Érintő származik a latin tangere , hogy érintse: a geometria , a tangens a görbe az egyik pont egy egyenes vonal, amely „érinti” a görbe a lehető legszorosabban a közelben ebben a kérdésben. A görbe és annak érintője ekkor nulla szöget képez ezen a ponton.
Az érintő fogalma lehetővé teszi a közelítések elvégzését: bizonyos problémák megoldásához, amelyek megkövetelik a görbe viselkedésének ismeretét egy pont közelében, asszimilálhatjuk ezt az érintőjéhez. Ez magyarázza az érintő és a differenciálszámítás fogalma közötti kapcsolatot .
Az elégedettség - amint az néha megtörténik - helytelen lenne meghatározni az érintőt egyenesnek, amely „megérinti a görbét anélkül, hogy keresztezné azt”
A felületek érintőjének fogalma megfelelője az érintősík. Meghatározható a felületre rajzolt és egy adott ponton áthaladó görbék halmazának figyelembe vételével, valamint a kapott érintőkészlet figyelembevételével. Ezután általánosíthatunk 2-nél nagyobb méretű objektumokra.
Az érintőleges görbe C egy pont abszcissza egy a határ helyzetben, ha az létezik, a szelő (AB), amikor a B pont a görbe irányába hat A. pontban
Ahhoz, hogy tökéletesen szigorúvá váljon, ez a meghatározás megköveteli a topológia fogalmainak bevezetését, amely lehetővé teszi egy ilyen határ kiszámítását . Nagyon színes.
A kör minden pontján érintőt fogad el. Az M érintője az M-en áthaladó és az M-től érkező sugárra merőleges vonal .
Az O középponttal és R sugárral rendelkező kör érintői az O ponttól R távolságra elhelyezkedő vonalak . Ugyanakkor azok a vonalak is, amelyek pontosan egy pontban keresztezik a kört, de ez a kör sajátossága.
Tekintsünk két ugyanazon M ponton áthaladó C és C ' görbét ; feltételezzük, hogy ezen a ponton mindkettőjüknek vannak érintői.
Itt f az űrlap intervallumában definiált függvény , valós értékekkel. Arra vagyunk kíváncsiak, hogy az y = f ( x ) egyenlet grafikonja megengedi-e az tangens érintését az ( a , f ( a ) koordináták A pontjában .
A szekáns között a pontok között abszcissza egy és egy + H az a vonal áthaladó A és lejtő , amely a változási sebességét f . Három lehetőség van:
Ezúttal f egy függvény több mint egy intervallum formájában értékeiket vektortérnek E véges dimenzióban. A vizsgálatot úgy végezzük, a közelben a lényeg paraméterrel egy .
Az első feltétel, hogy képes legyen beszélni metsző, hogy a szomszédságában egy , a görbe csak egyszer halad át pont a . Ebben az esetben ismét kiszámíthatjuk a szekán meredekségét, és megállapíthatjuk, hogy van-e határa.
Az érintő fogalma mindenesetre nem függ a választott paraméterezéstől , mivel definíciója tisztán geometriai ( lásd fent ).
Összekapcsolás a differenciálszámítássalHa f elismeri a nullától származék vektor ponton egy , azt mondjuk, hogy a rendszeres pont, és van egy érintő által vezetett, a vektor f „(a) .
Ha f beismeri nulla származtatott sorozatot egy akkor egy első, nem nulla származékban, amely a p sorrendbe megy
akkor van egy érintő, amelyet az első nem nulla származék irányít. Ilyen ponton azt mondjuk, hogy a görbe és annak érintője között p rendű kontaktus van (míg egy szabályos pontban az érintkezés csak 1. rendű).
Megjegyzés : A francia hagyomány szerint a "szabályos" szót két különálló fogalomra használják, az f függvényének vagy az ívnek a szabályosságára. Lehetőség van paraméterezni egy négyzet olyan módon , ami azt mutatja, hogy a rendszeresség abban az értelemben, a funkciók nem feltétlenül ad a létezését érintők. Egyszerűen egy ilyen paraméterezéshez a csúcsokon az összes derivált nulla lesz.
Fél érintőkA pontosabb vizsgálatot, lehet bevezetni fél érintők a jobb és a bal oldalon, hogy meghatározza a viselkedést az értékek a paraméter szigorúan magasabb vagy szigorúan alacsonyabb, mint egy . A fél tangensben található további információ a mozgás iránya.
