Zermelo halmazelmélet

A Zermelo halmazelméletét Ernst Zermelo 1908-ban vezette be a modern halmazok elméletének axiomatizálásának egyik alapító cikkében , de annak modern bemutatásában is, ahol az axiómák szerepelnek az elsőrendű logika nyelvében , és ahol az axióma végtelenbe úgy módosítjuk, hogy lehetővé tegye a építése a Neumann természetes egész számok .

A halmazelmélet axiómái, Zermelo cikkében

Ez a szakasz bemutatja Zermelo 1908-ban megjelent cikkének eredeti axiómáit, számozva ebben a cikkben.

Zermelo féle axiómák kifejezhető egy domaint ? (németül: Bereich  ), amely a gyűjtemény a „dolgok” nevezett tárgyak  ; Ezen objektumok egy részét, de nem feltétlenül mindegyiket halmaznak nevezzük   (a halmazelmélet későbbi verziói leggyakrabban azt feltételezik, hogy minden objektum halmaz). Zermelo tagsági viszonyt vezet be , amelyet epsilon betűvel jelöl: a ε b  ; ez a reláció így hangzik: a a b eleme , vagy b elemként elemet tartalmaz  ; Zermelo az a = b értéket írja annak jelzésére, hogy a és b a domain azonos tárgyát jelöli . Egyetlen kivétellel (az üres halmaz a Axiom II alább), egy tárgy b a domén ? hívják össze , amikor, és csak akkor, amikor legalább egy tárgyat egy elemként, azaz amikor létezik egy tárgy egy a domain olyan, hogy a ε b . Egy sor M nevezzük részhalmaza egy sor N , amikor minden eleme M is eleme az N .

Itt van a hét axióma felsorolása, amelyeknek a ? tartománynak meg kell felelnie. A lehető legnagyobb mértékben tiszteletben tartották Zermelo 1908-as cikkének jelöléseit.

Az axiómák között Zermelo levonja az első következményeket: létezik egy „kisebb” Z 0 halmaz, amely kielégíti a végtelen VII axiómájában meghatározott tulajdonságokat, abban az értelemben, hogy Z 0 bármely olyan Z halmaz részhalmaza, amely kielégíti a VII axiómát  ; ez a Z 0 halmaz a természetes számok halmazának szerepét fogja játszani  ; ebben a nézőpontban a 0 egész szám az üres 0 halmaz , az 1 egész a szingulett {0} , és általánosabban az n halmaz által képviselt egész utódja az { n } szingulett halmaz ; például a 3 egész számot a {{{0}}} halmaz képviseli, az a halmaz, amelynek egyetlen eleme a {2} egész számot képviselő {{0}} halmaz .

Az axiómák másik közvetlen következménye: ha M és  N két halmaz, akkor a páros { M ,  N } halmazra alkalmazott unió axióma e két halmaz szokásos M  ∪  N egyesülését eredményezi . Az újabb munkák , mi előnyös, hogy meghatározza az utódja a egész szám n (ami már egy sor), hogy az Unió n  ∪ { n } a készlet N , és a Singleton { n }; ezután a végtelen axiómája ennek megfelelően módosul .

Az elválasztás axiómája

Cikkének bevezetőjében Zermelo azt írja, hogy a halmazelmélet diszciplínájának létét „úgy tűnik, hogy bizonyos ellentmondások vagy antinómiák fenyegetik , amelyek levezethetők annak elveiből - olyan elvekből, amelyek szükségszerűen irányítják a cselekvés módját.” úgy tűnik - és amire még nem sikerült teljesen kielégítő megoldást találni ” . Zermelo természetesen Russell paradoxonára hivatkozik . Már nem ragaszkodhatunk Cantor eredeti meghatározásához .

Zermelo azt akarja bemutatni, hogyan lehet Georg Cantor és Richard Dedekind eredeti elméletét néhány definícióra és a hét alapelvre vagy axiómára redukálni. Rámutat, hogy nem tudta bizonyítani, hogy az axiómák összhangban vannak egymással, vagyis nem vezetnek 0 = 1 típusú ellentmondáshoz, d '-ben más értelemben, mint az axiómák rendszere nem ellentmondásos . Zermelo elmagyarázza, hogy rendszerének III. Axióma lehetővé teszi az antinómiák kiküszöbölését:

„Ezen axióma segítségével soha nem lesznek halmazaink, amelyeket önállóan definiálunk , hanem éppen ellenkezőleg, azokat  a már felépített halmazokba rendezett elemekből [ ausgesondert : rendezve, elválasztva] alkotott részhalmazokként kapjuk meg . Ily módon kiküszöbölik azokat az ellentmondásos elképzeléseket, mint az összes halmaz halmaza vagy az összes sorszám halmaza . "

Zermelo megszabadul Russell paradoxonjától a következő tétel révén: „Minden halmaznak van legalább egy részhalmaza, amely nem eleme  ” .

