle {\ frac {\ részleges} {\ részleges t}} balra ({\ begin {tömb} {c} \ delta X \\\ delta Y \\ {\ pont {\ delta X}} \\ { \ dot {\ delta Y}} \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ - \ Omega _ {, xx} & - \ Omega _ {, xy} & 0 & 2 \ omega \\ - \ Omega _ {, xy} & - \ Omega _ {, yy} & - 2 \ omega & 0 \ end { tömb}} \ jobbra) \ balra ({\ elején {tömb} {c} \ delta X \\\ delta Y \\ {\ pont {\ delta X}} \\ {\ pont {\ delta Y}} \ end {tömb}} \ jobbra)},

ahol a Ω potenciál parciális deriváltjait indexként vessző előtt állítottuk meg (például Ω , xx megfelel ). ∂2Ω/∂x2{\ displaystyle \ részleges ^ {2} \ Omega / \ részleges x ^ {2}}

A figyelembe vett Lagrange-pont stabilitását ennek az egyenletnek a megoldásaival keressük. Ehhez elegendő, hogy megoldást találjanak a exponenciális típusú , a . Így folytatjuk a fenti mátrix átlósítását, amelyet A-val jelölünk . A talált sajátértékek meg fognak felelni a fenti quantities mennyiségeknek, az egyensúlyi pozíciótól való eltérések legfeljebb négy exponenciális kombinációját jelentik. A rendszer stabilitását az biztosítja, hogy az exponenciák az idő múlásával nem növekednek, vagyis a Γ mennyiségek vagy negatívak, vagy komplexek negatív valós részekkel . Valójában nem szükséges teljesen átlósítani a mátrixot, elég megtalálni a sajátértékeket, vagyis az egyenlet megoldásait eΓt{\ displaystyle e ^ {\ Gamma t}}

det(NAK NEK-λén)=0{\ displaystyle \ det (A- \ lambda I) = 0}.

Ezt a meghatározót írják

|-λ0100-λ01-Ω,xx-Ω,xy,-λ2ω-Ω,xy-Ωyy-2ω-λ|{\ displaystyle \ left | {\ begin {tömb} {cccc} - \ lambda & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - \ lambda & 0 & 1 \\ - \ Omega _ {, xx} & - \ Omega _ {, xy}, & - \ lambda & 2 \ omega \\ - \ Omega _ {, xy} & - \ Omega _ {yy} & - 2 \ omega & - \ lambda \ end {tömb}} \ jobb |},

és érdemes

λ4+(Ω,xx+Ω,yy+4ω2)λ2+Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2{\ displaystyle \ lambda ^ {4} + (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2}) \ lambda ^ {2} + \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2}}.

Ez az egyenlet λ 2-ben másodrendű polinomi egyenletgé redukálható . A kiindulási egyenlet megoldásai tehát két, egymással szemben álló számpár. Ahhoz, hogy két ellentétes szám negatív vagy nulla legyen, vagy negatív vagy nulla valós részük legyen, szükségképpen tiszta képzetes számoknak kell lenniük, hogy az λ 2 egyenlet megoldása valós és negatív legyen. Ahhoz, hogy ezek a megoldások valósak legyenek, a diszkriminánsnak pozitívnak kell lennie, vagy itt

(Ω,xx+Ω,yy+4ω2)2-4(Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2)>0{\ displaystyle (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2}) ^ {2} -4 (\ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2})> 0}.

Amint ezt megkapjuk, a két valós megoldásnak negatívnak kell lennie, ami azt jelenti, hogy egyszerre az összegük negatív és a termékük pozitív, ami azt jelenti, hogy

Ω,xx+Ω,yy+4ω2>0{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2}> 0}, Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2>0{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2}> 0}.

A Lagrange-pont stabilitása ennek a három korlátnak a megvalósításának van kitéve. E korlátok közül az utolsónak egyszerű értelmezése van: a mennyiség jele határozza meg, hogy a figyelembe vett helyzet helyi szélsőség vagy nyeregpont-e. Ebben az esetben ennek a mennyiségnek a pozitivitása azt jelenti, hogy helyi szélsőségnek kell lennie, szükséges feltételnek, de nem elegendőnek a Lagrange-pont stabilitásához. Ha ez a mennyiség negatív, akkor van egy nyeregpontunk és a Lagrange-pont instabil. Másrészt meglepő módon egy Lagrange-pont stabil lehet, ha megfelel a potenciál helyi maximumának, vagyis Ω , xx  + Ω , yy negatív lehet, feltéve, hogy ez a mennyiség nem haladja meg a -4 ω 2 kritikus értéke  . A gyakorlatban ez történik bizonyos esetekben az L 4 és L 5 Lagrange-pontoknál . A helyzet fizikai értelmezése szerint a stabilitást a Coriolis-erő biztosítja. Egy ilyen ponttól kissé eltolt objektum kezdetben sugárirányban elmozdul, mielőtt látná a pályáját a Coriolis-erő görbítette. Ha a potenciál mindenhol csökken a pont körül, akkor lehetséges, hogy a Coriolis-erő arra kényszeríti az objektumot, hogy forogjon a Lagrange-pont körül, mint például a mélyedésben lévő felhők , amelyek nem a mélyedés magja felé mutatnak, hanem egy körút körülötte. Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2}}

További számítás Előzetes

A Lagrange-pontok stabilitásának tanulmányozásához ki kell számolni a potenciál egymás utáni deriváltjait. Ez a potenciál magában foglalja a távolságot r  -  r 1 |. Ezért ismerni kell az ilyen mennyiség különböző hatványainak származékait. A Descartes-féle koordináták , ez a mennyiség van írva

|r-r1|=(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2{\ displaystyle | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | = {\ sqrt {(x-x_ {1}) ^ {2} + (y-y_ {1}) ^ {2} + (z-z_ {1}) ^ {2}}}}.

