Összetett Poisson-folyamat

Tétel  -  Moment rend 1- Ha elismeri egy pillanatra a sorrendben 1, akkor minden a véletlen változó egy pillanatra rend 1. és Y1{\ displaystyle Y_ {1}}t∈[0,+∞[{\ displaystyle t \ itt: [0, + \ infty [} Zt{\ displaystyle Z_ {t}}

E(Zt)=λtE(Y1),{\ displaystyle \ mathbb {E} (Z_ {t}) = \ lambda t \ mathbb {E} (Y_ {1}),}

λ{\ displaystyle \ lambda}

(NEMt)t∈[0,+∞[{\ displaystyle (N_ {t}) _ {t \ itt: [0, + \ infty [}}

Javítsuk ki és mutassuk meg, hogy integrálható. t{\ displaystyle t}Zt{\ displaystyle Z_ {t}}

E(|Zt|)=∑nem≥1∫11NEMt=nem|∑k=1nemYk|dP≤∑nem≥1E(11NEMt=nem∑k=1nem|Yk|){\ displaystyle \ mathbb {E} (| Z_ {t} |) = \ sum _ {n \ geq 1} \ int 1 \! \! 1_ {N_ {t} = n} | \ sum _ {k = 1 } ^ {n} Y_ {k} | d \ mathbb {P} \ leq \ sum _ {n \ geq 1} \ mathbb {E} (1 \! \! 1_ {N_ {t} = n} \ sum _ {k = 1} ^ {n} | Y_ {k} |)}

De és függetlenek, ezért 11NEMt=nem{\ displaystyle 1 \! \! 1_ {N_ {t} = n}}∑k=1nem|Yk|{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} | Y_ {k} |}

E(|Zt|)≤∑nem≥1P(NEMt=nem)E(∑k=1nem|Yk|)≤∑nem≥1P(NEMt=nem)nemE(|Y1|)≤E(NEMt)E(|Y1|){\ displaystyle \ mathbb {E} (| Z_ {t} |) \ leq \ sum _ {n \ geq 1} \ mathbb {P} (N_ {t} = n) \ mathbb {E} (\ sum _ { k = 1} ^ {n} | Y_ {k} |) \ leq \ sum _ {n \ geq 1} \ mathbb {P} (N_ {t} = n) n \ mathbb {E} (| Y_ {1 } |) \ leq \ mathbb {E} (N_ {t}) \ mathbb {E} (| Y_ {1} |)}

Most következik a Poisson törvény paraméter , így . NEMt{\ displaystyle N_ {t}}λt{\ displaystyle \ lambda t}E(|Zt|)<λtE(|Y1|)<+∞{\ displaystyle \ mathbb {E} (| Z_ {t} |) <\ lambda t \ mathbb {E} (| Y_ {1} |) <+ \ infty}

Ugyanígy és a Dominált Konvergencia Tétel használatával ezúttal ezt is megmutathatjuk . E(Zt)=λtE(Y1){\ displaystyle \ mathbb {E} (Z_ {t}) = \ lambda t \ mathbb {E} (Y_ {1})}

Tétel  -  variancia Ha elismeri egy pillanatra rend 2, akkor az összes , elismeri egy pillanatra rend 2 és mi Y1{\ displaystyle Y_ {1}}t{\ displaystyle t}Zt{\ displaystyle Z_ {t}}

Vnál nélr(Zt)=λtE(Y12){\ displaystyle Var (Z_ {t}) = \ lambda t \ mathbb {E} (Y_ {1} ^ {2})}

Javítsuk ki . Az események teljes rendszerével feltételezzük, hogy megmutassuk a 2. sorrend pillanatát. t{\ displaystyle t} {NEMt=nem}{\ displaystyle \ {N_ {t} = n \}}Zt{\ displaystyle Z_ {t}}

E(|Zt|2)=∑nem≥1E(|∑k=1NEMtYk|2|NEMt=nem)P(NEMt=nem){\ displaystyle \ mathbb {E} (| Z_ {t} | ^ {2}) = \ sum _ {n \ geq 1} \ mathbb {E} (| \ sum _ {k = 1} ^ {N_ {t }} Y_ {k} | ^ {2} | N_ {t} = n) \ mathbb {P} (N_ {t} = n)}

A folyamattól függetlenül a csomagtól , (NEMt)t{\ displaystyle (N_ {t}) _ {t}}(Yén)én{\ displaystyle (Y_ {i}) _ {i}}

E(|∑k=1NEMtYk|2|NEMt=nem)=E(|∑k=1nemYk|2){\ displaystyle \ mathbb {E} (| \ sum _ {k = 1} ^ {N_ {t}} Y_ {k} | ^ {2} | N_ {t} = n) = \ mathbb {E} (| \ sum _ {k = 1} ^ {n} Y_ {k} | ^ {2})}

