Farey lakosztálya
A matematika , a Farey szekvencia rend a szekvencia a kiküszöbölhetetlen frakciók 0 és 1 közötti, növekvő sorrendben, és amelynek nevezője kisebb vagy egyenlő, mint Egyes szerzők nem korlátozzák a Farey szekvenciákat az intervallum 0-1nem{\ displaystyle n}nem.{\ displaystyle n.}
Minden egyes Farey-szekvencia a törtrész által leírt 0-val kezdődik, és a törtrész által leírt 1-es értékkel végződik (bár egyes szerzők ezeket a kifejezéseket kihagyják). A Farey sorozat is nevezik Farey sorozat , ami nem éppen helyes, mivel a feltételek még nem összeadódnak.
0/1,{\ displaystyle 0/1,}1/1{\ displaystyle 1/1}
Példák
Az 1–8. Sorrendben szereplő Farey szekvenciák a következők:
F1=(01,11){\ displaystyle F_ {1} = \ balra ({\ color {Green} {\ frac {0} {1}}}, \, {\ color {Green} {\ frac {1} {1}}} \ jobbra )}F2=(01,12,11){\ displaystyle F_ {2} = \ balra ({\ frac {0} {1}}, \, {\ color {Green} {\ frac {1} {2}}}, \, {\ frac {1} {1}} \ jobbra)}F3=(01,13,12,23,11){\ displaystyle F_ {3} = \ balra ({\ frac {0} {1}}, \, {\ color {Green} {\ frac {1} {3}}}, \, {\ frac {1} {2}}, \, {\ color {Green} {\ frac {2} {3}}}, \, {\ frac {1} {1}} \ right)}F4=(01,14,13,12,23,34,11){\ displaystyle F_ {4} = \ balra ({\ frac {0} {1}}, \, {\ color {Green} {\ frac {1} {4}}}, \, {\ frac {1} {3}}, \, {\ frac {1} {2}}, \, {\ frac {2} {3}}, \, {\ color {Green} {\ frac {3} {4}}} , \, {\ frac {1} {1}} \ jobbra}}F5.=(01,15.,14,13,25.,12,35.,23,34,45.,11){\ displaystyle F_ {5} = \ balra ({\ frac {0} {1}}, \, {\ color {Green} {\ frac {1} {5}}}, \, {\ frac {1} {4}}, \, {\ frac {1} {3}}, \, {\ color {Green} {\ frac {2} {5}}}, \, {\ frac {1} {2}} , \, {\ color {Green} {\ frac {3} {5}}}, \, {\ frac {2} {3}}, \, {\ frac {3} {4}}, \, { \ color {Green} {\ frac {4} {5}}}, \, {\ frac {1} {1}} \ right)}F6.=(01,16.,15.,14,13,25.,12,35.,23,34,45.,5.6.,11){\ displaystyle F_ {6} = \ balra ({\ frac {0} {1}}, \, {\ color {Green} {\ frac {1} {6}}}, \, {\ frac {1} {5}}, \, {\ frac {1} {4}}, \, {\ frac {1} {3}}, \, {\ frac {2} {5}}, \, {\ frac { 1} {2}}, \, {\ frac {3} {5}}, \, {\ frac {2} {3}}, \, {\ frac {3} {4}}, \, {\ frac {4} {5}}, \, {\ color {Green} {\ frac {5} {6}}}, \, {\ frac {1} {1}} \ right)}F7=(01,17,16.,15.,14,27,13,25.,37,12,47,35.,23,5.7,34,45.,5.6.,6.7,11){\ displaystyle F_ {7} = \ balra ({\ frac {0} {1}}, \, {\ color {Green} {\ frac {1} {7}}}, \, {\ frac {1} {6}}, \, {\ frac {1} {5}}, \, {\ frac {1} {4}}, \, {\ color {Green} {\ frac {2} {7}}} , \, {\ frac {1} {3}}, \, {\ frac {2} {5}}, \, {\ color {Green} {\ frac {3} {7}}}, \, { \ frac {1} {2}}, \, {\ color {Green} {\ frac {4} {7}}}, \, {\ frac {3} {5}}, \, {\ frac {2 } {3}}, \, {\ color {Green} {\ frac {5} {7}}}, \, {\ frac {3} {4}}, \, {\ frac {4} {5} }, \, {\ frac {5} {6}}, \, {\ color {Green} {\ frac {6} {7}}}, \, {\ frac {1} {1}} \ right) }F8.