Az x , y , z koordináták egyikére vonatkozó deriváltját, amelyet együttesen jegyezünk x i , ezért írjuk

∂én|r-r1|=122(xén-x1én)(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2=xén-x1én|r-r1|{\ displaystyle \ részleges _ {i} | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | = {\ frac {1} {2}} {\ frac {2 (x_ {i } -x_ {1 \; i})} {\ sqrt {(x-x_ {1}) ^ {2} + (y-y_ {1}) ^ {2} + (z-z_ {1}) ^ {2}}}} = {\ frac {x_ {i} -x_ {1 \; i}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |}}}.

Ennek a mennyiségnek a p hatványának a deriváltja tehát

∂én(|r-r1|o)=o(xén-x1én)|r-r1|o-2{\ displaystyle \ részleges _ {i} (| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {p}) = p (x_ {i} -x_ {1 \; i }) | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {p-2}}.

Ha ezt az eredményt a potenciálba beavatkozó mennyiségek második deriváltjaihoz igazítjuk, megvan

∂énj(1|r-r1|)=-δénj|r-r1|3+3(xén-x1én)(xj-x1j)|r-r1|5.{\ displaystyle \ részleges _ {ij} \ balra ({\ frac {1} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |}} \ right) = - {\ frac {\ delta _ {ij}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3}}} + 3 {\ frac {(x_ {i} -x_ { 1 \; i}) (x_ {j} -x_ {1 \; j})} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {5}}}},

ami a teljes potenciál érdekében megadja

∂énjΩ=δénjGM1|r-r1|3-3(xén-x1én)(xj-x1j)GM1|r-r1|5.+δénjGm2|r-r2|3-3(xén-x2én)(xj-x2j)Gm2|r-r2|5.-ω2δénj{\ displaystyle \ részleges _ {ij} \ Omega = \ delta _ {ij} {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3}}} - 3 {\ frac {(x_ {i} -x_ {1 \; i}) (x_ {j} -x_ {1 \; j}) GM_ {1}} {| {\ boldsymbol { r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {5}}} + \ delta _ {ij} {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ félkövér szimbólum {r}} _ {2} | ^ {3}}} - 3 {\ frac {(x_ {i} -x_ {2 \; i}) (x_ {j} -x_ {2 \; j}) Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {5}}} - \ omega ^ {2} \ delta _ {ij}},

ahol δ ij a Kronecker szimbólum . Ezeknek a részleges származékoknak az értékét kell kiszámítani a Lagrange-féle pontok stabilitásának meghatározásához. Ez a számítás a legegyszerűbb a Lagrange L 4 és L 5 pontokra .

Az L 4 és L 5 Lagrange-pontok esete

Ezeket a pontokat az jellemzi, hogy a két testtől való távolságuk azonos és egyenlő R-vel  :

|r-r1|=|r-r2|=R{\ displaystyle | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | = | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | = R}.

Ezenkívül a Kepler harmadik törvényét használhatjuk arra, hogy a G M  /  R 3 típusú mennyiségeket átadjuk az ω-nak , és ismerjük a Lagrange-pontok pontos koordinátáit. Az L 4 vagy L 5 Lagrange-pontok potenciáljának deriváltjait kiértékelve megkapjuk

xén-x1én=(12R,±32R){\ displaystyle x_ {i} -x_ {1 \; i} = \ balra ({\ frac {1} {2}} R, \ pm {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} R \ jobbra )},

és

xén-x2én=(-12R,±32R){\ displaystyle x_ {i} -x_ {2 \; i} = \ balra (- {\ frac {1} {2}} R, \ pm {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} R \ jobb)},

az előjel + az L 5-re jelentkező jel és az a jel az L 4-re . Végül a kívánt mátrix az alkatrészekre vonatkozik

∂énjΩ=ω2(-34∓334(1-2q)∓334(1-2q)-9.4){\ displaystyle \ részleges _ {ij} \ Omega = \ omega ^ {2} \ balra ({\ begin {tömb} {cc} - {\ frac {3} {4}} és \ mp {\ frac {3 { \ sqrt {3}}} {4}} (1-2q) \\\ mp {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {4}} (1-2q) & - {\ frac {9} {4}} \ end {tömb}} jobbra}}.

