Pólus (matematika)

A komplex elemzése , a pólus egy Holomorf funkció van valamilyen izolált szingularitás úgy viselkedik, mint a szingularitás z = 0 a függvény , ahol n egy nem nulla természetes egész szám. z∈VS∗↦z-nem∈VS{\ displaystyle z \ in \ mathbb {C} ^ {*} \ mapsto z ^ {- n} \ in \ mathbb {C}}

A holomorf funkciót, amelynek csak elszigetelt pólusú szingularitása van, meromorf funkciónak nevezzük .

Definíció és tulajdonságok

Let U legyen nyitott tervet a komplex síkban ℂ, van egy eleme U és a Holomorf funkciót . Azt mondjuk, hogy egy egy pólusa f (vagy, hogy f elismeri a pole a ) ha létezik egy Holomorf funkciót g a környéken V ⊂ U az egy olyan, hogy , és egy egész szám, n ≥ 1 úgy, hogy minden z a V \ { a } van f:U∖{nál nél}→VS{\ displaystyle f: U \ setminus \ {a \} \ to \ mathbb {C}}g(nál nél)≠0{\ displaystyle g (a) \ neq 0}

f(z)=g(z)(z-nál nél)nem{\ displaystyle f (z) = {\ frac {g (z)} {(za) ^ {n}}}}.

Egy ilyen írás akkor egyedi, és az n egész számot a pólus sorrendjének nevezzük . Az 1. rendű pólust néha egyszerű pólusnak nevezik .

Az f pólusa olyan pont, ahol | f | a végtelen felé hajlik.

Pont egy olyan pólusa f if (és csak akkor) a környéken az egy , f jelentése határtalan és 1 / f korlátos.

Példák és ellenpéldák

• Funkció

f(z)=3z{\ displaystyle f (z) = {\ frac {3} {z}}} 1-es (vagy egyszerű pólusú) pólus van .z=0{\ displaystyle z = 0}

• Funkció

f(z)=z+2(z-5.)2(z+7)3{\ displaystyle f (z) = {\ frac {z + 2} {(z-5) ^ {2} (z + 7) ^ {3}}}} 2-es és 3-as pólusú .z=5.{\ displaystyle z = 5}z=-7{\ displaystyle z = -7}

• Funkció

f(z)=bűn⁡zz3{\ displaystyle f (z) = {\ frac {\ sin z} {z ^ {3}}}} van egy pólusa sorrendben 2 , mert van egyenértékű , hogy a szomszédságában (ezt mutatja például a Taylor-sor a függvény szinuszgörbét a származás).z=0{\ displaystyle z = 0}bűn⁡z{\ displaystyle \ sin z}z{\ displaystyle z}z=0{\ displaystyle z = 0}

• A megjelenéssel ellentétben a funkció

f(z)=bűn⁡zz{\ displaystyle f (z) = {\ frac {\ sin z} {z}}} nem ismer be pólust , mert az előző példában felvetett egyenérték miatt 1-vel egyenértékű a . Különösen az eredet közelében korlátozott marad, ezért nem pólusa . Ezután kiterjeszthetjük az egész holomorf funkcióját . Azt mondjuk, hogy egy törölhető szingularitás az .z=0{\ displaystyle z = 0}f(z){\ displaystyle f (z)}z=0{\ displaystyle z = 0}f{\ displaystyle f}z=0{\ displaystyle z = 0}f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}z=0{\ displaystyle z = 0}f{\ displaystyle f}

• Funkció

f(z)=exp⁡(1z){\ displaystyle f (z) = \ exp \ bal ({\ frac {1} {z}} \ jobb)} nem ismer be oszlopot . Valóban, és mindkettő korlátlan a szomszédságában . Ezután esszenciális szingularitásról beszélünk, és már nem pólusról.z=0{\ displaystyle z = 0}f{\ displaystyle f}1/f{\ displaystyle 1 / f}z=0{\ displaystyle z = 0}

Lásd is

• Nulla (komplex elemzés)
• Maradék (komplex elemzés)
• Racionális funkció

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">