A jelenlegi jelölésnél legyen olyan részhalmaz, amelynek tulajdonságai "elválasztják" (azaz a III. Axióma részhalmazaként definiálják ). A szett nem lehet eleme , különben lenne elemet tartalmaznak , mint például , nevezetesen önmagában, ami abszurd szerinti meghatározása , amely magában foglalja, hogy egyik eleme van az ingatlan.

Ekkor látjuk, hogy ennek nem lehet eleme   : különben, mivel ezt láttuk , a halmaz olyan eleme lenne , amely teljesíti a feltételt , ezért ellentmondásunk lenne.

Ezért nem lehet eleme annak  , amely a tételt bizonyítja.

Ebből következik, hogy a B univerzális tartomány összes objektuma nem lehet egy és ugyanazon halmaz eleme  : maga a B tartomány nem halmaz. A B tartomány egy másik matematikai természet, amely az osztály fogalmára utal .

Cantor tétele

Zermelo cikke Cantor tétel ( Satz von Cantor ) néven mutatja be az utóbbi eredményét, amelyről talán ez az első említés ezen a néven. Zermelo definiálja „  M jelentése a gyengébb számosságú , mint N  ”, a szigorúan gyengébb értelemben, jelöljük M  <  N , azaz: a beállított M jelentése ekvipotenciális ( egyenértékű ) egy részhalmaza N , de N nem egy részhalmaza a M  ; ez lényegében a meghatározása szigorú subpotence (van egy injekció M be N , de nincs injekció N be M ). Jelölje itt P ( M ) , mint mi manapság, a készlet részei a beállított M , készletben axióma IV.

„  Cantor tétele  : Ha M bármilyen halmaz, akkor mindig M  <P ( M ) van. Bármely halmaz alacsonyabb kardinalitású, mint részhalmazainak halmaza ” .

Zermelo először észreveszi, hogy M egyenértékű az elemein képződő szingulettek halmazával. Aztán kiderül, hogy a P ( M ) nem lehet azonos hatékonyságú egy részhalmaza M 0 az M (azaz, hogy nincs injekció P ( M ) a M ). Zermelo mutatja ezt közvetlenül, de az is a következménye, hogy nincs surjection P ( M ) a M (lásd Cantor-tétel ). A tüntetés lényegében ugyanaz.

Az axiomatikus halmazelmélet alakulása

Zermelo 1908-as szövege nem javasolja a a tartomány halmazát , objektumát , amely lefordítja az ( a ,  b ) rendezett pár fogalmát . A rendezett pár (vagy pár ) használható az f függvény ábrázolására a grafikonján keresztül , amely az ( a ,  f ( a ) alakú rendezett párokból áll . A rendezett pár jelenik meg , mint egy sor a Hausdorff 1914-ben, amely lehetővé teszi, hogy tartalmazza a fogalom funkciója, hogy a beállított, asszimiláció révén funkció és a funkció grafikon .

1922-ben Abraham Fraenkel megerősíti, hogy Zermelo elmélete hiányosságokat mutat be, hogy nem teszi lehetővé számunkra, hogy meghatározzunk bizonyos halmazokat, amelyek létezése természetes lenne. Azt javasolja egy új axiómát, a helyettesítő axióma ( Ersetzungsaxiom ), amelynek szellemében a következő: ha a levelezés F jól definiált a tartomány ? és társai minden objektum a domain egy másik egyedileg meghatározott tárgyat, majd minden sor egy létezik új b , amelynek elemei nap éppen a képek d  = F ( c ) az elemek c az  egy a levelezés F. Ugyanebben az évben Thoralf Skolem jut hasonló következtetésre jutottak; ráadásul Skolem cikkében világosan meghatározza a jól definiált tétel fogalmát, amely még mindig homályos volt Zermelóban, a "szétválasztás" III. axióma kijelentésében.