Ennek a mátrixnak a meghatározója

det(∂énjΩ)=Ω,xxΩ,xy-Ω,xy2=27.16.(1-(1-2q)2)ω2=27.4ω2q(1-q){\ displaystyle \ det (\ részleges _ {ij} \ Omega) = \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, xy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2} = {\ frac {27} { 16}} \ bal (1- (1-2q) ^ {2} \ jobb) \ omega ^ {2} = {\ frac {27} {4}} \ omega ^ {2} q (1-q)},

ami mindig pozitív, mivel q 0 és 1 közé esik. Ez a stabilitás első feltétele létrejön. A második stabilitási feltétel meg van írva

Ω,xx+Ω,yy+4ω2=ω2(-34-9.4+4)=+ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2} = \ omega ^ {2} \ bal (- {\ frac {3} {4}} - {\ frac {9} {4}} + 4 \ jobbra) = + \ omega ^ {2}},

a mennyiség ismét pozitív. Végül a megkülönböztető ad

(Ω,xx+Ω,yy+4ω2)2-4(Ω,xxΩ,xy-Ω,xy2)=ω2(1-27.q(1-q))=ω2(27.q2-27.q+1){\ displaystyle \ left (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2} \ right) ^ {2} -4 \ left (\ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, xy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2} \ right) = \ omega ^ {2} \ left (1-27q (1-q) \ right) = \ omega ^ {2} (27q ^ {2} -27q + 1)}.

A vastagbél stabilitását végső soron a mennyiség pozitivitása határozza meg . A nullák q egy , q b e polinom meghatározását a szokásos formula, ami itt azt jelzi, 27.q2-27.q+1{\ displaystyle 27q ^ {2} -27q + 1}

qNak nek,b=12±1223.27.{\ displaystyle q_ {a, b} = {\ frac {1} {2}} \ pm {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {23} {27}}}}.

Ennek a polinomnak a tartományon belül negatív értékei vannak . Így e két Lagrange-pont stabilitása csak akkor biztosított, ha a legkisebb tömeg nem haladja meg a teljes tömeg 3,852% -át, vagy ennek megfelelő módon, ha a két tömeg aránya nem haladja meg a 4,006% -ot. q∈]12-1223.27.,12+1223.27.[≃]0,03852,0,96148[{\ displaystyle q \ in \ left] {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {23} {27}}}, {\ frac {1 } {2}} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {23} {27}}} \ right [\ simeq] 0, \! 03852,0, \! 96148 [}

Ezt a feltételt minden Nap-Bolygó típusú konfigurációnál (ahol q nem haladja meg a Jupiter esetében hozzávetőlegesen az ezreléket), vagy a Föld-Hold rendszer esetében (ahol q értéke 1/80, azaz 1, 25%) igazolja.

A Lagrange-pontok L 1- L 3 esete

A három L 1 - L 3 Lagrange-pont a két testet összekötő tengelyen helyezkedik el. A második deriváltakat tartalmazó képletben az y i  -  y 1 i mennyiségek nulla, míg az x-ben szereplő analógjaikat az egyik test és a figyelembe vett Lagrange-pont távolságával azonosítjuk. Következésképpen a második deriváltak mátrixát írják fel

∂énjΩ=(-2GM1|r-r1|3-2Gm2|r-r2|3-ω200GM1|r-r1|3+Gm2|r-r2|3-ω2){\ displaystyle \ részleges _ {ij} \ Omega = \ bal ({\ begin {array} {cc} -2 {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} | ^ {3}}} - 2 {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3} }} - \ omega ^ {2} & 0 \\ 0 és {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3} }} + {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3}}} - \ omega ^ {2} \ end { tömb}} \ jobbra)}.

Az Ω , xx kifejezés egyértelműen negatív. A mátrix determinánsának előjelét az Ω , yy jele határozza meg  : ha ez utóbbi pozitív, akkor a Lagrange-pont nyeregpont és instabil. Ezt a kifejezést átírhatjuk Kepler harmadik törvényének felhasználásával:

Ω,yy=ω2((1-q)R3|r-r1|3+qR3|r-r2|3-1){\ displaystyle \ Omega _ {, yy} = \ omega ^ {2} \ left ((1-q) {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} | ^ {3}}} + q {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3 }}} - 1 \ jobbra)}. L 1 esete

A Lagrange  L 1 pont a két test között helyezkedik el. Távolság tőlük, | r  -  r 1 | és | r  -  r 2 | Ezért minden alkalommal, szigorúan kisebb, mint R . Így van

Ω,yy|AZ1=ω2((1-q)R3|r-r1|3+qR3|r-r2|3-1)>ω2((1-q)+q-1)=0{\ displaystyle \ left. \ Omega _ {, yy} \ right | _ {L_ {1}} = \ omega ^ {2} \ left ((1-q) {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3}}} + q {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ félkövér szimbólum {r}} _ {2} | ^ {3}}} - 1 \ jobb)> \ omega ^ {2} \ balra ((1-q) + q-1 \ jobbra) = 0}.

Ez a mennyiség tehát szigorúan pozitív, ami biztosítja, hogy a determináns negatív legyen, vagyis L 1 nyeregpont, ami instabil ponttá teszi.

