Egyenleg elosztott lakosztály

A matematika egy sorozat valós számok azt mondják, hogy equidistributed vagy egyenletesen elosztva , ha az arány a feltételek, amelyek megtalálhatók egy al-intervallum hosszával arányos e intervallum . Az ilyen szekvenciákat a Diophantine közelítési elméletben és a Monte-Carlo módszer különféle alkalmazásaiban tanulmányozzák .

Meghatározás

Egy szekvencia { s 1 , s 2 , s 3 , ...} a valós számok azt mondják, hogy equidistributed több mint egy intervallum [ a , b ], ha bármely al-intervallum [ c , d ] a [ a, b ] , mi itt:

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ balra | \ {\, s_ {1}, \ pontok, s_ {n} \, \} \ cap [c, d] \ jobbra | \ over n} = {dc \ ba}}

(Itt a | { s 1 , ..., s n } ∩ [ c , d ] | jelölés kijelöli a szekvencia első n elemei közé tartozó elemek számát , amelyek c és d között vannak )

Például, ha egy szekvencia egyenletesen oszlik el [0, 2] -ben, tekintettel arra, hogy a [0,5; A 0,9] a [0, 2] intervallum hosszának 1/5-ét foglalja el, n nagyobb lesz, a szekvencia tagjai közül az első n-nek a 0,5 és 0,9 közötti arányának meg kell közelítenie az 5/1-et. Nagyjából elmondható, hogy a lakosztály minden tagja valószínűleg bárhova esik ezen a tartományon. Ez azonban nem jelenti azt, hogy az { s n } véletlenszerű változók sorozata ; ez egy valós számok meghatározott szekvenciája.

Különbség

Meghatározzuk a D N különbséget az { s 1 , s 2 , s 3 , ...} szekvenciához az [ a, b ] intervallumhoz képest , a következő formában:

{\ displaystyle D_ {N} = \ sup _ {a \ leq c \ leq d \ leq b} \ left \ vert {\ frac {\ left | \ {\, s_ {1}, \ dots, s_ {N} \, \} \ cap [c, d] \ right |} {N}} - {\ frac {dc} {ba}} \ right \ vert. \,}

Egy szekvencia tehát egyenlően oszlik el, ha a D N különbség nulla felé hajlik, amikor N a végtelen felé .

Az eloszlás elég gyenge kritérium annak kifejezésére, hogy egy sorozat egy szóköz nélkül tölti ki a szegmenst. Például az egységes véletlen változó rajzai egy szegmensen egyenletesen oszlanak el a szegmensen, de nagy eltérések lesznek egy olyan szekvenciától, amely először felsorolja az ε többszörösét a szegmensben, egy kis ε esetén, majd folytassa hogy ezt tegyük az ε egyre kisebb értékeire.

Az egyenlő elosztás Riemann-kritériuma

Emlékezzünk vissza arra, hogy ha f olyan függvény, amelynek Riemann-integrálja az [ a , b ] intervallumot , akkor integrálja ezért az R függvény összegének határértéke lesz , amelyet az f függvény mintavételével vett pontok halmazából választunk ki, az intervallum. Ezért, ha egy szekvencia egyenletesen oszlik el az [ a , b ] -ban, akkor várható, hogy ez a szekvencia felhasználható a Riemann-integrál függvényének integráljának kiszámítására. Ez az egyenletesen elosztott szekvencia következő kritériumához vezet:

Tegyük fel, hogy az { s 1 , s 2 , s 3 , ...} az [ a , b ] intervallumban található szekvencia . A következő feltételek tehát egyenértékűek:

A szekvencia egyenletesen oszlik el az [ a, b ] között.
Bármely Riemann-integrál esetében az f : [ a , b ] → C függvény a következő határértékkel rendelkezik:

{\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} f \ bal (s_ {n} \ right) = {\ frac {1} {ba}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x}

Ez a kritérium a Monte-Carlo integráció gondolatához vezet, ahol az integrálokat úgy számítják ki, hogy a függvényt az intervallumon egyenlően elosztott véletlen változók sorozatából veszik.

Tény, hogy a Bruijn-Post-tétel azt jelzi, az inverze a fenti kritérium: ha f jelentése egy függvény, hogy a kritérium érvényes minden equidistributed szekvencia [ a, b ], majd a, f egy Riemann integrál [ a, b ].

Modulo 1 egyenlő eloszlás

Egy szekvencia { a 1 , a 2 , a 3 , ...} a valós számok azt mondják, hogy equidistributed modulo 1 vagy egyenletesen elosztott modulo 1 , ha a szekvenciát a frakcionált részeinek az egy N , jelölése { a n } vagy egy N - ⌊ a n ⌋ egyenlően oszlik el a [0, 1] intervallumban.

Példák

Egyenlő eloszlás tétel (en) : Az irracionális α összes többszörösének szekvenciája,

0, α, 2α, 3α, 4α, ... egyenletesen oszlik el modulo 1.

Általánosabban elmondható, hogy ha p egy legalább egy irracionális együtthatóval rendelkező polinom (a konstans tagtól eltérő), akkor a p ( n ) szekvencia egyenletesen oszlik el modulo 1-ben.