=(01,18.,17,16.,15.,14,27,13,38.,25.,37,12,47,35.,5.8.,23,5.7,34,45.,5.6.,6.7,78.,11){\ displaystyle F_ {8} = \ balra ({\ frac {0} {1}}, \, {\ color {Green} {\ frac {1} {8}}}, \, {\ frac {1} {7}}, \, {\ frac {1} {6}}, \, {\ frac {1} {5}}, \, {\ frac {1} {4}}, \, {\ frac { 2} {7}}, \, {\ frac {1} {3}}, \, {\ color {Green} {\ frac {3} {8}}}, \, {\ frac {2} {5 }}, \, {\ frac {3} {7}}, \, {\ frac {1} {2}}, \, {\ frac {4} {7}}, \, {\ frac {3} {5}}, \, {\ color {Green} {\ frac {5} {8}}}, \, {\ frac {2} {3}}, \, {\ frac {5} {7}} , \, {\ frac {3} {4}}, \, {\ frac {4} {5}}, \, {\ frac {5} {6}}, \, {\ frac {6} {7 }}, \, {\ color {Green} {\ frac {7} {8}}}, \, {\ frac {1} {1}} \ right)}Történelem
A 'Farey sorozat' története nagyon kíváncsi - Hardy & Wright (1979) III. Fejezet
...
még egyszer: nem az az ember fedezte fel, akinek a nevét a matematikai összefüggés kapta. - Beiler (1964) XVI. Fejezet
A Farey lakosztályokat Sir John Farey brit geológus tiszteletére nevezték el . E szekvenciákról szóló levele 1816- ban jelent meg a Filozófiai Magazinban . Farey sejtette, hogy minden ilyen sorrendben szereplő kifejezés a szomszédainak felezőpontja - azonban amennyire tudjuk, nem bizonyította ezt a tulajdonságot. Farey levelét Cauchy olvasta fel , aki a matematikai gyakorlatokban bizonyítékot adott , és ezt az eredményt Farey-nek tulajdonította. Valójában egy másik matematikus, Charles Haros (in) 1802-ben tett közzé hasonló eredményeket, amelyek azonban természetesen nem voltak annyira ismertek, mint Farey vagy Cauchy. Tehát egy történelmi baleset köti össze Farey nevét ezekkel a folytatásokkal.
Tulajdonságok
A Farey szekvencia kifejezéseinek száma
A sorrendben szereplő Farey szekvencia az alacsonyabb rendű Farey szekvenciák összes elemét tartalmazza. Különösen tartalmazza a szekvencia összes elemét , valamint egy további törtet minden kisebb számnál, és kevesebb, mint az elsődleges. Így a szekvencia a szekvencia elemeiből áll, amelyhez hozzá kell adni a frakciókat és a szekvencia középtagját. Farey mindig, amikornem{\ displaystyle n}Fnem{\ displaystyle F_ {n}}Fnem-1,{\ displaystyle F_ {n-1},}nem{\ displaystyle n}nem.{\ displaystyle n.}F6.{\ displaystyle F_ {6}}F5.{\ displaystyle F_ {5}}1/6.{\ displaystyle 1/6}5./6.{\ displaystyle 5/6.}1/2,{\ displaystyle 1/2,}nem>1.{\ displaystyle n> 1.}
Összekapcsolható a (megjegyzett ) és a (z ) kifejezések száma az Euler indicatrix használatával :
Fnem{\ displaystyle F_ {n}}|Fnem|{\ displaystyle | F_ {n} |}Fnem-1{\ displaystyle F_ {n-1}} φ{\ displaystyle \ varphi \,}
|Fnem|=|Fnem-1|+φ(nem){\ displaystyle | F_ {n} | = | F_ {n-1} | + \ varphi (n)}Annak felhasználásával, hogy a kifejezések száma ezért a következő módon választható ki :
|F1|=2,{\ displaystyle | F_ {1} | = 2,}Fnem{\ displaystyle F_ {n}}nem{\ displaystyle n}
|Fnem|=1+∑m=1nemφ(m){\ displaystyle | F_ {n} | = 1 + \ összeg _ {m = 1} ^ {n} \ varphi (m)}Aszimptotikus viselkedése :
|Fnem|{\ displaystyle | F_ {n} |}
|Fnem|∼3nem2π2{\ displaystyle | F_ {n} | \ sim {\ frac {3n ^ {2}} {\ pi ^ {2}}}}Szomszédok egy Farey lakosztályban
A Farey-szekvenciában szereplő két egymást követő frakcióról azt mondják, hogy közel vannak vagy egymást követik a sorrendhez . Például a frakciók és közel vannak az 5., 6. és 7. sorrendhez .