L 2 és L 3 esete

A jelölések egyszerűsítése érdekében

u1=|r-r1|R{\ displaystyle u_ {1} = {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |} {R}}}, u2=|r-r2|R{\ displaystyle u_ {2} = {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} |} {R}}}.

Ezért érdekel minket a mennyiség jele

Ω,yyω2=(1-q)1u13+q1u23-1{\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = (1-q) {\ frac {1} {u_ {1} ^ {3}}} + q { \ frac {1} {u_ {2} ^ {3}}} - 1},

vagyis

Ω,yyω2=(1-q)(1u13-1)+q(1u23-1){\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = (1-q) \ bal ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {3}}} -1 \ jobb) + q \ bal ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {3}}} - 1 \ jobb)},

tudva, hogy u 1 és u 2 összekapcsolódik egymással azzal, hogy különbségük egyenlő 1-vel, és hogy meghatároznak egy Lagrange-pontot, vagyis a relációt

-(1-q)1u12-q1u22+|r|R=0{\ displaystyle - (1-q) {\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - q {\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} + {\ frac { | {\ boldsymbol {r}} |} {R}} = 0}.

A távolság a Lagrange pont a súlypont a rendszer írható, az L pont 2 ,

|r|R=u2+(1-q)=u1-q{\ displaystyle {\ frac {| {\ félkövér szimbólum {r}} |} {R}} = u_ {2} + (1-q) = u_ {1} -q},

összekapcsolható kapcsolatok

|r|R=qu2+(1-q)u1{\ displaystyle {\ frac {| {\ félkövér szimbólum {r}} |} {R}} = qu_ {2} + (1-q) u_ {1}}.

Az L 2 pont helyzetét tehát az adja meg

-(1-q)(1u12-u1)-q(1u22-u2)=0{\ displaystyle - (1-q) \ bal ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - u_ {1} \ jobb) -q \ bal ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} - u_ {2} \ jobbra) = 0}.

Ezután megkérdezzük

NAK NEK=(1-q)(1u12-u1){\ displaystyle A = (1-q) \ bal ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - u_ {1} \ jobb)}, B=q(1u22-u2){\ displaystyle B = q \ bal ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} - u_ {2} \ jobb)}.

Tehát egyrészt van

NAK NEK+B=0{\ displaystyle A + B = 0},

És másrészt

Ω,yyω2=NAK NEKu1+Bu2{\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = {\ frac {A} {u_ {1}}} + {\ frac {B} {u_ {2} }}}.

Más szavakkal,

Ω,yyω2=NAK NEKu1+Bu1+B(1u2-1u1){\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = {\ frac {A} {u_ {1}}} + {\ frac {B} {u_ {1} }} + B \ balra ({\ frac {1} {u_ {2}}} - {\ frac {1} {u_ {1}}} \ jobbra)}.

A jobb oldali első tag nulla az A  +  B  = 0. összefüggés alapján . Ezért marad

Ω,yyω2=B(1u2-1u1){\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = B \ balra ({\ frac {1} {u_ {2}}} - {\ frac {1} { u_ {1}}} \ jobbra}}.

Az L 2 pont esetében azonban közelebb vagyunk a 2. testhez, mint az 1. testhez . Ezért u 2 kisebb, mint u 1 , és ezért pozitív. A második derivált előjele tehát megfelel a B jelének , amelyet maga az u 2 értéke határoz meg  : ha ez a mennyiség nagyobb, mint 1, akkor B negatív, míg egyébként B pozitív, ami azt jelenti, hogy a pont instabil. A Lagrange L 2 pont a 2 testen túl helyezkedik el . A teljes erő (gravitációs plusz centrifugális) kifejtett ebben a régióban először fordult felé 2 test , amikor az egyik közel van ez, majd törlődik az L 2 és ezután irányítják szemben L 2 . Abban a pontban, hogy u 2 egyenlő 1-vel, ennek az erőnek a komponensét a két testet összekötő tengely mentén adjuk meg (pozitív szorzási állandóig): (1u2-1u1){\ displaystyle \ balra ({\ frac {1} {u_ {2}}} - {\ frac {1} {u_ {1}}} \ jobbra)} 

δf∝-(1-q)(1u12-u1)-q(1u22-u2){\ displaystyle \ delta f \ propto - (1-q) \ left ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - u_ {1} \ right) -q \ left ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} - u_ {2} \ jobbra)},

itt,

u2=1{\ displaystyle u_ {2} = 1}, u1=2{\ displaystyle u_ {1} = 2},

vagyis

δf|u2=1∝74(1-q){\ displaystyle \ left. \ delta f \ right | _ {u_ {2} = 1} \ propto {\ frac {7} {4}} (1-q)}. Mivel ez a mennyiség szigorúan pozitív,  a tengely u 2 = 1 pontja az L 2 ponton túl helyezkedik el . Következésképpen, azon a ponton, L 2 , u 2 kisebb, mint 1, ezért B pozitív, ezért a lényeg valóban egy nyereg pont, amely biztosítja annak instabilitás. Szigorúan analóg demonstrációt lehet készíteni az L 3 ponttal kapcsolatban , amely befejezi a nyeregpont jellegükből adódó instabilitásukat.  

