Érintő (trigonometria)

A tangens egy alapvető trigonometrikus függvény . Megjegyezzük, hogy barnás, és korábban tg .

Definíciók

Egy jobb hajlított háromszög ABC át C , a tangense szög Â közötti arány a szemközti oldalon egy , és az oldalsó szomszédos A :

{\ displaystyle \ tan {\ hat {A}} = {\ frac {BC} {AC}}}

Emlékeztetőül gyakran használjuk a „TOA” mnemonikus rövidítést :

{\ displaystyle \ mathrm {tangent} = {\ frac {\ mathrm {ellentétes {\ akut {e}}}} {\ mathrm {szomszédos}}}}

A trigonometrikus kör tekintetében :

A tangense szöget θ a hossza a szegmens az érintő a trigonometrikus kör, amely elfogja az x-tengelyen.

Összehasonlítva más trigonometrikus függvényekkel: az érintő függvény a szinuszfüggvény és a koszinuszfunkció aránya :

{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}}.}

Ne feledje, hogy ez a függvény nincs meghatározva azoknál az értékeknél, ahol a szög koszinusa eltűnik, ami megfelel azoknak a határeseteknek, amikor az érintő párhuzamos az elfogó vonallal.

Alkalmazások

Egy derékszögű háromszögben az érintő függvény lehetővé teszi a derékszög egyik oldalának hosszának meghatározását egy szög ismeretében és a másik oldal egyikének hosszát. Ezt használják az optikai hosszmérésre. Például parallaxis távolságmérővel a megfigyelt tárgy D távolságát a két megfigyelő szemüveg között elválasztó L távolságból és a megfigyelési szögből θ határozzák meg, amelyet úgy határoznak meg, hogy a két kép egybeesik.

{\ displaystyle D = L \ cdot \ tan \ theta}

Az érintő egy szög mértékének kifejezési módja is: ha egy lejtést százalékban (%) fejezünk ki, akkor az a legnagyobb lejtésű szög érintőjének felel meg a vízszinteshez viszonyítva, százszorosra szorozva.

Érintő funkció

Tulajdonságok

Az érintő függvény egy valós függvény, amely:

periodikus , π periódussal: $tan (θ + k \cdot π) = tan θ$ bármely k egész számra ;
páratlan : $tan (-θ) = - tan θ$ ;
0-nál eltűnik, ezért a π összes egész sokszorosa esetén: $tan ( k π) = 0$ bármely k egész számra ;
függőleges aszimptotákat mutat $θ = k π + π / 2$ értékekkel bármely k egész számra: ${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to (\ pi / 2) ^ {-}} \ tan \ theta = + \ infty}$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to (\ pi / 2) ^ {+}} \ tan \ theta = - \ infty}$
származéka: ${\ displaystyle \ tan '\ theta = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} \ theta}} = 1+ \ tan ^ {2} \ theta}$
Ha a angle szöget radiánban fejezzük ki , akkor alacsony values értékek esetén: tan θ ≃ θ (lásd alább a Korlátozott bővítés szakaszt ).

Euler képletének alkalmazásával :

{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {i \ theta} - \ mathrm {e} ^ {- i \ theta}} {i (\ mathrm {e} ^ {i \ theta } + \ mathrm {e} ^ {- i \ theta})}}}

A reciprok függvény az arkusz tangens függvény , jelöljük arctan ; néhány számológép megjegyzi, hogy "atan".

Az érintő függvény inverze a kotangens függvény , amelyet cot (néha cotan vagy cotg) jelölnek:

{\ displaystyle \ kezelőnév {cot} \ theta = {\ frac {1} {\ tan \ theta}} = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}}}

Korlátozott fejlődés

Az érintő függvény korlátozott fejlődése nullánál:

{\ displaystyle \ tan x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} + {\ frac {17x ^ {7}} { 315}} + \ ldots + {\ frac {(-1) ^ {n} \ cdot 2 ^ {2n} \ cdot (1-2 ^ {2n}) \ cdot B_ {2n}} {(2n)!} } \ cdot x ^ {2n-1} + o (x ^ {2n})}

ahol a B 2 n a Bernoulli-szám .

Numerikus számítás

Az érintő számítása sorozatonként történik , de a Taylor-sorozat által korlátozott, sokszorozást használó bővítés helyett a CORDIC algoritmust részesítjük előnyben .

Lásd is

Kotangens
Pitagorai trigonometrikus identitás
Hiperbolikus érintő
Helyettesítés Weierstrass (en) (a szinusz és a koszinusz függvények a félszög érintőjének racionális függvényei)
Bármely nem nulla racionális érintője irracionális.