Fnem{\ displaystyle F_ {n}}nem.{\ displaystyle n.}3/5.{\ displaystyle 3/5}2/3{\ displaystyle 2/3}
A szomszédság fogalma a figyelembe vett sorrendhez viszonyul: a sorrenddel szomszédos két frakció már nem felel meg a nagyobbnak. Például, és már nem szomszédok azóta , hogy be kellett illeszteni a kettő közé.
nem{\ displaystyle n}o{\ displaystyle p}o{\ displaystyle p}3/5.{\ displaystyle 3/5}2/3{\ displaystyle 2/3}F8.{\ displaystyle F_ {8}}5./8.{\ displaystyle 5/8}
Matematikailag két irreducibilis frakciók és közel vannak a rend , ha és amennyiben nincs más frakció között van , és azaz ha bármely frakció , hogy minál nél/b{\ displaystyle a / b}nál nél′/b′{\ displaystyle a '/ b'}nem{\ displaystyle n}nál nél/b<nál nél′/b′{\ displaystyle a / b <a '/ b'}Fnem{\ displaystyle F_ {n}}nál nél/b{\ displaystyle a / b}nál nél′/b′,{\ displaystyle a '/ b',}vs./d{\ displaystyle c / d}nál nél/b<vs./d<nál nél′/b′{\ displaystyle a / b <c / d <a '/ b'}d>nem.{\ displaystyle d> n.}
A Farey-szekvenciák alapvető tulajdonsága a szomszédsági viszony nagyon egyszerű jellemzése :
Két redukálhatatlan frakció , amelyek egymást követik a sorrendben, ha a kapcsolat ellenőrizhető.nál nél/b{\ displaystyle a / b}nál nél′/b′{\ displaystyle a '/ b'}max(b,b′){\ displaystyle \ max (b, b ')}nál nél′b-nál nélb′=1{\ displaystyle a'b-ab '= 1}
A két tag elosztásával azt látjuk, hogy a kapcsolat is írható:
bb′{\ displaystyle bb '}
nál nél′b′-nál nélb=1bb′.{\ displaystyle {\ frac {a '} {b'}} - {\ frac {a} {b}} = {\ frac {1} {bb '}}.}A mennyiséget néha a két frakció kereszttermékének vagy meghatározójának nevezik ; ez a két frakció választott ábrázolásától függ, ezért a fenti tulajdonságban azt kell feltételeznünk, hogy a két frakció redukálhatatlan formában van (ami implicit az egymást követő definícióban is implicit ). Például, ha figyelembe vesszük a frakciókat és amelyek szomszédosak egymással , kereszttermékük az, amely valóban megegyezik a De értékkel. Ha azonban figyelembe vesszük például ugyanannak a két frakciónak a nem redukálhatatlan ábrázolását, és akkor anál nél′b-nál nélb′{\ displaystyle a'b-ab '}3/5.{\ displaystyle 3/5}2/3{\ displaystyle 2/3}F5.{\ displaystyle F_ {5}}2×5.-3×3{\ displaystyle 2 \ szor 5-3 \ szor 3}1.{\ displaystyle 1.}9./15{\ displaystyle 9/15}4/6.,{\ displaystyle 4/6,}4×15-9.×6.=6.{\ displaystyle 4 \ alkalommal 15-9 \ szor 6 = 6}
Figyeljen a figyelembe vett Farey-szekvencia sorrendjére vonatkozó feltételre is: az a tény, hogy a relációt ellenőrizzük, nem jelenti azt, hogy a két frakció szoros lenne az összes Farey-szekvenciában; valójában látni fogjuk, hogy a rend szomszédjai, de már nem . Tehát és szomszédai a megrendeléseknek , de már nem a megrendelésnekb+b′-1{\ displaystyle b + b'-1}b+b′{\ displaystyle b + b '}3/5.{\ displaystyle 3/5}2/3{\ displaystyle 2/3}5.=max(5.,3),{\ displaystyle 5 = \ max (5,3),} 6.{\ displaystyle 6}7{\ displaystyle 7}8.=5.+3.{\ displaystyle 8 = 5 + 3}
A Farey szekvenciák második alapvető tulajdonsága, hogy könnyen meghatározhatjuk az első két szomszéd közé beillesztendő frakciót:
Ha és egymás után sorrendben sorrendben , és ha a medián frakció :
nál nél/b{\ displaystyle a / b}nál nél′/b′{\ displaystyle a '/ b'}max(b,b′){\ displaystyle \ max (b, b ')}vs./d{\ displaystyle c / d}
vs.d=nál nél+nál nél′b+b′{\ displaystyle {\ frac {c} {d}} = {\ frac {a + a '} {b + b'}}}akkor a törtek és a sorrendben egymást követiknál nél/b,{\ displaystyle a / b,} vs./d{\ displaystyle c / d}nál nél′/b′{\ displaystyle a '/ b'}b+b′.{\ displaystyle b + b '.}
Például, ha az egyik tartalmazza a két frakciót, és a közelben látható, hogy az első frakciót be kell illeszteni, amely a medián.