Jellemző idők L 1-ben és L 2- ben nagy tömegű heterogenitású rendszerek esetén

A Lagrange-pontok, az L 1 és az L 2 instabilitásának egyik legfontosabb alkalmazása , hogy mesterséges műholdakat lehet küldeni a Föld-Nap rendszer ezen pontjaira (lásd alább). Az ilyen műholdak esetében rendszeres korrekciókat kell alkalmazni annak érdekében, hogy a műhold a pont közelében maradjon. Ez a jellegzetes idő abban az esetben értékelhető, amikor a rendszer két testének tömegaránya magas. Ebben az esetben a jellegzetes instabilitási időt γ -1 adja meg

1γ=T2π1+27{\ displaystyle {\ frac {1} {\ gamma}} = {\ frac {T} {2 \ pi {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}}}}}},

ahol T a rendszer keringési periódusa. A Föld-Nap rendszer esetében, ahol a T valamivel nagyobb, mint 365 nap, az instabilitás jellemző ideje ekkor 23 nap és 4 óra.

Ezenkívül a pálya stabil komponense a pulzáláskor következik be

ωTrNak nekj=ω27-1{\ displaystyle \ omega _ {\ rm {Traj}} = \ omega {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}},

vagy ennek megfelelő módon a periódussal

TTrNak nekj=T27-1{\ displaystyle T _ {\ rm {Traj}} = {\ frac {T} {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}}},

amely a fentivel megegyező esetben 176 napos időszakot ad.

Demonstráció

A rendszer sajátértékeit megadó egyenlet mindig az

λ4+(Ω,xx+Ω,yy+4ω2)λ2+Ω,xxΩ,yy-Ω,xy2=0{\ displaystyle \ lambda ^ {4} + (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2}) \ lambda ^ {2} + \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2} = 0},

az L 1 és L 2 pontoknál ,

Ω,xy=0{\ displaystyle \ Omega _ {, xy} = 0}, Ω,xx=-2Ω,yy-3ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} = - 2 \ Omega _ {, yy} -3 \ omega ^ {2}}, Ω,yy=ω2(qu23+1-qu13-1){\ displaystyle \ Omega _ {, yy} = \ omega ^ {2} \ balra ({\ frac {q} {u_ {2} ^ {3}}} + {\ frac {1-q} {u_ {1 } ^ {3}}} - 1 \ jobbra)}.

a q legalacsonyabb sorrendű fogalmaira szorítkozva , u 1 értéke 1, és u 2 értékét az ezen az oldalon található első táblázat által megadott reláció határozza meg. Így van

Ω,yy=ω2(3+1-1)=3ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, yy} = \ omega ^ {2} \ bal (3 + 1-1 \ jobb) = 3 \ omega ^ {2}}, Ω,xx=-9.ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} = - 9 \ omega ^ {2}}.

A polinomegyenlet ekkor válik

λ4-2ω2λ2-27.ω4=0{\ displaystyle \ lambda ^ {4} -2 \ omega ^ {2} \ lambda ^ {2} -27 \ omega ^ {4} = 0},

kinek a megoldásai

λ±2=(1±27)ω2{\ displaystyle \ lambda _ {\ pm} ^ {2} = \ balra (1 \ pm 2 {\ sqrt {7}} \ jobbra) \ omega ^ {2}}.

Ennek az egyenletnek a pozitív megoldása azt jelzi, hogy az egyensúlyi ponteltérések az összefüggésnek megfelelően idővel exponenciálisan nőnek

δx∝eλ+t{\ displaystyle \ delta X \ propto e ^ {\ lambda _ {+} t}},

val vel

λ+=ω1+27=2πT1+27{\ displaystyle \ lambda _ {+} = \ omega {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}} = {\ frac {2 \ pi} {T}} {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}}}.

A kapcsolódó jellemző idő tehát

1γ=1λ+=T2π1+27≃0,0635T{\ displaystyle {\ frac {1} {\ gamma}} = {\ frac {1} {\ lambda _ {+}}} = {\ frac {T} {2 \ pi {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}}}} \ simeq 0, \! 0635 \; T},

vagy, mint bejelentették, a Föld Lagrange-pontjainak 23 napos nagyságrendű jellegzetes ideje.

Ugyanígy léteznek periodikus pályák, amelyek lüktetését az egyenlet bonyolult gyökei adják, vagyis

ωTrNak nekj=ω27-1{\ displaystyle \ omega _ {\ rm {Traj}} = \ omega {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}},

vagyis egy

TTrNak nekj=T27-1≃0,4827T{\ displaystyle T _ {\ rm {Traj}} = {\ frac {T} {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}} \ simeq 0, \! 4827 \; T}, ami a Föld Lagrange-pontjainak majdnem hat hónapos idejének felel meg.  