1923-ban von Neumann új tervezetet javasol a Cantor sorszámához , ez utóbbi a jól rendezett halmazok sorrendtípusának absztrakciójából származik . Von Neumann az ordinálisokat a halmazelmélet axiómáinak köszönhetően bevezetett specifikus halmazoknak tekinti. Úgy kezdődik a üres halmaz 0 , akkor a Singleton {0} sorrendi 1 , majd a pár {0, {0}} 2  : így ordinal 2 tartalmaz 0 és 1, mint az elemek; minden n sorszám (ami halmaz) után következik az utódja, amelyet az n  ∪ { n } uniónak nevezünk . Anélkül, hogy tovább mennénk a leírásban, hozzátehetjük, hogy az ω sorszám a legkisebb sorszám, amely az összes véges ordinált tartalmazza, ez az első végtelen sorszám, amelyet ω + 1 = ω  ∪ { ω } követ , stb ... Von Neumann ezt követően a helyettesítő axióma felhasználásával kifejlesztette a halmazok rendes indukcióval történő meghatározásának hatékony módszerét , amely módszer még mindig jó helyet foglal el a jelenlegi halmazelméleti könyvekben.

1930-ban Zermelo új axiómarendszert javasolt, amelyet ZF saját magára és Fraenkelre hivatkozva kijelölt. Ez a rendszer tartalmazza a pótló axiómát és az alap axiómát . A Skolemmel ellentétben azonban Zermelo nem korlátozódik az elsőrendű logika kereteire. Akárcsak 1908-ban, Zermelo megengedi az Urelements , a tartomány objektumainak létezését, amelyek nem halmazok és nem tartalmaznak elemeket; ezeket az objektumokat általában elhagyják a halmazelméletekből.

A GB (vagy BG) axiómák rendszere Gödel és Bernays esetében 1940 előtt jelent meg, a ZF kiterjesztése. A GB nyelve halmazváltozókat és osztályváltozókat tartalmaz (gondolhatjuk, hogy az osztályváltozók bizonyos halmazcsaládokat képviselnek); azonban a csak halmazokra vonatkozó állítások, amelyek GB-ban bizonyíthatók, a ZF-ben is kimutathatók.

1966-ban Paul Cohen könyve, amelyet a kontinuum hipotézis függetlenségének igazolására szentelt, bemutatja a ZF elméletét, ahogyan ma történik.

Zermelo halmazelméletének modern bemutatása

Zermelo halmazelméletének modern változata a következő axiómákat tartalmazza:

A választott axióma nem tartozik ezek közé. Mivel azonban nagyon nehéz matematikát végezni minimális választási forma nélkül, gyakran hozzáadunk egy megszámlálható választási formát, a függő választás axiómáját .

A megértés axiómája ugyanúgy megállapítható, mint 1908-ban, de a benne lévő „propozíciós függvény” P ( x ) kialakulását a következőképpen határozzuk meg: P állítása x , y , ..., az x  ∈  y és x  =  y „atom” állításokból az „or”, „no” logikai összekötők, valamint a ∃ és ∀ kvantorok; ha egy domain tartomány (ma inkább azt mondjuk, hogy egy univerzum ) az axiómák rendszerének modellje , akkor az állítás x , y , ... változóit az axiómák alkalmazásában csak az a , b , ... elemek cserélik ki . (a tartomány egyes részeit leszámítva ). A "tulajdonság" P ( x ) jelenléte , amely végtelen számú formát ölthet, azt jelenti, hogy a megértés axiómája nem szigorúan egyetlen axióma, hanem az axiómák sémája .

A ma legelterjedtebb és elfogadott halmazelmélet ZF néven ismert, ez a Zermelo - Fraenkel halmazelmélet  ; leggyakrabban a választott axiómát adják hozzá, hogy megkapják a ZF + AC vagy ZFC jelölésű rendszert. A ZF elméletben már nincs szükségünk axiómára az elemi halmazok létezéséhez , amely a többi axiómából következik, és Zermelo végtelen axiómája (VII. Axióma) a következőképpen módosul: létezik egy Z halmaz, amely 0-t tartalmaz, és amely minden egyes eleme  egy is tartalmaz a készlet egy  ∪ { a }. A ZF rendes szabályai a von Neumann rendek; a végtelenség axiómáját a következő formában állapíthatjuk meg: létezik egy befejezetlen sorszám .

A Zermelo - Fraenkel rendszer lényeges újdonsága a Zermelo rendszerhez képest a helyettesítő axióma (a valóságban egy axióma séma ) bevezetésében rejlik , amely erősebb, mint a Zermelo elválasztási axióma (III. Axióma, amely ezért elhagyva a ZF-ben). A helyettesítő axióma kisebb következménye, hogy léteznek Zermelo „elemi halmazai”, de mindenekelőtt lehetővé teszi az ordinálisok és definíciók elméletének fejlesztését az ordinálisok gyűjtésével történő indukció útján. A szabályosság axiómáját (vagy az alapozás axiómáját ) és a pótlás axiómáját Thoralf Skolem és Abraham Fraenkel 1922-es munkája után vezették be. Az alapozás axiómája különösen azt jelenti, hogy soha nincs x ∈ x . A választott axiómához hasonlóan az alapító axióma általában nem szerepel a ZF-ben, a ZF + AF-ről akkor beszélünk, amikor beletesszük.

