Contravariant, kovariáns és covector vektor
A kontravariáns vektor egy vektor, a kovariáns vektor egy lineáris forma, más néven kovektor vagy akár kettős vektor . És ha van egy skaláris szorzatunk, akkor egy lineáris formát (= kovariáns vektor = egy koovektor) reprezentálhatunk egy vektorral Riesz ábrázolási tételének felhasználásával (ez az ábrázolás a skaláris szorzat megválasztásától függ).
Mindezek a fogalmak függetlenek egy bázis reprezentációjától: de attól a pillanattól kezdve, hogy bázist választunk , a vektorok és a lineáris alakok alkotórészeinek ábrázolása szabványos: a tetején index található. a komponens-vektorokhoz hasonló , és a lineáris alakok komponenseihez alacsony index, például hol van a kettős alap.
(e→én){\ displaystyle ({\ vec {e}} _ {i})}v→=∑énvéne→én{\ displaystyle {\ vec {v}} = \ sum _ {i} v ^ {i} {\ vec {e}} _ {i}}ℓ=∑énℓéneén{\ displaystyle \ ell = \ sum _ {i} \ ell _ {i} e ^ {i}}(eén){\ displaystyle (e ^ {i})}
Ez a szókincs régóta (és gyakran még mindig) összefüggésben van a komponensek viselkedésével az alapváltozás során, különös tekintettel a vektor komponenseire, amelyek fordítottan átalakulnak az alapvektorok transzformációihoz: amikor a olvassa el a mátrixot , akkor a komponensek transzformációja olvasható mátrix lesz , ezért a vektoroknak adott "kontravariant" elnevezés (transzformáció "ellentétes irányban "). És a lineáris formák alkotóelemei hasonlóan átalakulnak (átalakulás "irányban ").
[e→j,nemew]=P.[e→j,old]{\ displaystyle [{\ vec {e}} _ {j, új}] = P. [{\ vec {e}} _ {j, régi}]}[vnemewén]=P-1.[voldén]{\ displaystyle [v_ {new} ^ {i}] = P ^ {- 1}. [v_ {old} ^ {i}]}P{\ displaystyle P}(ℓ1,nemew...ℓnem,nemew)=(ℓ1,old...ℓnem,old).P{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ ell _ {1, new} & ... & \ ell _ {n, new} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ ell _ {1, régi } & ... & \ ell _ {n, régi} \ end {pmatrix}}. P}P{\ displaystyle P}
A kovariáns és kontravariantikus vektor megkülönböztetésének fontossága a tenzorok alapváltozásának vizsgálatában is megmutatkozik . Például egy egyszeri kovariáns és egyszeri kontravariáns tenzor (mint az endomorfizmusban) , míg a kétszer kovariáns tenzor (mint egy ponttermék) átalakul . A koordinátarendszer (nem orthonormális) változásának szokásos keretei között, például a derékszögű rendszerről a poláris rendszerre történő áttérés során ezek a képletek nem keverhetők össze.
[Lnemew]=P-1.[Lold].P{\ displaystyle [L_ {new}] = P ^ {- 1}. [L_ {old}]. P}[gnemew]=PT.[gold].P{\ displaystyle [g_ {new}] = P ^ {T}. [g_ {old}]. P}
Az ember gyakran összekeveri a tenzor és a tenzor vagy a mátrix számítását (a számítást a többvonalas formákkal), amelyek a fizikában elengedhetetlenek. A mátrixszámítás azonban az alap reprezentáció utáni számításokra összpontosít (ahol az ábrázolás indexekben és kitevõkben található), míg a tenzorok vagy a tenzorok mezõi (itt a vektorok mezõi és a lineáris formák) lehetõvé teszik az ábrázolást olyan tárgyak által, amelyek "felhasználótól" függetlenül léteznek (függetlenül az alap megválasztásától vagy a skaláris szorzattól). Ezek a tenzorok lehetővé teszik, hogy amikor egy tenzorszámítást végeznek, biztos lehet abban, hogy ez a számítás önmagában rejlik (a felhasználótól független numerikus eredmény). Ez a differenciálgeometria egyik alapvető hozzájárulása a fizikához.
Kontravariáns és kovariáns vektorok
Az contravariant vector és a kovariant vector kifejezéseket a tudományos eredettől függően felcserélhetőnek tűnik. Idézhetjük például a Spivak-t: A differenciális geometria átfogó bevezetése, 1. kötet, 3. kiadás, p. 113: "... A klasszikus terminológia ugyanazokat a szavakat használta, és véletlenül megfordította ezt ... És még senkinek sem volt olyan kedve vagy tekintélye, hogy megfordítsa a terminológiát, amelyet évek óta ennyire megszentelt a használat ...".
