A geometriában az írható négyszög olyan négyszög, amelynek csúcsai mind egyetlen körön fekszenek . A csúcsokról azt mondják, hogy ciklikusak . A kör állítólag körül van szabva a négyszögre.
Írható négyszögben (nem keresztezve ) az ellentétes szögek továbbiak (összegük π radián vagy 180 ° ). Vagy ekvivalens módon minden külső szög megegyezik az ellentétes belső szöggel . Ez a tulajdonság valójában a beírt szög és a középen lévő szög tételének változata .
A terület egy az egy írható négyszög függvényében a hossza az oldalán adja Brahmagupta formula :
ahol s , a félig kerülete , az egyenlő a s =a + b + c + d2.
Az azonos oldalhosszúsággal rendelkező négyszögek közül ez a terület az írható négyszög számára maximális.
Az egymást követő a , b , c , d oldalak, valamint a b és c oldalak közötti γ szög írható négyszögének területét szintén a következő képlet adja meg:
.A Ptolemaiosz tétel szerint a ciklikus négyszög p és q átlójának hosszának szorzata megegyezik az ac és bd ellentétes oldalak szorzatának összegével :
pq = ac + bd .Bármely domború négyszög esetén a négyszög két átlója négy háromszögre vágja; írható négyszögben az egymással szemben álló háromszögpárok egymáshoz hasonló háromszögekből állnak .
Az egymást követő A, B, C, D csúcsok, az a = AB, b = BC, c = CD és d = DA , valamint a p = AC és q = BD átló írható négyszögéhez :
Ha az átló kereszteződése az egyik átlót e és f hosszúságú szakaszokra osztja, a másik átlót pedig g és h hosszúságú szakaszokra osztja , akkor ef = gh . (Ez azért érvényes, mert a két átló egy kör akkordja .)
Bármilyen téglalap egy egyenlő szárú trapéz , azaz a körülvevő trapéz . A sárkány akkor és csak akkor írható, ha két derékszöge van.
A sugara a körülírt kör egy írható négyszög, amelynek oldalai hosszúságú egymást követő egy , b , c , d és a fél-kerülete s van a következő képlet adja:
Nincsenek írható négyszögek, amelyek területe racionális, oldalhosszuk racionális, egyenlőtlen és számtani vagy geometriai haladást képezne.
Egy írható négyszög hosszúságú egymást követő oldalai egy , b , c , d , a félig kerülete s , és a szög Egy közötti oldalai egy és d , a trigonometrikus függvények a A adják:
Négy egyenes, mindegyik merőleges az írható négyszög egyik oldalára és átmegy a szemközti oldal közepén, egyidejűleg p. 131
A Brahmagupta-tétel szerint egy ciklikus négyszög esetében, amely szintén ortodiagonális (vagyis akinek az átlói merőlegesek), az átló metszéspontján áthaladó bármelyik oldal normálisa elosztja a másik oldalt a középső p-ben. 137 .
Ha egy írható négyszög is ortodiagonális, akkor a körülírt kör közepétől bármelyik oldalig tartó távolság megegyezik a szemközti p hosszának felével . 138 .
Ortodiagonális írható négyszög esetén tegyük fel, hogy az átló kereszteződése az egyik átlót p 1 és p 2 hosszúságú szakaszokra osztja, a másik átlót pedig q 1 és q 2 hosszúságú szakaszokra osztja . Így
ahol D jelentése a átmérője a körülírt kör. Az átlóak ugyanis egy kör merőleges akkordjai. Ekvivalensen, legyen R = D / 2 lehet a sugara a körülírt kör, az átlagos p 1 2 , p 2 2 , q 1 2 , és q 2 2 jelentése R 2 .
Továbbá az a 2 + c 2 = b 2 + d 2 = D 2 egyenletek azt sugallják, hogy egy írható ortodiagonális négyszögben az oldalak négyzetének összege megegyezik a körülírt kör sugara négyzetének nyolcszorosával.
A kör és egy beírt négyzet kerületének hányadosa egyenlőπ2 √ 21 1 110 720 (az OEIS A093954 folytatása ).