A pályák szerkezete instabilitás jelenlétében

Miután a sajátértékei instabil pont ismert, egy pályát közelében egy Lagrange pont lesz lineáris kombinációja a sajátvektorok kapcsolódó sajátértékei. Megjegyezve λ i egyik ilyen sajátértékek, a kapcsolódó sajátvektor van komponensekként

Vén=(1μénλénλénμén){\ displaystyle V_ {i} = \ balra ({\ begin {array} {c} 1 \\\ mu _ {i} \\\ lambda _ {i} \\\ lambda _ {i} \ mu _ {i } \ end {tömb}} jobbra}},

val vel

μén=-12ω(Ω,xxλ+λ){\ displaystyle \ mu _ {i} = - {\ frac {1} {2 \ omega}} \ bal ({\ frac {\ Omega _ {, xx}} {\ lambda}} + \ lambda \ jobb)},

és egy pálya formájú

(δxδYδx˙δY˙)=∑énαénVén{\ displaystyle \ left ({\ begin {tömb} {c} \ delta X \\\ delta Y \\ {\ dot {\ delta X}} \\ {\ dot {\ delta Y}} \ end {tömb} } \ right) = \ sum _ {i} \ alfa _ {i} V_ {i}},

ahol a mennyiségek bármely olyan számok, amelyeket a δX , δY értéke és azok deriváltja határoz meg egy adott időpontban. A három instabil Lagrange-pont esetében a második derivált mátrix determinánsa negatív, ami azt jelenti, hogy a λ 2 másodfokú egyenlet diszkriminánsának valódi gyökerei ellentétes előjelűek, és hogy a végén a keresett sajátértékek két ellentétes tiszta képzetes szám és két ellentétes valós szám. Az általános pálya tehát az orbitális síkban tartalmaz egy periodikus komponenst (a tiszta képzeletbeli gyökerekhez kapcsolódva), egy csillapított komponenst (a valós pozitív gyökhöz kapcsolódva) és egy instabil komponenst. Adott δX , δY pozíció esetén mindig lehet olyan sebességet választani, hogy a valódi gyökereken található két sajátvektor ne járuljon hozzá a megfelelő megoldáshoz. A kapott pálya ezután periodikus, a periódust a komplex gyök adja meg. Egy ilyen megoldás azonban nem stabil. A pályától való apró eltérés valójában instabil komponenst ad hozzá a pályához, amely fokozatosan elmozdítja a pályát a periodikus komponensétől. Azt mondjuk, hogy a kapott pálya dinamikusan nem stabil. Ez annak a ténynek az általánosítása, hogy egy objektum, amely pontosan egy instabil Lagrange-ponton helyezkedik el, instabil helyzetben van: az egyensúlyi pozíciótól való kis eltérés, amelyet elkerülhetetlenül a rendszer többi testének okozta zavarok generálnak, végül eltávolodik kiinduló helyzetének tárgya. Ugyanez történik az instabil egyensúlyi pont körül elhelyezkedő pályák esetében is. αén{\ displaystyle \ alpha _ {i}}

A koncepció relevanciája

A fenti számítás olyan konfigurációra vonatkozik, ahol a rendszer két teste kör alakú pályán van. Mindazonáltal a Lagrange-pont fogalma bármilyen típusú pályára érvényes, beleértve az ellipszist is. Ezért definiálhatjuk ezeket a pontokat bármely rendszerben, két gravitációs kapcsolatban álló testtel. Másrészt a különböző Lagrange-pontok körüli stabil vagy instabil pályák kifejezetten függenek a rendszer két testének keringésétől vagy sem.

Használja űrmissziókban

A Lagrange-pontok matematikai vizsgálatát, valamint azok matematikai tulajdonságait, például a hozzájuk tartozó invariáns elosztókat az űrszonda küldetéseinek tervezésére használták fel a Naprendszerben. Az olyan küldetésekhez, mint a Rosetta , a Voyager vagy a Galileo , a szonda relatív sebessége a figyelembe vett testekhez képest elég nagy a közelítéshez, figyelembe véve, hogy a Kepler-pályákat csak kissé zavarják a befolyásoló szférában lévő más testek. Amint azonban figyelembe vesszük az alacsony sebességet és az alacsony tolóerőt, finomabb közelítésre van szükség. A Liapounov-Poincaré-tétel biztosítja ezeket az egyensúlyi pontokat körülvevő periodikus pálya-család létezését. A periódusos sík pályákat ezután Liapunov pályáknak , míg 3D esetben topológiai tulajdonságaiknak megfelelően nevezzük, akár Halo pályára, akár Lissajous pályára. Megjegyezhetõ, hogy a Lagrange-pontok körüli ilyen jellegû periodikus pályát már használták olyan valós küldetések felépítésében, mint a SoHO- misszió .

Ezekből a Lagrange-pontok körüli periodikus pályákból invariáns sokaságok ( Conley-McGee csövek ) származnak, amelyek a dinamika elválasztói, és amelyek ebben az értelemben gravitációs áramoknak tekinthetők . Ezeket az áramokat egyre inkább felhasználják a küldetések megtervezésére, különösen a bolygóközi közlekedési hálózattal (ITN) együtt .