A differenciálgeometriai megközelítést alkalmazzuk, ahol egy lineáris alakot nevezünk kovariáns vektornak (vagy kovektornak vagy kettős vektornak). Miután felidézte a definíciókat, megadunk magunknak egy bázist, levezetjük belőle a kettős bázist, és meg fogjuk találni egy vektor és egy lineáris forma (kovariáns vektor) reprezentációját komponenseik segítségével.
Itt a véges dimenziós vektorterek érdekelnek. Jelöljük a dimenzió vektorterét .
E{\ displaystyle E}nem{\ displaystyle n}
Definíciók
A vektor például egy vektortér eleme , vagy az egyes affin függvények tere , vagy a véges energiafüggvények tere (integrálható négyzetfüggvények tere).
E{\ displaystyle E}E=Rnem{\ displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {n}}E=P1{\ displaystyle E = P_ {1}}E=L2(Ω){\ displaystyle E = L ^ {2} (\ Omega)}
A vektort kontravariantív vektornak is nevezik, utalva a bázis koordinátáinak viselkedésére.
A lineáris formában a egy lineáris leképezés értékekkel egy kommutatív területen . A következőkben . A lineáris formák halmazát jelöljük , amelyet kettősnek nevezünk .
E{\ displaystyle E} ϕ:E→K{\ displaystyle \ phi: E \ rightarrow \ mathbb {K}} K{\ displaystyle \ mathbb {K}}K=R{\ displaystyle \ mathbb {K} = \ mathbb {R}}E∗=L(E;R){\ displaystyle E ^ {*} = L (E; {\ mathbb {R}})}E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}
E∗{\ displaystyle E ^ {*}}olyan vektortér, amelynek elemeit (amelyek ezért vektorok) kovariáns vektoroknak (vagy kettős vektoroknak vagy covektoroknak) nevezzük: abban az értelemben, hogy együtt mozognak a vektorokkal, a vektorokra hatnak. Így egy covector (lineáris forma) egy vektorra hatva adja meg a valós értéket .
E{\ displaystyle E}ℓ∈E∗{\ displaystyle \ ell \ E ^ -ben {*}}v→∈E{\ displaystyle {\ vec {vb}} \ E nyelvenℓ(v→)∈R{\ displaystyle \ ell ({\ vec {v}}) \ itt: {\ mathbb {R}}}
Értelmezés: a lineáris forma egy "mérőműszer", amely értéket ad a "vektorok" tárgyainak .
ℓ{\ displaystyle \ ell}ℓ(v→){\ displaystyle \ ell ({\ vec {v}})}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}
Megjegyzés: a vektor és a lineáris forma önmagában létezik (önmagukban léteznek): sem bázis, sem skaláris szorzat bevezetése nem szükséges (ami a "felhasználó" választásától függ). A tenzorok legegyszerűbb példái a vektorok és a lineáris alakok.
Megjegyzés: a továbbiakban egy lineáris formát egy "reprezentációs vektor" (Riesz-reprezentációs tétel) képvisel, azzal a feltétellel, hogy új eszköz: skaláris szorzat legyen (az ilyen eszköz kiválasztása a felhasználótól függ). És nincs semmi "természetes" az ilyen "ábrázolási vektor" megválasztásában. Itt a "természetes" szónak pontos matematikai jelentése van: azt jelenti, hogy a és között nincs kanonikus izomorfizmus (izomorfizmus létezik és létezik, de új eszköz, például skaláris szorzat bevezetését igényli).
E∗{\ displaystyle E ^ {*}}E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}E∗{\ displaystyle E ^ {*}}
Megjegyzés: nincs kétértelműség arról, hogy mi a kovariáns vektor: ez egy lineáris forma , vagyis annak egy eleme (ez egy kovariáns tenzor). A kétértelműségeket abban vesszük ki, hogy mi az a kontravariantikus vektor (egy vektor vonatkozásában) azáltal, hogy a lineáris formákat vesszük figyelembe , vagyis a kettőseket (ez az űrirány-levezetésekkel ellentmondásos tenzorok halmaza ). Ezután a kanonikus izomorfizmus révén (véges dimenzióban) azonosítjuk (a vektorok halmazát ) és annak kettősét (a vektorok irányába eső levezetések halmazát ). Ez lehetővé teszi, hogy izomorfizmus átnevezésére kontravariáns vektor egy vektor , és hasonlóképpen, átnevezésére vektor egy kontravariáns vektor .