Így

E(|Zt|2)=∑nem≥1E(|∑k=1nemYk|2)P(NEMt=nem)≤∑nem≥1E(∑k=1nem|Yk|2)P(NEMt=nem){\ displaystyle \ mathbb {E} (| Z_ {t} | ^ {2}) = \ sum _ {n \ geq 1} \ mathbb {E} (| \ sum _ {k = 1} ^ {n} Y_ {k} | ^ {2}) \ mathbb {P} (N_ {t} = n) \ leq \ sum _ {n \ geq 1} \ mathbb {E} (\ sum _ {k = 1} ^ {n } | Y_ {k} | ^ {2}) \ mathbb {P} (N_ {t} = n)}

Akkor megvan

E(|Zt|2)≤∑nem≥1(nemVnál nélr(|Y1|)+(nemE(|Y1|))2)P(NEMt=nem)≤E(NEMt)Vnál nélr(|Y1|)+E(NEMt2)(E(|Y1|))2{\ displaystyle \ mathbb {E} (| Z_ {t} | ^ {2}) \ leq \ sum _ {n \ geq 1} (nVar (| Y_ {1} |) + (n \ mathbb {E} ( | Y_ {1} |)) ^ {2}) \ mathbb {P} (N_ {t} = n) \ leq \ mathbb {E} (N_ {t}) Var (| Y_ {1} |) + \ mathbb {E} (N_ {t} ^ {2}) (\ mathbb {E} (| Y_ {1} |)) ^ {2}}

(Zt)t{\ displaystyle (Z_ {t}) _ {t}}ezért négyzet alakú integrálható. Ezért most ki kell fejeznünk . E(Zt2){\ displaystyle \ mathbb {E} (Z_ {t} ^ {2})}

E(Zt2)=∑nem≥1E(Zt2|NEMt=nem)P(NEMt=nem)=E(NEMt)Vnál nélr(Y1)+E(NEMt2)(E(Y1))2{\ displaystyle \ mathbb {E} (Z_ {t} ^ {2}) = \ sum _ {n \ geq 1} \ mathbb {E} (Z_ {t} ^ {2} | N_ {t} = n) \ mathbb {P} (N_ {t} = n) = \ mathbb {E} (N_ {t}) Var (Y_ {1}) + \ mathbb {E} (N_ {t} ^ {2}) (\ mathbb {E} (Y_ {1})) ^ {2}}

Honnan

Vnál nélr(Zt)=E(NEMt)Vnál nélr(Y1)+Vnál nélr(NEMt)(E(Y1))2=λtE(Y12).{\ displaystyle Var (Z_ {t}) = \ mathbb {E} (N_ {t}) Var (Y_ {1}) + Var (N_ {t}) (\ mathbb {E} (Y_ {1})) ^ {2} = \ lambda t \ mathbb {E} (Y_ {1} ^ {2}).}

A nagy számok törvénye

Nagyszámú törvényt írhatunk az Összetett Poisson folyamatra.

Tétel  -  Ha a leseknek van egy pillanatnyi sorrendje 2, akkor Yén{\ displaystyle Y_ {i}}

P(limt→+∞ZtNEMt=E(Y1))=1{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ lim _ {t \ to + \ infty} {\ dfrac {Z_ {t}} {N_ {t}}} = \ mathbb {E} (Y_ {1})) = 1}

A nagyszámú törvény szerint van . Honnan szinte biztosan. (NEMt)t{\ displaystyle (N_ {t}) _ {t}}limt→+∞NEMtt=λ{\ displaystyle \ lim _ {t \ to + \ infty} {\ dfrac {N_ {t}} {t}} = \ lambda}limt→+∞NEMt=+∞{\ displaystyle \ lim _ {t \ to + \ infty} N_ {t} = + \ infty}

Y1,Y2,⋯,YNEM{\ displaystyle Y_ {1}, Y_ {2}, \ cdots, Y_ {N}}iid és négyzet alakúak integrálhatók. szerint az erős nagy számok törvénye a mi (Yén)én{\ displaystyle (Y_ {i}) _ {i}}

∑én=1NEMYénNEM↦NEM→+∞E(Y1).{\ displaystyle {\ dfrac {\ sum _ {i = 1} ^ {N} Y_ {i}} {N}} \ mapsto _ {N \ to + \ infty} \ mathbb {E} (Y_ {1}) .}

Mivel szinte biztosan az ember felé hajlik, ennek megvan az eredménye. NEMt{\ displaystyle N_ {t}}+∞{\ displaystyle + \ infty}

Funkció jellemző

A karakterisztikus függvénye a teljesen meghatározza annak törvénye valószínűsége(Zt)t{\ displaystyle (Z_ {t}) _ {t}}

Tétel  -  Az intenzitásból álló Poisson-folyamat jellegzetes funkciója meg van írva (Zt)t{\ displaystyle (Z_ {t}) _ {t}}λ{\ displaystyle \ lambda}

