Monsky tétele
A matematika , pontosabban a geometria , Monsky tétel kimondja, hogy nem lehet particionálni a tér egy páratlan számú háromszögek ugyanazon a területen . Más szavakkal, egy négyzet nem ismeri el a páratlan egyenlőségmetszést .
A kérdést Fred Richman tette fel az American Mathematical Monthly 1965-ben, az eredményeket pedig Paul Monsky (in) bizonyította 1970-ben.
Demonstráció
Monsky bizonyítása ötvözi az algebra és a kombinatorikus elemzés technikáit ; itt vázlatosan:
- Az általánosság elvesztése nélkül a (0,0), (0,1), (1,0) és (1,1) csúcsok egységnégyzetét vesszük figyelembe; egy azonos terület n háromszögben történő boncolásakor minden háromszög 1 / n területû .
- A négyzet minden pontjának koordinátáinak 2-adikus értékelését használjuk arra, hogy ezt a pontot egy színnel három különböző szín közül kiszínezzük.
- Megmutatjuk, hogy egy vonal csak két különböző színű pontokat tartalmaz.
- A Sperner lemma azt mutatja, hogy egy négyzet háromszög háromszögének, amelynek közös oldalai vannak, legalább olyan háromszöget kell tartalmaznia, amelynek három csúcsa különálló színnel rendelkezik.
- A vonalak színező tulajdonságával arra következtetünk, hogy bármely háromszögelésben van ilyen háromszínű háromszög, még akkor is, ha a háromszögek nem éltől szélig terjednek.
- Egy algebrai számítás azt mutatja, hogy a háromszínű háromszög területének 2-adikus értékelése nagyobb, mint 1, ezért minden boncolásnak legalább egy> 1 értékű háromszöget kell tartalmaznia.
- Az 1 / n 2 adikus értékelése 1, ha n páratlan, ami kiegészíti a bizonyítást.
Általánosítások
A tétel bármely dimenzióban általánosítható (a bizonyítás nagy módosítása nélkül): a d dimenziójú hiperkocka csak akkor osztható fel n azonos azonos térfogatú szimplexre , ha n többszöröse .
Megjegyzések és hivatkozások
(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia " Monsky-tétel " című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .- (in) Martin Aigner és Günter M. Ziegler , igazolásokat a The Book , Berlin, Springer-Verlag ,2010, 4 th ed. , 131-138 p. ( DOI 10.1007 / 978-3-642-00856-6_20 ) , "Egy négyzet és páratlan számú háromszög".
- (in) Paul Monsky, " Mi elosztjuk egy négyzet háromszögekre " , Amer. Math. Havi , vol. 77,1970, P. 161–164 ( JSTOR 2317329 , online olvasás )
- (in) A demonstráció részletes elemzése , Moor Xu.
- A valóságban ezt az értékelést általában csak az ésszerűség alapján határozzák meg , és ki kell terjeszteni a valósakra is, hogy meg lehessen állapítani a bizonyítást; bár egy ilyen folytatás felépítése az egész R felett megköveteli a választott axiómát , Monsky ennek az értékelésnek az alkalmazása nem igényli ezt az axiómát.
- (hu) Négyzet felosztása háromszögekké , ahol a festés egyik példája található.