A modern Z vagy ZF rendszerekben az elválasztási axiómában kijelölt propozíciós függvényt úgy értelmezik, mint "bármely tulajdonság, amelyet elsőrendű képlet határozhat meg paraméterekkel" . Az "elsőrendű képlet" fogalma 1908-ban nem volt ismert, amikor Zermelo közzétette axiómarendszerét, és ezt az értelmezést késõbb elutasította, mint túlságosan korlátozó értelmezést. Zermelo halmazelméletét általában elsőrendű elméletnek tekinthetjük, másodlagos logikai elméletnek is tekinthetjük , ahol az elválasztás axióma egyetlen axióma. Zermelo a halmazelmélet másodrendű értelmezése valószínűleg közelebb áll Zermelo saját felfogásához, és erősebb, mint az elsőrendű értelmezés.

A ZFC halmazelmélet szokásos kumulatív V α hierarchiájában (ahol az α a ordinálisok osztályában változik) az α végrendszer bármelyik V α halmaza, amely nagyobb, mint az első végtelen ω (például V ω 2 ), Zermelo halmazelméletének modelljét alkotja. . Tehát Zermelo halmazelméletének konzisztenciája a ZFC halmazelmélet tétele. Axiómák Zermelo nem feltételez a bíboros ℵ ω vagy nagyobb végtelen bíboros mert a modell V ω · 2 nem tartalmaz ilyen bíboros (Cardinals kell mást jelent halmazelmélet Zermelo, mert a szokásos definíciója bíboros és ordinals nem működik nagyon jól: a szokásos meghatározással még az ω · 2) sorszám létezését sem lehet igazolni.

Mac Lane halmazelmélet

Mac Lane halmazelmélete, amelyet Mac Lane 1986 mutat be , Zermelo halmazelmélete, az elválasztási axióma első rendű képletekre korlátozódik, amelyekben az egyes kvantorok be vannak kötve. Mac Lane halmazelmélete erősségében hasonló a természetes szám objektumú topos elmélethez vagy a Principia mathematica rendszerhez . Elég gazdag ahhoz, hogy szinte minden hétköznapi matematika igényeit kielégítse, olyanokat, amelyek nem kapcsolódnak közvetlenül a halmazelmélethez vagy a logikához.

Zermelo axiómáinak viszonylagos konzisztenciája

Zermelo és Fraenkel feltették maguknak a saját axiómarendszerük ellentmondásának kérdését. Gödel második befejezetlenségi tétele 1931-ben rávilágít erre a kérdésre: lehetetlen bizonyítani Zermelo axiómarendszerének ellentmondásosságát, csak Zermelo axiómáit felhasználva, és ugyanezt a ZF rendszer esetében is; megmarad a relatív koherencia bizonyításának lehetősége  : a ZFC (erősebb) axiómáiból kiindulva bizonyítsuk a Zermelo axiómáinak ellentmondásosságát.

A Zermelo - Fraenkel halmazelmélet keretein belül érvényes érv a következőképpen zajlik. A 0, 1, 2,…, ω, ω + 1, ω + 2,…, ω · 2 ordinálisok között változó V α halmazt az alábbiak szerint definiáljuk :

Ekkor Zermelo halmazelméletének axiómái igazak a V ω · 2 modellben  . Míg egy nem konstruktivista ezt érvényes érvnek veheti, a konstruktivista valószínűleg nem: bár nincs probléma a V ω- ig tartó épületek felépítésével, a V ω +1 felépítése kevésbé nyilvánvaló, mert nem tudjuk konstruktívan definiálni mindegyiket V ω részhalmaza .

