Legendre szimbólum

A számelméletben a Legendre szimbólum két egész változó függvénye, amelynek értéke {–1, 0, 1}, ami a másodfokú maradványokat jellemzi . Adrien-Marie Legendre vezette be, a másodfokú kölcsönösség törvényének bemutatására tett erőfeszítései során .

Meghatározás

Ha $p$ egy prímszám és $van$ egy egész , akkor a Legendre szimbólum értéke: $\ balra ({\ frac ap} \ jobbra)$

0, ha $a$ jelentése osztható által $p$ ;
1, ha $a$ jelentése modulo $p$ másodfokú maradék (ami azt jelenti, hogy létezik olyan k egész szám , hogy $a$ ≡ k 2 mod $p$ ), de nem osztható $p-vel$ ;
−1, ha $a$ nem modulo $p$ másodfokú maradék .

Ezért csak attól függ az osztály $egy$ modulo $p$ .

A $p = 2$ speciális eset szerepel ebben a meghatározásban, de érdeklődés nélkül: érvényes, ha páros és ha nem. $\ balra ({\ frac a2} \ jobbra)$ ${\ displaystyle 0}$ $nál nél$ $1$

A Legendre szimbólum tulajdonságai

Euler-kritérium

Ha $p$ prímszám más, mint 2, akkor, bármilyen egész szám $egy$ :

a ^ {{(p-1) / 2}} \ equiv \ left ({\ frac ap} \ right) ~ {\ pmod p}

Szorzás

Az alkalmazás a teljesen multiplikatív (ez egy közvetlen következménye a feltétel Euler). ${\ displaystyle a \ mapsto \ balra ({\ frac {a} {p}} \ jobbra)}$

Gauss lemma

Legyen $p$ páratlan prímszám, és $legyen$ olyan egész szám, amely nem osztható $p-vel$ . Így

\ balra ({\ frac ap} \ jobbra) = (- 1) ^ {n}

ahol $n$ az alábbiak szerint van meghatározva:

vegyük figyelembe az $a , 2 a , 3 a , ..., p - 1 / 2 a$ és legkisebb pozitív maradéka modulo $p$ , akkor $n$ azoknak a maradványoknak a száma, amelyek meghaladják a $p / 2 értéket$ .

Másodlagos viszonossági törvény

Ha $q$ egy másik páratlan prímszám, akkor ${\ displaystyle \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) (- 1) ^ {\ frac {(p-1) (q-1)} {4}}.}$
${\ displaystyle \ left ({\ frac {-1} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {p-1} {2}} \ equiv p \ mod 4.}$
${\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ tfrac {p ^ {2} -1} {8}} = {\ begin {esetben} ~~ 1 {\ text {si}} p \ equiv \ pm 1 \ mod 8 \\ - 1 {\ text {si}} p \ equiv \ pm 3 \ mod 8. \ end {esetek}}}$

A Legendre szimbólum általánosítása

A Jacobi szimbólum a Legendre szimbólum általánosítása. A Legendre szimbólummal az egész szám feltétlenül prím; másrészt Jacobi szimbóluma lehetővé teszi annak az esetnek a megfontolását, ahol összetett szám szerepel. ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right)}$ $b$ $b$

Harmonikus elemzés (ℤ / p ℤ) *

A Legendre szimbólum teljes sokszorozhatósága ( lásd fent ) azt mutatja, hogy rögzített p esetén definiálja a (ℤ / p *) * morfizmust a {–1, 1} -ben; ezért Dirichlet-karakter . Ez a megjegyzés lehetővé teszi a harmonikus elemzés eszközeinek használatát egy véges csoporton. Ezek az eszközök sok számtani bemutató forrása . Idézhetünk például összegek vagy Gauss-periódusok kiszámítását , amelyet a másodfokú kölcsönösség törvényének egyik bizonyítékában használnak.

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „ Legendre szimbólum ” ( lásd a szerzők listáját ) .

AM Legendre, Esszé a számelméletről , 1798 , p. 186 .
Bemutatóért lásd például a "Legendre szimbóluma" című részt a "Bevezetés a számelméletbe" leckében a Wikiverzióról .