Ezt Weyl bizonyította .

A szekvencia log ( n ) nem egyenletesen oszlik el az 1. modulusnál.
Az irracionális α összes többszörösének szekvenciája egymást követő prímszámokkal ,

2α, 3α, 5α, 7α, 11α, ... egyenletesen oszlik el modulo 1. Ez az analitikus számelmélet híres tétele , amelyet Vinogradov adott ki 1948-ban.

A Van der Corput programcsomag egyenletesen oszlik el.

Weyl kritériuma

A Weyl kritérium azt jelzi, hogy a következő már n egyenletesen oszlik modulo 1, ha, és csak akkor, ha az bármely egész szám nem nulla ℓ,

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} \ ell a_ {j}} = 0.}

A kritériumot Hermann Weyl nevezi meg és fogalmazza meg . Lehetővé teszi az egyenlő eloszlás kérdéseinek csökkentését az exponenciális összegek korlátjaira, egy általános és alapvető módszer.

Összefoglaló bemutató

Ha a szekvencia egyenletesen oszlik el modulo 1-nél, akkor alkalmazhatjuk a (fent leírt) Riemann-integrál kritériumot a függvényre , ez adja a Weyl-kritériumot. Ellenben tegyük fel, hogy Weyl kritériuma érvényes. A Riemann-kritérium tehát érvényes az f függvényekre, mint fent, valamint (a kritérium linearitásával) bármely trigonometrikus polinomra . A Stone-Weierstrass-tétel szerint ez kiterjed minden f folytonos funkcióra . ${\ displaystyle f (x) = \ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} \ ell x}}$

Végül legyen f legyen az indikátor függvény egy intervallum. Az intervallum alatt két folyamatos függvénnyel növelhetjük és csökkenthetjük f értékét, amelyek integráljai tetszőleges ε-vel különböznek. A Riemann-integrál kritérium igazolásához hasonló érvvel kiterjeszthetjük az eredményt az f intervallum bármely indikátorfüggvényére , ezzel bizonyítva az adott szekvencia modulo 1 egyensúlyát.

Általánosítások

A Weyl-kritérium mennyiségi formáját az Erdős-Turán (en) egyenlőtlenség adja .
Weyl kritériuma természetesen magasabb dimenziókra is kiterjed , elfogadva a modulo 1 egyensúly definíciójának természetes általánosítását:

Az R k vektorok v n szekvenciája akkor és csak akkor egyenlően oszlik el az 1 modulo, ha bármely nem nulla vektor esetében, ahol ℓ ∈ Z k ,

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {j = 0} ^ {n-1} e ^ {2 \ pi {\ rm {i \ ell \ cdot v_ {j}}}} = 0.}

Példa felhasználásra

Weyl-kritérium segítségével könnyen igazolható az egyenlő eloszlási tétel, jelezve, hogy egy bizonyos valós α 0, α, 2α, 3α, ... többszöröseinek szekvenciája csak akkor egyenlő eloszlású, ha α irracionális .

Tegyük fel, hogy az α irracionális, és jelöljük szekvenciánkat a j = jα (ahol j 0-tól indul, a képlet későbbi egyszerűsítése érdekében). Legyen ℓ ≠ 0 egész szám. Mivel α irracionális, ℓα nem egész szám, ezért különbözik az 1-től. A képletet használva egy geometriai szekvencia egymást követő tagjai összegére, ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {2 \ pi {\ rm {i \ ell \ alpha}}}}$

{\ displaystyle \ left | \ sum _ {j = 0} ^ {n-1} \ mathrm {e} ^ {2 \ pi {\ rm {i \ ell j \ alpha}}} \ right | = \ left | \ sum _ {j = 0} ^ {n-1} \ balra (\ mathrm {e} ^ {2 \ pi {\ rm {i \ ell \ alpha}}} \ jobbra) ^ {j} \ right | = \ balra | {\ frac {1- \ mathrm {e} ^ {2 \ pi {\ rm {i \ ell n \ alpha}}}} {1- \ mathrm {e} ^ {2 \ pi {\ rm { i \ ell \ alpha}}}}}} jobbra | \ leq {\ frac {2} {\ balra | 1- \ mathrm {e} ^ {2 \ pi {\ rm {i \ ell \ alpha}}} \ jobbra |}}}

egy felső határ, amely nem függ n-től . Ezért n-vel való osztás után a bal oldal 0-ra hajlik, mivel n a végtelenbe hajlik, és Weyl kritériuma érvényes.

Ezzel szemben, ha α racionális, akkor ez a szekvencia nem equidistributed modulo 1, mert csak véges számú lehetséges választás a töredék része egy j = j α.

Van der Corput különbségtétele

Johannes van der Corput tétele azt jelzi, hogy ha az összes h esetén az s n + h - s n szekvencia egyenletesen oszlik el az 1 modulo-on, akkor az s n esetében is megegyezik .

A van der Corput készlet egy sor H az egész szám úgy, hogy, ha bármilyen H a H szekvencia s n + h - s n egyenletesen oszlik modulo 1, akkor arra lehet következtetni, hogy ez ugyanaz lesz az s n .

Metrikus tételek

A metrikus tételek egy paraméterezett szekvencia viselkedését írják le bizonyos α paraméterek szinte összes értékére: vagyis azokra az α értékekre, amelyek nem fekszenek le bizonyos Lebesgue-nullértékek halmazában .

Bármely b n egész szám szekvenciájánál a { b n α} szekvencia egyenletesen oszlik el az 1 modulo-val az α szinte összes értékére.
Az {α n } szekvencia egyenletesen oszlik el az 1 mod szinte az α> 1 összes értékénél.

Nem tudjuk, hogy az { e n } vagy a { $π$ n } szekvenciák egyenlő eloszlásúak-e az 1. mod-on. Ugyanakkor tudjuk, hogy az {α n } nem egyenlő eloszlású 1. mod., Ha α Pisot-szám .

Jól elosztott lakosztály

Egy szekvencia { s 1 , s 2 , s 3 , ...} a valós számok azt mondják, hogy jól eloszlik át [ a , b ] Ha egy alintervallumot [ c , d ] a [ a , b ], van

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ balra | \ {\, s_ {k + 1}, \ dots, s_ {k + n} \, \} \ cap [c, d] \ right | \ over n} = {dc \ ba} felett \,}

egységesen k-ban . Nyilvánvaló, hogy minden jól elosztott szekvencia egyenletesen oszlik el, de fordítva hamis.

Egyenlegesen elosztott szekvenciák egy tetszőleges mérték vonatkozásában

Bármely mért térben , egy sor pont azt mondják, hogy equidistributed képest , ha az átlag a pontméréseken gyengén konvergál felé : ${\ displaystyle (X, \ mu)}$ $x_ {n}$ $\ mu$ $\ mu$

{\ displaystyle {\ frac {\ sum _ {k = 1} ^ {n} \ delta _ {x_ {k}}} {n}} \ Rightarrow \ mu}

Igaz, hogy például minden Borelian valószínűségi mérték egy elkülöníthető metrizálható hely létezik egy equidistributed szekvencia (tekintettel az intézkedés).

Hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „ Equidistributed szekvencia ” ( lásd a szerzők listáját ) .

Kuipers és Niederreiter 2006 , p. 2-3.
(en) http://math.uga.edu/~pete/udnotes.pdf , 8. tétel.
Kuipers és Niederreiter 2006 , p. 8.
Kuipers és Niederreiter 2006 , p. 27.
Kuipers és Niederreiter 2006 , p. 129.
Kuipers és Niederreiter 2006 , p. 127.
(de) H. Weyl : „ Ueber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins ” , Math. Ann. , vol. 77, n o 3,1916, P. 313–352 ( DOI 10.1007 / BF01475864 ).
(től) J. van der Corput , Diophantische Ungleichungen. I. Zur Gleichverteilung Modulo Eins , vol. 56, Springer Hollandia,1931( ISSN 0001-5962 , DOI 10.1007 / BF02545780 , zbMATH 57.0230.05 ) , p. 373-456.
Kuipers és Niederreiter 2006 , p. 26.
Montgomery 1994 , p. 18.
(in) Hugh L. Montgomery és James S. Byrnes ( szerk. ), A XX. Századi harmonikus elemzés ünneplés volt. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute, Il Ciocco, Olaszország, július 02-15, 2000 , vol. 33., Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, gyűjt. „NATO Sci. Ser. II, Math. Phys. Chem. ",2001( zbMATH 1001.11001 ) , „Harmonikus elemzés az analitikus számelméletben” , p. 271-293.
Vö. (De) Felix Bernstein , " Über eine Anwendung der Mengenlehre auf ein aus der Theorie der säkularen Störungen herrührendes Problem " , Mathematische Annalen , vol. 71,1911. szeptember, P. 417-439 ( DOI 10.1007 / BF01456856 ).
JF Koksma (de) , „ Ein mengentheoretischer Satz über die Gleichverteilung modulo Eins ”, Compositio Mathematica , vol. 2,1935, P. 250–258 ( zbMATH 61.0205.01 , online olvasás ).
Kuipers és Niederreiter 2006 , p. 171.

Lásd is

Bibliográfia

(en) L. Kuipers és H. Niederreiter , a szekvenciák egységes elosztása , Dover ,2006( 1 st ed. 1974), 416 p. ( ISBN 0-486-45019-8 , zbMATH 0281.10001 )
(en) Hugh L. Montgomery , Tíz előadás az analitikus számelmélet és a harmonikus elemzés interfészén , Providence, RI, AMS , coll. "Regionális konferencia sorozat Matematika" ( n o 84);1994, 220 p. ( ISBN 0-8218-0737-4 , zbMATH 0814.11001 , online olvasás )

Kapcsolódó cikkek

Külső linkek

(en) Eric W. Weisstein , „ Equidistributed Sequence ” , a MathWorld- on
(en) Eric W. Weisstein , „ Weyl kritériuma ” , a MathWorld- on
(en) Weyl kritériuma a PlanetMath.org oldalon .
(en) Előadási jegyzetek Weyl kritériumának igazolásával