3/5.{\ displaystyle 3/5}2/3{\ displaystyle 2/3}F5.,{\ displaystyle F_ {5},}5./8.{\ displaystyle 5/8}
A medián kifejezés használatát geometrikusan magyarázzák: az euklideszi síkba helyezzük magunkat , megnevezzük a referenciakeret eredetét; A frakció is társult az a pont a koordináta ; így a lejtőn a vonal a sík eredő és átmegy Si van a koordináta pont társított frakciót , majd a felezőpontja és rendelkezik a koordinátákat és ; azt látjuk, hogy a medián frakció ekkor a háromszögből adódó medián meredekségeO{\ displaystyle O}nál nél/b{\ displaystyle a / b}NÁL NÉL{\ displaystyle A} (b,nál nél){\ displaystyle (b, a)}nál nél/b{\ displaystyle a / b} (ONÁL NÉL){\ displaystyle (OA)}O{\ displaystyle O}NÁL NÉL.{\ displaystyle A.}NÁL NÉL′{\ displaystyle A '}(b′,nál nél′){\ displaystyle (b ', a')}nál nél′/b′{\ displaystyle a '/ b'}NÁL NÉL{\ displaystyle A}NÁL NÉL′{\ displaystyle A '}(b+b′)/2{\ displaystyle (b + b ') / 2}(nál nél+nál nél′)/2{\ displaystyle (a + a ') / 2}(nál nél+nál nél′)/(b+b′){\ displaystyle (a + a ') / (b + b')}O{\ displaystyle O} (ONÁL NÉLNÁL NÉL′).{\ displaystyle (OAA ').}
A tulajdonságot a szomszédos frakciók korábban látott jellemzésének segítségével mutatjuk be; ráadásul a fenti feltételezések szerint, különös tekintettel arra, hogy és nem redukálhatók, a medián frakció is automatikusan visszavonhatatlan.
nál nél/b{\ displaystyle a / b}nál nél′/b′{\ displaystyle a '/ b'}(nál nél+nál nél′)/(b+b′){\ displaystyle (a + a ') / (b + b')}
A mediánt néha a dunce összegének is nevezik, ami félrevezető, mert a kereszttermékhez hasonlóan ez a frakciók ábrázolásától is függ. Ha a kereszttermék példáját vesszük, akkor: és . Ebben az esetben azt látjuk, hogy a mediánok, és egyrészt, és a, és másrészről (illetve egyenlőek és ) nem egyenlőek. Ami a keresztterméket illeti, a mediánok kiszámítására csak akkor korlátozódunk, ha a frakciók redukálhatatlan formában vannak, hogy minden félreérthetőséget eltávolítsunk.
3/5.=9./15{\ displaystyle 3/5 = 9/15}2/3=4/6.{\ displaystyle 2/3 = 4/6}3/5.{\ displaystyle 3/5}2/3{\ displaystyle 2/3}9./15{\ displaystyle 9/15}4/6.{\ displaystyle 4/6}5./8.{\ displaystyle 5/8}13./21{\ displaystyle 13/21}
Az ingatlan egy ellenkezője: ha és egymás után az alábbi sorrendben sorrendben , akkor a medián és ; lehetséges azonban, amikor és nincsenek közel, hogy ez a medián frakció nem irreducibilis. Például, ha figyelembe vesszük a három frakció , és amelyek egymás után a következő medián frakció és az , ami nem irreducibilis de ad újra , miután az egyszerűsítés. Valójában és nem szomszédok egyetlen lakosztályban sem.
