Froda tétele
A valódi elemzés , Froda féle tétel , fedezték fel 1929-ben a román matematikus Alexandru Froda de amelynek általánosabb változat találtak 1907-1910 by Grace Chisholm Young és William Henry Young , biztosítja, hogy a beállított pontok diszkontinuitás az első fajta a egy valódi funkciója valós változó (amelyeket egy intervallum ) a legfeljebb megszámlálható .
Az első fajta megszakítások
Egy pont x , ahol egy funkció f jelentése folytonos , a diszkontinuitás azt mondják, hogy az első fajta , ha f elismeri a véges határérték, a bal oldalon, és korlátozza a jobbra x . Feltételezzük továbbá, hogy e határok egyike (legalább) megkülönböztethető vagy a másik határértéktől, vagy az f (x) értéktől (amely nélkül nincs folytonosság). Minden általánosságban meg kell különböztetnünk az első fajta folytonosságok között két különböző típust, attól függően, hogy f (x) -e a két oldalirányú határ egyike-e vagy sem.
Ne feledje, hogy egy monoton függvény esetében csak ez a típusú folytonosság lehetséges (és e pontok halmaza legfeljebb tetszőleges megszámlálható halmaz lehet). Ugyanez vonatkozik általánosabban minden olyan funkcióra , amely egy Banach-térben értékekre van szabályozva .
Demonstráció
Legyen egy intervallumon belüli valós függvény, amelynek az első fajta megszakítási pontok halmazát jelöljük . Ha , akkor határozza meg a rezgés a f a par , amely jól definiált, mivel a bal és a jobb határait f létezik.
f:én⟼R{\ displaystyle f: I \ longmapsto \ mathbb {R}}
D{\ displaystyle D}
x∈D{\ displaystyle x \ D-ben}
x{\ displaystyle x}
ω(x)=|f(x+)-f(x-)|{\ displaystyle \ omega (x) = | f (x ^ {+}) - f (x ^ {-}) |}
x{\ displaystyle x}![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
Mindenért jegyezzük meg . Vegyünk egy nem nulla természetes számot , és mutassuk meg, hogy az diszkrét .
nem∈NEM∗{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} ^ {*}}
Dnem={x∈D,ω(x)>1nem}{\ displaystyle D_ {n} = \ bal \ {x \ D-ben, \ quad \ omega (x)> {\ frac {1} {n}} \ jobb \}}
nem{\ displaystyle n}
Dnem{\ displaystyle D_ {n}}![D_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe03857347bf517e7fbda4085b0dafd6018cf18)
- Bármelyiket . Hipotézis szerint f elfogadja a megfelelő határt . Így a jobb oldali szomszédságban az f értékeket vesz fel . Különösen az első típusú folytonosság bármely pontjának jobb oldali közelében fennálló rezgése nőtt ; ez azt mutatja, hogy nem találkozik a jobb oldali környéken .x∈Dnem{\ displaystyle x \ itt: D_ {n}}
x{\ displaystyle x}
x{\ displaystyle x}
[f(x+)-12nem,f(x+)+12nem]{\ displaystyle \ left [f (x ^ {+}) - {\ frac {1} {2n}}, \ quad f (x ^ {+}) + {\ frac {1} {2n}} \ right] }
x{\ displaystyle x}
1nem{\ displaystyle {\ frac {1} {n}}}
Dnem{\ displaystyle D_ {n}}
x{\ displaystyle x}
- Ugyanazzal az érveléssel a bal oldalon , arra következtetünk, hogy ez egy elszigetelt pont . Ez utóbbi tehát a diszkrét részhalmaza , ezért megszámolható.x{\ displaystyle x}
x{\ displaystyle x}
Dnem{\ displaystyle D_ {n}}
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}![\ mathbb {R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc)
Végül a legtöbb megszámlálható halmaz megszámlálható uniója; ezért legfeljebb megszámolható.
D=⋃nem∈NEM∗Dnem{\ displaystyle D = \ bigcup \ limit _ {n \ in \ mathbb {N} ^ {*}} D_ {n}}
D{\ displaystyle D}![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
Ez a bizonyíték azt mutatja, hogy az utasítás igaz marad egy olyan függvényre, amelynek értéke bármely metrikus térben található .
Általánosítás
Young korábbi verziója lényegesen erősebb, mint a Frodaé:
Kivéve a legtöbb megszámlálható valós számok halmaza x , a beállított értékek a tapadás a bal f pontban x egyenlő a jobb és f ( x ) tartozik hozzájuk.
Megjegyzések és hivatkozások
-
Alexandre Froda , A valós változók függvényeinek szomszédsági tulajdonságainak eloszlásáról: Első tézis , Párizs, Hermann ,1929( online olvasás ), P. 18 : „ A valódi változó egységes függvénye csak az első típusú megszakítások véges vagy megszámlálható halmazát jelenítheti meg. - Mi volt távol, amikor azt a tulajdonában olyan egységes funkció, hiszen kimutatható például, függetlenül, hogy „ A függvény korlátos variáció lehet, legfeljebb csak a megszámlálható végtelen folytonossági ”, és hogy " minden A korlátozott variációjú függvény folytonossági pontjai az első típusúak ", anélkül, hogy észrevennénk, hogy az első tulajdonság csak a második következménye. "
-
(in) Bernard R. Gelbaum és John MH Olmsted ellenpéldák az elemzésben , Dover,2003( 1 st szerk. 1964) ( olvasott sort ) , p. 28., 18. §.
-
(in) Brian S. Thomson, Judith B. Bruckner és Andrew M. Bruckner (in) , Elementary Real Analysis , vol. 1, www.classicalrealanalysis.com,2008, 2 nd ed. ( 1 st szerk. , 2001, Prentice Hall) ( olvas online ) , p. 229, 5.62. példa.
-
A Wikiverzió javított gyakorlata .
-
Gustave Choquet , elemző tanfolyam, II . Kötet: Topológia , prop. Fejezetének 13,2. V, p. 147. (vagy az angol fordítás II . Fejezete , 151. o. ).
-
(in) Andrew M. Bruckner (in) és Brian S. Thomson, " GC WH Young and Young valós változó hozzájárulása " , Expositiones Mathematicae , vol. 19, n o 4,2001, P. 337-358 ( online olvasás ) : 6. §, p. 344-346 .
-
(in) EF Collingwood (in) és AJ Lohwater (in) , A klaszterkészletek elmélete , UPC ,1966, 224 p. ( ISBN 978-0-521-60481-9 , online olvasás ) , p. 15.
-
(in) WH Young, " Egy vagy több valós változó függvényének folytonosságairól " , Proc. London Math. Soc. , 2 ND sorozat, vol. 8, n o 1,1910, P. 117–124 ( DOI 10.1112 / plms / s2–8.1.117 ). Lásd még (en) Henry Blumberg, „ A tétel a félig folytonos függvényekről ” , Bull. Keserű. Math. Soc. , vol. 24, n o 8,1918, P. 369-416 ( online olvasás ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">