Megjegyzések és hivatkozások

  1. Zermelo 1908 , angol nyelvre fordítva: Van Heijenoort 1967 , p.  199–215.
  2. Zermelo "tárgyak" ( Objekte ) gyűjteményéről beszél, amelyeket "dolgoknak" ( Dinge ) nevez , de a "választott" szó ismétlése ebben a bekezdésben nem nagyon jött volna franciául; itt kerülték az "elem" szót, amely azonnal pontos jelentést kap.
  3. a Zermelo 1908 cikkben a lista nem úgy jelenik meg, mint itt: megjegyzések és következmények tarkítják; az axiómák bemutatása a 263. oldalról a 267. oldalra terjed ki.
  4. manapság a szimbólum ∅ általánosan elfogadott az üres halmazra.
  5. Zermelo 1908 , p.  264.
  6. Ez a 10. pont. De Zermelo 1908 , p.  264.
  7. (től) Georg Cantor , „  Über eine elementare Frage der Mannigfaltigskeitslehre  ” , Jahresber. der DMV , vol.  1,1891( online olvasás ), reprodukálva: Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts , szerkesztette: E. Zermelo, 1932.
  8. M ist von kleinerer Mächtigkeit als N , ahol Mächtigkeit szó szerint a hatalmat jelenti.
  9. Zermelo 1908 , p.  275–276, 31. meghatározás.
  10. Ez a 32. pont. A Zermelo 1908 cikk 276. oldala .
  11. Kanamori 2009 , sec. 2.4, Hausdorff és függvények  ; Felix Hausdorff , Grundzüge der Mengenlehre , Lipcse, de Gruyter,1914, újranyomás a New York-i Chelsea-ben, 1965.
  12. (De) Abraham Fraenkel , "  Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre  " , Mathematische Annalen , vol.  86,1922, P.  230-237.
  13. van Heijenoort 1967 , p.  290–301, különös tekintettel a 4. o.  296 és 297 .
  14. van Heijenoort 1967 , p.  292–293, a cikk 2. pontja.
  15. (De) John von Neumann , "  Zur Einführung der transfiniten Zahlen  " , Acta Litterarum ac Scientiarum Regiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, sectio scientiarum mathematicarum , vol.  1,1923 újranyomtatva 1961, John von Neumann , John von Neumann 24–33. oldala , Collected Works , vol.  1, New York, Pergamon Press,1961. Jean van Heijenoort 1967 , p.  A 346–354 von Neumann cikkének elemzésével kezdődik, mielőtt angol fordítást javasolna.
  16. pl. Krivine 1998 , fejezet. 2 p.  24. , Definíciók a szokásos indukcióval .
  17. (de) Ernst Zermelo , „  Über Grenzzahlen und Mengenbereiche, Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre  ” , Fundamenta Math. , vol.  16,1930, P.  29-47.
  18. Lásd Kanamori 2009 , sec. 3.2 megalapozottságát, valamint a kumulatív hierarchia , valamint a hosszú elemzése Zermelo a cikket a Akihiro Kanamori , „  Zermelo és Set Theory  ” , The Bulletin szimbolikus logika , vol.  10,2004, P.  487-553, 6. bek. o.  519 .
  19. Moschovakis 2006 , 3,25 azonban azt állítja, hogy kész beismerni őket; atomoknak hívják őket .
  20. lásd például Cohen 1966 , fejezet. II. 6; lásd még az NBG rendszerről szóló cikket .
  21. Kanamori 2009 , sec. 3.6.
  22. is használják Kurt Gödel , az összhang a Axiom of Choice és az Általános kontinuum hipotézist a Axiómái Set Theory , Princeton University Press, coll.  "Annals of Mathematics Studies" ( n o  3),1940.
  23. , mint például a teljes univerzum (ez a domén ? a Zermelo 1908 , a gyűjtemény összes készletek x ), vagy a gyűjtemény az összes rendezett párokat ( x ,  y ), melyek a készletek x és y olyan hogy x  ∈  y .
  24. Cohen 1966 , p.  77.
  25. Cohen 1966 .
  26. Cori és Lascar 2003 , p.  114; Moschovakis 2006 , fej . 3. o.  A 24. ábra ugyanazt a hat axiómát mutatja be, de más sorrendben.
  27. Moschovakis 2006 , fej . A 3.17. Pontban a Zermelo által 1908-ban a végtelen axiómájára megadott formához ragaszkodunk; ehhez az axiómához Krivine 1998 , fej. 4. o. 56, Z és ZF elméletek vagy Cori és Lascar 2003 , p.  A 135 nem tesz különbséget Z és ZF között.
  28. Moschovakis 2006 , p.  114., 8.13. Szakasz
  29. Krivine 1998 , fejezet. 1 perc. 3. o. 11.
  30. Krivine 1998 , a pár axióma p.  8. , majd Th. 1.4. a pár üres halmazára és létezésére p.  15 .
  31. Krivine 1998 , "A rendek gyűjtése" fejezet. 2 p.  20. és Végtelen axióma, fej. 2 mp 5. o.  35, majd ennek az axiómának az ekvivalens megfogalmazása a  p.  36 .
  32. pl. Krivine 1998 , p.  56, Z és ZF elméletek összehasonlítása .

Lásd is

Bibliográfia

Kapcsolódó cikk

Külső linkek