Hilbert harmadik problémája

A harmadik probléma Hilbert a Hilbert 23 probléma egyike . A legegyszerűbbnek tekinthető, a poliéder geometriájával foglalkozik .

Két azonos térfogatú poliédert el lehet-e osztani az első poliéderből véges számú poliéderré, és összerakni őket a második poliéder létrehozására?

David Hilbert sejtette, hogy ez nem mindig igaz. Ebben az évben tanítványa, Max Dehn megerősítette az ellenpéldát.

A sokszögekre vonatkozó hasonló problémára a válasz igen. Az eredmény Wallace-Bolyai-Gerwien tétel néven ismert .

Dehn válasz

Dehn algebra segítségével tagadja a szeletelés lehetőségét. Amikor az első poliéder hatékonyan felosztható egy véges számú poliéderre, amely összeáll a második képződésével, akkor azt mondják, hogy a poliéderek egybevágóak.

Minden poliéder P , amit társítani egy értéket D ( P ), az úgynevezett „ Dehn invariáns ”, oly módon, hogyD additív: ha P el van osztva metszettel egyetlen síkkal két P 1 és P 2 poliéderben , D ( P ) = D ( P 1 ) + D ( P 2 ).

Ebből kifolyólag :

ha két P és Q polihedra egybeesik, akkor ugyanaz a Dehn-invariánsuk.

A kockának azonban nulla Dehn-invariánsa van, míg a szabályos tetraédernek nulla-nélküli Dehn-invariánsa van. Ez a két poliéder tehát nem egyezik.

Az invariáns meghatározása a hosszúságokon és a kétoldalas szögeken történik. Figyeljük meg:

egy síkban levágva bizonyos élek hossza ketté oszlik . Az invariánsnak ezért additívnek kell lennie ezekben a hosszúságokban;
hasonlóan, ha egy poliédert egy él mentén osztanak fel, akkor a megfelelő kétoldalas szöget kettévágják. Az invariánsnak tehát additívnak kell lennie ezekben a szögekben;
végül a vágás új éleket tár fel; ezért új hosszúságok és új kétoldalas szögek. Ezeknek a hozzájárulásoknak törölniük kell egymást.

A Dehn invariáns meghatározása szerint olyan eleme a tenzor termék több mint két -modules : az adalékanyag-csoport a valós számok és a hányados . $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} / \ pi \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle \ kezelőnév {D} (P) = \ sum _ {e} l (e) \ otimes (\ theta (e) + \ mathbb {Z} \ pi)}$ ahol a szegély hossza , a diéderes közötti szög arcok szomszédos , és az összeget átveszi minden szélén a polihedron. $a)$ $e$ $\ theta (e)$ $e$ $e$

A Hilbert-problémán túl

Jean-Pierre Sydler (en) 1965-ben bebizonyította, hogy két poliéder egybeesik, ha (és csak akkor) , ha azonos térfogatúak, sőt Dehn-változatlanok is.

1990-ben Dupont és Sah egyszerűsített bizonyítékot szolgáltattak rájuk azzal, hogy újraértelmezték azt egyes klasszikus csoportok homológiájára vonatkozó tételként .

Motivációk

A piramis térfogatának képletét Euklidész ismerte ( az elemek XII . Könyvének 7. javaslata ): az alap 1/3 × területe × magasság. De a háromszögek vagy paralelogrammák területétől eltérően, amelyet egyszerű vágással lehet összehasonlítani a téglalap területével, a piramis térfogatának bemutatása a kimerülés összetett módszerét , az integrálszámítás ősét és az „ axiómát ” hívja meg Archimedes . Gauss ezt sajnálta Christian Gerlinghez intézett egyik levelében .

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „ Hilbert harmadik problémája ” ( lásd a szerzők listáját ) .

(a) Johan L. Dupont és Sah Chih-Han, " homológia csoportok euklideszi mozgások tett diszkrét és olló euklideszi kongruencia " , Acta Math. , vol. 164, nos . 1-2,1990, P. 1-27.

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Bibliográfia

Martin Aigner és Günter M. Ziegler , Isteni érvelés ,2003( online olvasható ) , p. 47-54
(en) David Benko, „ Új megközelítés Hilbert harmadik problémájához ” , Amer. Math. Havi , vol. 114, N o 8,2007, P. 665-676 ( online olvasás )
(in) Hallard T. Croft, Kenneth Falconer (in) és Richard K. Guy , Megoldatlan problémák a geometriában , Springer ,1991( online olvasható ) , p. 104-105

Külső linkek

en) „Dehn invariáns” , Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , online olvasás )
" Két (két?) Perc a III . Hilbert-problémához " a Cabbage romanesco nevető tehén és a vonalas integrál esetében ,2015. szeptember 5