Azt mondjuk, hogy van egy fél érintő a jobb oldalon, amikor a következő határérték létezik
A fél érintő ekkor a fél származási vonala ennek a vektornak .
Azt mondjuk, hogy van egy fél érintő a bal oldalon, ha az alábbi határérték fennáll (figyeljen a sorrendre)
A fél érintő ekkor a fél származási vonala ennek a vektornak .
Ha vannak fél érintők, akkor a következő szókincset használjuk:
Az abszolút érték függvény grafikonja példát ad egy szögpontra
Abban az esetben, egy deltoid , azt látjuk, három csücsök.
Ha az ív paraméterként beismeri a poláris szöget , akkor a levezetett vektor kifejezést ad a mobil bázisban .
Szigorúan véve a szekánsok létezéséhez hozzá kell adni azt a feltételt, hogy az ív csak egyszer haladjon át az origón, hogy elég közel legyen ahhoz .
Úgy véljük, egy görbe derékszögű egyenlet f (x, y) = C az euklideszi síkon, egy függvény f a osztály nyílt egyik sík.
Az implicit függvények tétele lehetővé teszi, hogy paraméterezett ívre redukálódjon, és meghatározza a görbe érintőjének létezését és lehetséges egyenletét egy adott pontban. Pontosan, egy pont M = (x, y) tartozó görbe azt mondják, hogy a rendszeres, amikor a gradiens az F nem nulla ennél a pontnál. És ebben az esetben az érintő merőleges a gradiens vektorra.
A differenciálható numerikus függvény grafikonja akkor és csak akkor konvex, ha a görbe mindig az érintője felett áll. Homorú akkor és csak akkor, ha a görbe az érintője alatt van.
Azokban az esetekben, amelyekben a gyakorlatban találkozunk, a görbe felváltva homorú vagy domború, különböző intervallumokban, amelyeket inflexiós pontok választanak el egymástól (amelyeknél az érintő keresztezi a görbét).
A paraméterezett ívekre kiterjeszthetjük, ha megkeressük az inflexiós pontokat és azt az irányt, amelybe a görbe konkávia elfordul. Ennek egyik eszköze a görbület előjelének kiszámítása .
Például meghatározzuk a zárt konvex görbe fogalmát , vagyis azt, amely mindig az érintőinek egyik oldalán helyezkedik el. Egy ilyen görbe esetében a görbület nem változik előjelben.
A teljes tanulmányt egy ív f síkban a közelben egyik pont egy magában foglalja a vizsgálat származékok f ezen a ponton. Feltételezzük, hogy az első nem nulla származék a p sorrendű, és hogy az első, amely nem kollineáris, a q sorrendű . Ezután van egy mérföldkőnek számító bölcs a vizsgálat elvégzésére .
Ebben a keretben az ív formáját ölti ( X ( t ), Y ( t )). Ezután elvégezzük az X és Y függvények korlátozott bővítését :
Ismert tényeket találunk, amikor t 0 vagy x felé hajlik : X és Y 0 (a görbe folytonossága) felé hajlik , az Y / X meredekség pedig 0 felé (az érintőt az első bázisvektor adja ). De ezen kívül van a jele, X és Y a t elég kicsi. X jele megmondja, hogy előre vagy hátra vagyunk-e (a jelentés értelméhez képest ). Y jele megmondja, hogy az érintő felett vagy alatt vagyunk-e.
Vagy M egy pont az S felületen . Tekintsük a készlet minden az ábrázolt görbék S átmenő és M , és amelynek tangensét M . Ha az összes így kapott érintő egyesülése síkot képez, akkor a felületet érintő síknak nevezzük .
Ugyanígy járunk el az E nagyobb dimenziójú ívelt résztereknél is : az alcsatornáknál .
A rajzolás és az animáció során a művészek arra törekednek, hogy elkerüljék a két görbe közötti érintést. Valójában a tangencia megkockáztatja a perspektíva hatásának megtörését, mivel egyrészt nem tudjuk, melyik felület áll a másik előtt; másrészt a két görbét érintő egyenesek keresztet képeznek, amely vonzza a szemet és megakadályozza annak keringését a rajzban.