Fejér tétele

A matematika , és pontosabban elemzés , Fejér tétele az egyik legfontosabb eredménye a Fourier-sor elmélet . Nagyon általános konvergencia tulajdonságokat ad a Fourier-sorozat számára, amikor a Cesàro-összegzési folyamatot alkalmazzák . Fejér Lipót matematikus mutatta be 1900-ban .

Államok

Fejér tétel : Legyen $az f$ egy lokálisan integrálható és $2π$ -periodic funkciót. Észrevettük

{\ displaystyle S_ {n} (f) (x): = \ sum _ {k = -n} ^ {n} c_ {k} (f) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} kx}}

a kifejezés a rend n annak Fourier-sor , a

{\ displaystyle c_ {k} (f): = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} kt} \, \ mathrm {d} t}

azután

{\ displaystyle \ sigma _ {N} (f) \ kettőspont x \ longmapsto {\ frac {1} {N + 1}} \ sum _ {n = 0} ^ {N} S_ {n} (f) (x )}

a Fourier-sorozat feltételeinek egymást követő Cesàro-eszköze. Ezután a következő állítások vannak:

Fejér tétele, egységes változat: Ha $f$ folytonos, akkor a függvénysor egyenletesen konvergál az $f$ függvénnyel , továbbá minden N esetén $\ sigma_N (f)$ ${\ displaystyle \ | \ sigma _ {N} (f) \ | _ {\ infty} \ leqslant \ | f \ | _ {\ infty}}$ ;
Fejér tétel, L p változat , Fejér-Lebesgue tételnek is hívják : ${\ displaystyle (1 \ leqslant p <+ \ infty)}$ Ha $f$ az L p térhez tartozik , akkor a függvények sora konvergál az norma függvényében az $f$ függvénnyel , ráadásul minden N esetén $\ sigma_N (f)$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {p}}$ ${\ displaystyle \ | \ sigma _ {N} (f) \ | _ {p} \ leqslant \ | f \ | _ {p}}$ .

Alkalmazások

Számos Fourier-sorozattal kapcsolatos eredmény érhető el Fejér tételének következményeiként. A következő állításokban az összes figyelembe vett funkció $2π-$ periodikus.

Injektív az az alkalmazás, amely Fourier-együtthatóit egy integrálható függvénnyel társítja.

Az injektivitást az

L 1

térben kell érteni , vagyis azt, hogy két azonos Fourier-együtthatójú funkció szinte mindenhol egyenlő. Két folyamatos függvény esetén még egyenlőek is.

Az egységes Fejér-tétel a trigonometrikus Weierstrass-tétel egyik lehetséges bizonyítéka : ha $f$ folytonos függvény, létezik egy trigonometrikus polinom szekvencia, amely egységesen konvergál $f$ felé . Hasonlóképpen, a Fejér-Lebesgue-tétel bizonyítja a trigonometrikus polinomok térének sűrűségét a különböző L p- terekben .
Ha $f$ folytonos, és ha Fourier-sora konvergál egy x ponthoz , akkor szükségszerűen konvergál $f ( x ) -hez$ .

Ezt össze kell hasonlítani a függvény Taylor-sorozatának viselkedésével , amely nagyon jól konvergálhat a függvény értékétől eltérő érték felé.

Fejér tételével igazolhatjuk a Jordan-Dirichlet-tétel egységes változatát : ha $f$ folytonos és korlátozott variációval rendelkezik , akkor a Fourier $f-$ sorozat egységesen konvergál $f-hez$ .

Megjegyzések és hivatkozások

Fejér Lipót, az „On integrálható és korlátos függvények”, CR Acad. Sci. Párizs , 1900. december 10, p. 984-987 , olvassa el online .
(de) Fejér Leopold, „Untersuchungen über Fouriersche Reihen”, Math. Annalen , vol. 58 , 1904 , p. 51-69 .