nál nél/b,{\ displaystyle a / b,} vs./d{\ displaystyle c / d}nál nél′/b′{\ displaystyle a '/ b'}nem{\ displaystyle n}vs./d{\ displaystyle c / d}nál nél/b{\ displaystyle a / b}nál nél′/b′{\ displaystyle a '/ b'}nál nél/b{\ displaystyle a / b}nál nél′/b′{\ displaystyle a '/ b'}3/5.,{\ displaystyle 3/5,} 2/3{\ displaystyle 2/3}5./7{\ displaystyle 5/7}F7{\ displaystyle F_ {7}}3/5.{\ displaystyle 3/5}5./7{\ displaystyle 5/7}8./12.{\ displaystyle 8/12}2/3{\ displaystyle 2/3}3/5.{\ displaystyle 3/5}5./7{\ displaystyle 5/7}
A szomszédságot egy folytonos tört szerint is jellemezhetjük : ha folytonos töredékben elismeri a terjeszkedést:
nál nél/b{\ displaystyle a / b}
[nál nél0,nál nél1,nál nél2,...,nál nélnem-1,nál nélnem,1]{\ displaystyle [a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, ..., a_ {n-1}, a_ {n}, 1]}akkor két szomszédja a sorrendben folytatja a frakciótágulást:
b{\ displaystyle b}
[nál nél0,nál nél1,nál nél2,...,nál nélnem-1,nál nélnem]{\ displaystyle [a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, ..., a_ {n-1}, a_ {n}]}
[nál nél0,nál nél1,nál nél2,...,nál nélnem-1]{\ displaystyle [a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, ..., a_ {n-1}]}
Így a folyamatos frakcióval történő fejlődés és a szomszédai vannak, amelyek beismerik a terjeszkedést és amelyek fejlődnek3/8.{\ displaystyle 3/8}[0,2,1,1,1],{\ displaystyle [0,2,1,1,1],}F8.{\ displaystyle F_ {8}}2/5.{\ displaystyle 2/5}[0,2,1,1]{\ displaystyle [0,2,1,1]}1/3{\ displaystyle 1/3}[0,2,1].{\ displaystyle [0,2,1].}
A medián tulajdonság a Stern-Brocot fa felépítésének alapja , egy olyan struktúra, amely felsorolja azokat a redukálhatatlan frakciókat, amelyeket a medián művelet 0 (= ) és végtelen (= )
értékekből történő iterálásával kapunk.0/1{\ displaystyle 0/1}1/0{\ displaystyle 1/0}
.
Ford Körök
Érdekes kapcsolat van Farey folytatásai és a Ford körök között .
Bármely (csökkentett) frakció esetében van egy Ford kör, amely a sugár és a középpont kör . A két különálló frakciónak megfelelő Ford körök diszjunkt vagy tangensek - két Ford kör nem metszik egymást. Ha akkor a Ford körök, amelyek érintenek, pontosan azok a Ford körök, amelyek a Farey sorrendben közel álló frakciókhoz kapcsolódnak .
o/q{\ displaystyle p / q}VS[o/q],{\ displaystyle C [p / q],}1/2q2{\ displaystyle 1 / 2q ^ {2}}(o/q,1/2q2).{\ displaystyle (p / q, 1 / 2q ^ {2}).}0<o/q<1,{\ displaystyle 0 <p / q <1,}VS[o/q]{\ displaystyle C [p / q]}o/q{\ displaystyle p / q}
Tehát érintő stb.