ΦZt(ξ)=eλt(ΦY1(ξ)-1){\ displaystyle \ Phi _ {Z_ {t}} (\ xi) = e ^ {\ lambda t (\ Phi _ {Y_ {1}} (\ xi) -1)}}

A karakterisztikus függvény és a teljes várakozási képlet képlete alapján megvan

ΦZt(ξ)=∑nem≥0E(e-énξZt|NEMt=nem)P(NEMt=nem)=∑nem≥0E(e-énξ∑j=0NEMtYj|NEMt=nem)P(NEMt=nem){\ displaystyle \ Phi _ {Z_ {t}} (\ xi) = \ sum _ {n \ geq 0} \ mathbb {E} (e ^ {- i \ xi Z_ {t}} | N_ {t} = n) \ mathbb {P} (N_ {t} = n) = \ összeg _ {n \ geq 0} \ mathbb {E} (e ^ {- i \ xi \ sum _ {j = 0} ^ {N_ { t}} Y_ {j}} | N_ {t} = n) \ mathbb {P} (N_ {t} = n)}

És a folyamat és a véletlen változók szekvenciája közötti függetlenség révén megvan, hogy Honnan (NEMt)t{\ displaystyle (N_ {t}) _ {t}}(Yj)j{\ displaystyle (Y_ {j}) _ {j}}E(e-énξ∑j=0NEMtYj|NEMt=nem)=E(e-énξ∑j=1nemYj).{\ displaystyle \ mathbb {E} (e ^ {- i \ xi \ sum _ {j = 0} ^ {N_ {t}} Y_ {j}} | N_ {t} = n) = \ mathbb {E} (e ^ {- i \ xi \ sum _ {j = 1} ^ {n} Y_ {j}}).}

ΦZt(ξ)=∑nem≥0E(e-énξ∑j=1nemYj)e-λt(λt)nemnem!.{\ displaystyle \ Phi _ {Z_ {t}} (\ xi) = \ sum _ {n \ geq 0} \ mathbb {E} (e ^ {- i \ xi \ sum _ {j = 1} ^ {n } Y_ {j}}) e ^ {- \ lambda t} {\ dfrac {(\ lambda t) ^ {n}} {n!}}.}

És a köztük lévő függetlenség révén megvan . Így van Yj{\ displaystyle Y_ {j}}E(e-énξ∑j=1nemYj)=ΦY1(ξ)nem{\ displaystyle \ mathbb {E} (e ^ {- i \ xi \ sum _ {j = 1} ^ {n} Y_ {j}}) = \ Phi _ {Y_ {1}} (\ xi) ^ { nem}}

ΦZt(ξ)=e-λt∑nem≥0(ΦY1(ξ))nem(λt)nemnem!=eλt(ΦY1(ξ)-1).{\ displaystyle \ Phi _ {Z_ {t}} (\ xi) = e ^ {- \ lambda t} \ sum _ {n \ geq 0} (\ Phi _ {Y_ {1}} (\ xi)) ^ {n} {\ dfrac {(\ lambda t) ^ {n}} {n!}} = e ^ {\ lambda t (\ Phi _ {Y_ {1}} (\ xi) -1)}.}

Központi korlát tétel

Felállíthatunk egy konvergencia-tételt a folyamathoz . (Zt)t{\ displaystyle (Z_ {t}) _ {t}}

Tétel  -  Legyen Poisson folyamat áll intenzitással . Feltételezzük, hogy központúak, redukáltak és függetlenek és azonos eloszlásúak. Ekkor van konvergenciánk a következő törvényben(Zt)t{\ displaystyle (Z_ {t}) _ {t}}Λ{\ displaystyle \ Lambda}Yén{\ displaystyle Y_ {i}}

Zt→t→+∞LNEM(0,1).{\ displaystyle Z_ {t} {\ xrightarrow [{t \ to + \ infty}] {\ mathcal {L}}} {\ mathcal {N}} (0,1).}

Használjuk a 0 jellegzetes függvényét, és korlátozottan tágítjuk a 0 szomszédságában (ami azt jelenti, hogy a t végtelenbe hajlik). A véletlen változó jellegzetes függvényét egy normális törvény szerint ismerjük fel. majd a Paul-Levy folytonossági tételrel zárjuk le(Zt)t{\ displaystyle (Z_ {t}) _ {t}}ΦY1{\ displaystyle \ Phi _ {Y_ {1}}}

Függelékek

Bibliográfia

• D. Applebaum, Lévy-folyamatok és sztochasztikus számítás , PPUR sajtótechnikák, 2009
• J. Bertoin , Lévy Processes , Cambridge University Press, Cambridge, 1996. ( ISBN  0-52164-632-4 )
• Y. Caumel, Valószínűségek és sztochasztikus folyamatok , Springer Verlag France, 2011, ( ISBN  2817801628 )

Megjegyzések és hivatkozások

• (en) Ez a cikk részben vagy egészben a „  Compound Poisson-folyamat  ” című angol Wikipedia cikkből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .