Dirichlet-konvolúció

A matematika , Dirichlet konvolúció , más néven Dirichlet konvolúciós termék vagy Dirichlet termék egy belső összetétele törvény meghatározott a sor aritmetikai funkciók , azaz funkciók definiált szigorúan pozitív egész számok , és a értékek komplex számok . Ez a törvény konvolúció használják számtani , mind algebrai és analitikus . Megtalálták a számlálási kérdéseket is .

Dirichlet 1837-ben fejlesztette ki ezt a terméket, hogy bemutassa az aritmetikai progresszió tételét .

Definíció, példák és első tulajdonságok

Jelölések

A cikk további részében megjegyezzük

• F az aritmetikai függvények halmaza, és ezek között
• δ 1 a indikátor függvénye a Singleton {1}  : δ 1 (1) = 1 , és bármely egész szám n > 1 , δ 1 ( n ) = 0 ,
• 1 a konstans függvény 1  : 1 ( n ) = 1 ,
• Id a személyazonosságát alkalmazás  : Id ( n ) = N .

Meghatározás

Két aritmetikai függvény ich és g Dirichlet konvolúciója a ƒ ✻  g függvény, amelyet az alábbiak határoznak meg:

∀nem∈NEM∗(f∗g)(nem)=∑nál nél,b∈NEM∗,nál nélb=nemf(nál nél)g(b)=∑d|nemf(d)g(nem/d){\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad (f * g) (n) = \ sum _ {a, b \ in \ mathbb {N} ^ {*}, ab = n } f (a) g (b) = \ összeg _ {d | n} f (d) g (n / d)}

ahol „  d | n  ” azt jelenti, hogy az összeg vonatkozik az összes pozitív egész szám d osztója a n .

Példák

• Bármely g aritmetikai függvény igazolja az egyenlőséget:δ1∗g=gvagy∀nem∈NEM∗(δ1∗g)(nem)=g(nem).{\ displaystyle \ delta _ {1} * g = g \ quad {\ text {vagy ismét}} \ quad \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad (\ delta _ {1} * g ) (n) = g (n).}
• Az Euler mutató φ ellenőrzi az egyenlőséget: énd=φ∗1vagy∀nem∈NEM∗nem=∑d|nemφ(d){\ displaystyle {\ rm {Id}} = \ varphi * {\ mathbf {1}} \ quad {\ text {vagy ismét}} \ quad \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad n = \ összeg _ {d | n} \ varphi (d)}.

Az első tulajdonságok

A szett F aritmetikai függvények, látva az összeadás és a Dirichlet elcsavarodás képezi szerves gyűrű , amely azt jelenti, hogy - eltekintve attól, hogy az F ellátva kívül egy Abel-csoport - a belső jog ✻ az asszociatív , kommutatív és elosztó tekintetében hozzáadásával, létezik egy semleges elem  : δ 1 , és ha majd . f,g≠0{\ displaystyle f, g \ neq 0}f∗g≠0{\ displaystyle f * g \ neq 0}

A D  : F → F operátor által definiált (ahol a log a logaritmus bármely bázisban) levezetése ennek a gyűrűnek. (Df)(nem)=f(nem)napló⁡nem{\ displaystyle (Df) (n) = f (n) \ log n}

Szorzó funkció

Multiplikatív függvénycsoport

A számtani függvények gyűrűje nem mező.

• A egység csoport - a (Abel) csoport a invertálható elemei - a készlet minden funkciót, amely így 1 egy nem nulla image
• A multiplikatív függvények halmaza annak egy alcsoportja .

Különösen két multiplikatív függvény kombinációja multiplikatív.

Möbius-függvény

Az 1 konstans függvény a fenti csoport része. Μ-vel jelöljük inv inverzét. Más szavakkal :

1  ✻ μ = δ 1 .

Ellenőrizzük, hogy valóban a Möbius-függvényről van szó : ha az n > 0 egész szám különböző prímszámok szorzata, akkor μ ( n ) = (–1) k, ahol k ezen prímtényezők száma, és egyébként μ ( n ) = 0.

Ez az 1 inverz μ értéke különös szerepet játszik a konvolúció szempontjából. Legyen f aritmetikai függvény, g pedig a g  =  f  ✻  1 egyenlőség által meghatározott függvény . Μ konvolúcióval f  =  g  ✻ μ-t kapunk . Ezt az f kifejezését, amely g- t használ, Möbius-inverziós képletnek nevezzük .

A képlet használatára példa az Euler indexre történő alkalmazása. A fenti második példa szerint ez a function függvény igazolja az Id  = φ ✻  1 egyenlőséget . Az inverziós képlet azt mutatja, hogy:

φ=énd∗μvagy∀nem∈NEM∗φ(nem)=∑d|nemμ(nem/d)d.{\ displaystyle \ varphi = {\ rm {Id}} * \ mu \ quad {\ text {vagy ismét}} \ quad \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ varphi (n) = \ sum _ {d | n} \ mu (n / d) d.}

Teljesen multiplikatív funkció

A ƒ függvényről azt mondják, hogy teljesen (vagy „teljesen”) multiplikatív, ha:

f(1)=1et∀nem,m∈NEM∗f(nemm)=f(nem)f(m).{\ displaystyle f (1) = 1 \ quad {\ rm {és}} \ quad \ összes n, m \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad f (nm) = f (n) f (m ).}

Az aritmetikában a teljesen multiplikatív függvények játszanak szerepet. Az algebrai számelmélet , Dirichlet karakterek teljesen multiplikatív függvény. Használatuk a számtani progresszió tételének bizonyításának alapja, a Dirichlet konvolúció koncepciójának kialakulásának a kiindulópontja. A analitikus számelmélet , a funkciók ƒ s , amely a n társult N s , ahol s egy komplex szám, arra használják, hogy tanulmányozza a Riemann zéta-függvény, mint valamint a gyakorisága az egyes adott számok, mint például a prímszám.

Ha két teljesen multiplikatív függvény konvolúciója multiplikatív, másrészt nem feltétlenül teljesen multiplikatív. Például a convolée 1  ✻  1 az a funkciója d amely n társítja a száma osztója . Ez a függvény nem teljesen multiplikatív: a 2 képe megegyezik 2-vel, a 4-esé pedig 3-val.

Legyen ƒ teljesen multiplikatív függvény:

• inverz számára konvolúciót a termék ƒ μ (a szokásos értelemben vett);
• annak menyasszony önmagában a termék ƒ d  ;
• általánosabban, minden aritmetikai funkciók g és h  : ( ƒg ) ✻ ( ƒh ) =  ƒ ( g  ✻  h ).

E három tulajdonság közül az első még a multiplikatív függvények között is jellemzi azokat, amelyek teljesen multiplikatívak.

Dirichlet-konvolúció és Dirichlet-generáló sorozat

Ha ƒ aritmetikai függvény, akkor a generátor Dirichlet F sorozatát definiáljuk : F(s)=∑nem=1∞f(nem)nems{\ displaystyle F (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f (n)} {n ^ {s}}}}

a komplex számok s így a sorozat konvergál (ha van ilyen).

A Dirichlet-sorozat szorzata a következő értelemben kompatibilis a Dirichlet-konvolúcióval: ha h = ƒ ∗ g , akkor

H(s)=∑nem=1∞h(nem)nems=F(s)G(s){\ displaystyle H (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {h (n)} {n ^ {s}}} = F (s) G (s)}

minden komplex számok s úgy, hogy a két sorozat F ( ek ) és a G ( s ) konvergálnak, és az egyik a két abszolút konvergál .

Ez összefügg a Fourier-transzformációk konvolúciós tételével .

F ( s ) és G ( s ) egyszerű konvergenciája nem jelenti azt, hogy H ( s ) .

Függelékek

Megjegyzések

1. Általánosabban elmondható, hogy a számtani függvényeknek bármilyen kommutatív mezőben vannak értékeik .
2. Ezt az egyenlőséget a Möbius inverziós képletről szóló cikk „Moduláris aritmetika” fejezi ki.

Hivatkozások

1. (De) G. Lejeune Dirichlet, "Beweis eines Satzes über die arithmetische Progression", Bericht über die Verhandlungen der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften , 1837, p. 108-110 - Teljes művek , 1. kötet, 307-312.
2. Bemutatóért lásd például ezt a gyakorlatot, amelyet a "Bevezetés a számelméletbe" leckéből kijavítottunk a Wikiverzióról .
3. Françoise Badiou , „  Möbius inverziós képlet  ”, Delange-Pisot-Poitou szemináriumi számelmélet , vol.  2, 1960-61, p.  1-7o. 2.
4. igazolás megtalálható a „számtani funkciók” részben a „Bevezetés a Number Theory” leckét a Wikiversity .
5. Aritmetikai tanfolyamok és tevékenységek az utolsó osztályok számára az IREM Marseille-ből, p. 77.
6. Badiou 1960-1961 , Apostol 1976 ,  stb
7. (in) GH Hardy és EM Wright , Bevezetés a Theory of számok ( 1 st  szerk. 1938) [ Kiskereskedelmi Editions ], 5 -én ed., 1979, p. 13-14.
8. Jean-Benoît Bost , Pierre Colmez és Philippe Biane , La fonction Zêta , Párizs, Éditions de l'École politechnique,2002, 193  p. ( ISBN  978-2-7302-1011-9 , online olvasás ).
9. A "Bevezetés a számelméletbe" lecke javított gyakorlata a Wikiverzióról .
10. Badiou 1960-61 , p.  3.
11. (in) Tom M. Apostol , Bevezetés az analitikus számelméletbe , Springer , al.  "  UTM  (en)  " ( n o  7),1976, 340  p. ( ISBN  978-0-387-90163-3 , online olvasás ) , p.  36.
12. Lásd például: G. Tenenbaum , Bevezetés az analitikus és a valószínűségi számelméletbe. 1. szaktanfolyamok , SMF , Párizs, 1995, II.1.1. És a II.1.

Bibliográfia

(en) Harold Davenport , Multiplikatív számelmélet , Springer, koll.  "  GTM  " ( n o  74)1980, 2 nd  ed. ( 1 st  szerk. 1967) ( olvasott sort )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">