A Lagrange pontokat bizonyos űrmissziók sajátos igényeinek kielégítésére használják:

• A Föld-Nap rendszer Lagrange  L 1 pontja, amely a Föld és a Nap között helyezkedik el (bár sokkal közelebb van bolygónkhoz), lehetővé teszi a Nap megfigyelését a Föld és a Hold zavarása vagy árnyékolása nélkül. Ezért lehetséges mérni a nap aktivitását (kitörések, ciklusok, napszél) anélkül, hogy a földi magnetoszféra befolyásolná . Ez az ideális helyzet az űrjárási küldetésekhez, mint például a SoHO és az ACE .
• A Föld-Nap rendszer Lagrange  L 2 pontja nagy hőstabilitást biztosít, miközben elég közel helyezkedik el a Földhöz (1,5 millió km) ahhoz, hogy az összegyűjtött adatok nagy sebességgel továbbíthatók legyenek. Különösen az elmúlt két évtizedben beindított nagy űrcsillagászati ​​megfigyelőközpontok használják: Planck , James-Webb , Gaia , Euclide . Ezt a Lagrange  L 2 pontot 2018-ban használták először Föld-Hold közvetítőként a Queqiao kínai műhold . Ez a távközlési műhold így tovább tudja továbbítani a Földre a Hold túlsó oldalán elhelyezett Chang'e 4 űrszonda által gyűjtött adatokat .

A Naprendszerben

Trójaiak

Az L 4 és L 5 pontok általában stabilak, ezért számos természetes test van, úgynevezett trójaiak  :

• a Nap- Jupiter rendszerben (2011-ben) körülbelül 5000 aszteroida van az L 4 és L 5 pontokban  ;
• a Nap- Neptunusz rendszerben nyolc;
• a Nap- Mars rendszerben négy;
• a Saturn - Tethys rendszerben az L 4 és L 5 pontokat Telesto, illetve Calypso foglalja el ;
• a Saturn- Dione rendszerben Hélène és Pollux foglalják el ezeket a pontokat.

Érdekes módon úgy tűnik, hogy a Nap-Szaturnusz rendszer nem képes felhalmozni a trójaiakat a jovi zavargások miatt .

A Nap- Föld rendszerben azóta ismerjük1 st október 2010-esegy trójai az L 4 ponton , a 2010 TK7 aszteroida , amelynek átmérője 300 méter. Egyes csillagászok rámutatnak, hogy ez a tárgy a NEO-khoz hasonló kockázatot jelenthet. Ezek a szerzők azt is javasolják, hogy az állítólag a Hold kezdeténél ( Théia ) lévő ütközésmérő az L 4 vagy L 5 ponton álljon és tömeget halmozzon fel, mielőtt a többi bolygó hatására kilöknék róla.

Alkalmazások

Az L 1 és L 2 pontok instabil egyensúlyi viszonyok, amelyek felhasználhatóvá teszik őket az űrmissziók keretében: nincsenek természetes testek, és ott fenntartható egy dinamikus egyensúly az ésszerű üzemanyag-fogyasztás érdekében (a gravitációs mező gyenge a közelükben) ).

Nap-Föld rendszer

Ezeknek a helyzeteknek a fő előnyei a földi pályákhoz képest a Földtől való távolságuk és az állandó időbeli kitettségük a Napnak. Az L 1 pont különösen alkalmas a Nap és a napszél megfigyelésére . Ezt a pontot először 1978-ban foglalta el az ISEE-3 műhold , jelenleg a SoHO , a DSCOVR , az Advanced Composition Explorer és a Lisa Pathfinder műholdak foglalják el .

Másrészt az L 2 pont különösen érdekes a kozmosz megfigyelési küldetései számára, amelyek nagyon érzékeny eszközöket ágyaznak be, amelyeket el kell terelni a Földtől és a Holdtól, és nagyon alacsony hőmérsékleten működnek. Jelenleg a Herschel , Planck , WMAP , Gaia műholdak foglalják el, és 2021- ben a JWST , 2022- ben az Euclid és 2025 körül a Nancy-Grace-Roman is elfoglalja .

Föld-Hold rendszer

A kínai Chang'e 4 küldetés részeként , egy hold űrszondának, amely 2019-ben landolt a hold rejtett fázisán, Quequio relé műholdat helyeztek az L 2 pontra, hogy biztosítsák a Föld és a szonda közötti kommunikációt.

Egy ideig mérlegelték az űrtávcső elhelyezését a Föld-Hold rendszer L 4 vagy L 5 pontján , de ezt a lehetőséget felhagyták, miután ott porfelhőket figyeltek meg.

A tudományos-fantasztikus irodalomban

A tudományos-fantasztikus irodalomban stabilitása miatt a Föld-Hold rendszer L 4 és L 5 pontjai gyakran gigantikus űrtelepeket védenek. A tudományos-fantasztikus és képregény- szerzők szeretnek egy Földellenes pontot L 3 elhelyezni . Ez az elképzelés a newtoni fizikát megelőzte, ami azt mutatja, hogy meglehetősen irreális. A Lagrange-pont csak elhanyagolható tömegű objektumokat érdekli a rendszer két eleméhez képest, ami nem áll fenn egy iker bolygó esetében.

A szerzők között, akik ezeket a pontokat használták beszámolóikban, John Varley több regényében és novellájában tervezi telepek telepítését a Föld-Hold együttes Lagrange-pontjaihoz, kihasználva azt a tényt, hogy alacsony tömegű n ' nem lenne szüksége energiára a két csillaghoz viszonyított helyzetének fenntartásához. Különösen igaz ez a Gaïa-trilógiának nevezett sorozatára, ahol az utolsó két kötet bizonyos főszereplői e kolóniák egyikéből, a " Coventből" származnak,

Megtalálhatók, gyakran másodlagos módon, azokban a történetekben (regények és novellák) is, amelyek a Les Huit Mondes sorozat kontextusában játszódnak . Különösen a Gens de la Lune című regényben az L 5 pont az a hely, ahol a Robert Anson Heinlein űrhajó csillagközi útra indul, mielőtt a projektet elhagyják, és az edény tetemét a Hold hulladéklerakójában tárolják. .

A Gundam- univerzumok különféle munkáiban az űrtelepek gyakran Lagrange-pontokon helyezkednek el, ami fontos stratégiai pozíciót jelent számukra ezekben az orbitális konfliktusokban.

A film 2010-ben: Az év első érintkezés által Peter Hyams (1984) (ami következik 2001 Űrodüsszeia ), a hatalmas monolit, akinek a természete is titokzatos kerül bemutatásra, mint elhelyezni a Lagrange pont között a Jupiter és egyik holdja , Io.

Megjegyzések és hivatkozások

1. Esszé a három test problémájáról [PDF] , ltas-vis.ulg.ac.be.
2. Roche geometriája, Jean-Marie Hameury, strasbourgi obszervatórium [PDF] , astro.u-strasbg.fr.
3. Bernard Bonnard , Ludovic Faubourg és Emmanuel Trélat , égi mechanika és űrjármű- vezérlés , Berlin, Springer, koll.  "Matematika és alkalmazások",2005, XIV -276  p. ( ISBN  978-3-540-28373-7 , értesítést BNF n o  FRBNF40153166 , olvasható online ), P.  73. ( online olvasás ) a Google Könyvekben (hozzáférés: 2014. július 25.).
4. http://www.esa.int/Enabled_Support/Operations/What_are_Lagrange_points
5. Ha q- t definiáljuk a legkisebb tömeg és a teljes arányának, akkor csak a 0,5-nél kisebb q értékeknek van értelme, mivel a nagyobb értékek a legnagyobb tömeg és a teljes tömeg arányának felelnek meg.
6. (in) Martin Connors és mtsai. , "  Föld trójai aszteroidája  " , Nature , vol.  475, n o  7357,2011. július 28, P.  481-483 ( DOI  10.1038 / nature10233 , Bibcode  2011Natur.475..481C , online olvasás [PDF] , hozzáférés : 2014. december 3. ) A cikk társszerzői Martin Connors, Paul Wiegert és Christian Veillet mellett.
   A cikk fogadta folyóiratban Nature on2011. április 11, amelyet olvasási bizottsága elfogadta 2011. május 27 és közzétette honlapján a 2011. július 27.
7. (in) Whitney Clavin és Trent J. Perrotto , "  NASA WISE Mission először is megállapítja trójai kisbolygó megosztás Earth Orbit  " a NASA , a kiküldött 27 július 2011 (hozzáférhető a december 3, 2014 ) .
8. Philippe Ribeau-Gésippe : "  Új műhold a Föld számára: Felfedezték a Föld első trójai műholdját  ", Pour la Science , n o  407,2011. szeptember, P.  6 ( online olvasás , konzultáció 2014. december 3-án ) A cikk feltöltése 2011. augusztus 8, a folyóirat honlapján.
9. (be) A gravitációs lyukak bolygógyilkosokat hordoznak? , newscientist.com.
10. (in) "  LISA Pathfinder utazása az űrben - annotált  " a sci.esa.int oldalon (hozzáférés: 2016. február 29. ) .
11. (in) "A  NASA Webb Obszervatóriumának több ideje kell a tesztelésre és az értékelésre; Új kilövési ellenőrzés alatt  " a nasa.gov (megajándékozzuk 1 -jén április 2018 ) .
12. (a) "  Lagrange pontok  " , The Gundam Wiki ,2016. szeptember 12( online olvasás , konzultáció 2016. december 14-én ).

• Grégory Archambeau , A Lagrange-pontok körüli dinamika vizsgálata , Orsay, Párizsi Egyetem XI .2008, X -114  p., online [PDF] itt olvasható : [1]
• Maxime Chupin , bolygóközi transzferek alacsony fogyasztással, korlátozott három testprobléma tulajdonságainak felhasználásával , Párizs, Université Pierre-et-Marie-Curie ,2016, XXVIII -171  p., online [PDF] itt olvasható : [2]
• (en) Richard Fitzpatrick, Analitical Classical Dynamics , tanfolyam az Texasi Egyetemen, Austin Lásd online (pdf és html verziók) .

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• A Naprendszer objektumainak listája a Lagrange egyik pontján
• Théia

Külső linkek

• (ban ben) Hatósági nyilvántartások  :
  • Francia Nemzeti Könyvtár ( adatok )
  Kongresszus könyvesboltja

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">