VS[2/5.]{\ displaystyle C [2/5]}VS[1/2],{\ displaystyle C [1/2],} VS[1/3],{\ displaystyle C [1/3],} VS[3/7],{\ displaystyle C [3/7],} VS[3/8.],{\ displaystyle C [3/8],}
Riemann-hipotézis
A Farey-szekvenciákat a Riemann-hipotézis két egyenértékű megfogalmazásában használják . Tegyük fel, hogy a feltételek a Definiáljuk más szóval a különbség a k-adik távon az n-edik Farey szekvenciát, és a k-adik eleme egy sor azonos számú pontot, egyenletesen elosztva több l „egység intervallum. Jérôme Franel bebizonyította, hogy az állítás:
Fnem{\ displaystyle F_ {n} \,}{nál nélk,nem:k=0,1,...mnem}.{\ displaystyle \ {a_ {k, n}: k = 0,1, \ ldots m_ {n} \}.}dk,nem=nál nélk,nem-k/mnem,{\ displaystyle d_ {k, n} = a_ {k, n} -k / m_ {n},}dk,nem{\ displaystyle d_ {k, n}}
∑k=1mnemdk,nem2=O(nemr)∀r>-1{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {m_ {n}} d_ {k, n} ^ {2} = O (n ^ {r}) \ quad \ forall r> -1}egyenértékű a Riemann-hipotézissel, akkor Landau észrevette Franel cikkét követve, hogy az állítás:
∑k=1mnem|dk,nem|=O(nemr)∀r>1/2{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {m_ {n}} | d_ {k, n} | = O (n ^ {r}) \ quad \ forall r> 1/2}azzal is egyenértékű.
( A Landau dominanciája jelöléssel ).
O(nemr){\ displaystyle O (n ^ {r})}
Egyszerű algoritmus
Meglepő módon létezik egy egyszerű algoritmus a kifejezések növekvő vagy csökkenő sorrendben történő létrehozására:
100 'Code UBASIC pour engendrer une Suite de Farey d'ordre N dans l'ordre traditionnel
110 N=7:NumTerms=1
120 A=0:B=1:C=1:D=N
140 print A;B
150 while (C<N)
160 NumTerms=NumTerms+1
170 K=int((N+B)/D)
180 E=K*C-A:F=K*D-B
190 A=C:B=D:C=E:D=F:print A;B
200 wend
210 print NumTerms
220 end
Ezt az algoritmust levezetni azt a tényt, hogy ha és a két egymást követő egy Farey sorrend ezután az utódai mind a forma megtalálásához az utódja a sorrendben , meg kell találnunk a legnagyobb , hogy ez az egyik által megadott értéke része a hányadosa általnál nél/b{\ displaystyle a / b}vs./d{\ displaystyle c / d}vs./d{\ displaystyle c / d}(kvs.-nál nél)/(kd-b).{\ displaystyle (kc-a) / (kd-b).}nem{\ displaystyle n}k{\ displaystyle k}kd-b≤nem{\ displaystyle kd-b \ leq n}nem+b{\ displaystyle n + b}d.{\ displaystyle d.}
A sorrend csökkenő sorrendben történő létrehozásához:
120 A=1:B=1:C=N-1:D=N
150 while (A>0)
A nyers erőfelmérések a diofantikus racionális egyenletek megoldásaival gyakran előnyt élvezhetnek a Farey-szekvenciákkal szemben (hogy csak redukált formákat találjanak); A 120 sor is módosítható úgy, hogy bármely két szomszédos tagot tartalmazzon, hogy csak az adott kifejezésnél nagyobb (vagy kisebb) kifejezéseket hozzon létre.
Megjegyzések és hivatkozások
-
Ivan Niven és Herbert S. Zuckerman, Bevezetés a számok elméletébe , harmadik kiadás, John Wiley és Sons 1972. Definíció 6.1. "Az összes redukált frakció szekvenciáját, amelynek neve nem haladja meg az n értéket, méretük szerint felsorolva, F sorrend szekvenciának nevezzük." A szerzők hozzáteszik: "A Farey szekvenciáknak ez a meghatározása tűnik a legkényelmesebbnek. Egyes szerzők azonban inkább a frakciókat 0 és 1 közötti intervallumra korlátozzák."
-
"Farey szekvenciái és a prímszám-tétel", Gött. Nachr. 1924, 198-201
-
"Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel", Gött. Nachr. 1924, 202-206
Bibliográfia
-
(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „ Farey szekvencia ” ( lásd a szerzők listáját ) .
- A Royal Academy of Sciences, Belles-Lettres et Arts de Bordeaux (Valat, előadó) közleménye, „ Jelentés M. Stouvenel elemző téziséről (Farey és Cauchy elméletéről) ”, C. Lawalle (Bordeaux) ,1839. október, P. 639 ( online olvasás )
-
(in) Albert Beiler, Recreations az elmélet a számok , 2 th ed. 1964 Dover ( ISBN 0486210960 )
- (en) GH Hardy és EM Wright , Bevezetés a Theory of számok ( 1 st szerk. 1938) [ Kiskereskedelmi Editions ]
Külső linkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">