E{\ displaystyle E}L(E;R)=E∗=T10(E){\ displaystyle L (E; \ mathbb {R}) = E ^ {*} = T_ {1} ^ {0} (E)}E∗{\ displaystyle E ^ {*}}L(E∗;R)=E∗∗{\ displaystyle L (E ^ {*}; \ mathbb {R}) = E ^ {**}}T01(E){\ displaystyle T_ {0} ^ {1} (E)}={\ displaystyle =}E{\ displaystyle E}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}E∗∗{\ displaystyle E ^ {**}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}
Hagyja, vektorok az
alkotó bázis. A lineáris formát (kovariáns vektor) úgy definiáljuk
, hogy az a másik irányokkal párhuzamos irányú vetület :
nem{\ displaystyle n}e→1,...,e→nem{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {1}, ..., {\ vec {e}} _ {n}}E{\ displaystyle E}eén∈L(E;R)=E∗{\ displaystyle e ^ {i} \ L-ben (E; \ mathbb {R}) = E ^ {*}}e→én{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {i}}
∀j=1,...,nem,eén(e→j)=δjén={1,ha én=j,0,ha én≠j,{\ displaystyle \ forall j = 1, ..., n, \ quad e ^ {i} ({\ vec {e}} _ {j}) = \ delta _ {j} ^ {i} = {\ kezdődik {esetek} 1, és {\ text {si}} i = j, \\ 0, & {\ text {si}} i \ neq j, \ end {esetek}}}
δjén{\ displaystyle \ delta _ {j} ^ {i}}hogy Kronecker szimbóluma. A lineáris formák az (egyszerű ellenőrzés) alapját képezik, amelyet az alap kettős alapjának nevezünk . A kettős alap tehát a vetítés fent meghatározott lineáris formáiból áll.
nem{\ displaystyle n}e1,...,enem{\ displaystyle e ^ {1}, ..., e ^ {n}}E∗{\ displaystyle E ^ {*}}(e→1,...,e→nem){\ displaystyle ({\ vec {e}} _ {1}, ..., {\ vec {e}} _ {n})}(e1,...,enem){\ displaystyle (e ^ {1}, ..., e ^ {n})}
A vektor komponenseinek kiszámítása
Ha , a valós értékek ellenőrzését
az alap összetevőinek nevezzük .
x→∈E{\ displaystyle {\ vec {x}} \ E} nyelvenxén{\ displaystyle x ^ {i}}x→=∑én=1nemxéne→én{\ displaystyle {\ vec {x}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x ^ {i} {\ vec {e}} _ {i}}x→{\ displaystyle {\ vec {x}}}(e→én){\ displaystyle ({\ vec {e}} _ {i})}
Ismerve a bázis , az egyik kiszámítja a kettős bázis , és a komponenseket a vektor kiszámítása alkalmazásával a nyúlványok a : a linearitás az egyik, az i-edik komponense (értéke vetülete a párhuzamos a másik irányban).
(e→én){\ displaystyle ({\ vec {e}} _ {i})}(eén){\ displaystyle (e ^ {i})}x→{\ displaystyle {\ vec {x}}}eén{\ displaystyle e ^ {i}}x→{\ displaystyle {\ vec {x}}}eén∈E∗{\ displaystyle e ^ {i} \ E ^ -ban {*}}eén(x→)=∑j=1nemxjeén(e→j)=∑j=1nemxjδjén=xén={\ displaystyle e ^ {i} ({\ vec {x}}) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} x ^ {j} \, e ^ {i} ({\ vec {e}} _ {j}) = \ összeg _ {j = 1} ^ {n} x ^ {j} \, \ delta _ {j} ^ {i} = x ^ {i} =}x→{\ displaystyle {\ vec {x}}}x→{\ displaystyle {\ vec {x}}}e→én{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {i}}
Méretek
Ha egy tárgynak "értéket" adunk, például az ember méretét, tömegét, hőmérsékletét ..., akkor csak a "referencia tárgyhoz" van értelme. Ezért meghatároz egy olyan függvényt, amely az értéket az objektumhoz társítja , ahol a függvény a referenciaobjektum felhasználásával készül. Itt "arányos" méretet szeretnénk megadni, ezért lineáris függvényt választunk .
ℓ{\ displaystyle \ ell}x{\ displaystyle x}ℓ(x){\ displaystyle \ ell (x)}ℓ{\ displaystyle \ ell}ℓ{\ displaystyle \ ell}
Egydimenziós modellezés : a referenciaobjektum (amelynek értéke például az angol láb (egység) lesz, vektorral ábrázolva . Az 1. dimenzió elosztása azt jelenti, hogy a lineáris függvényt definiáljuk . A függvényt ezután megjegyezzük .
e→én{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {i}}ℓ{\ displaystyle \ ell}ℓ(e→én)=1{\ displaystyle \ ell ({\ vec {e}} _ {i}) = 1}ℓ{\ displaystyle \ ell}eén{\ displaystyle e ^ {i}}
Tehát, ha az embert egy vektor modellezi, akkor a méretét egységekben adjuk meg . Más szavakkal, miután pózolt (bomlás az alapon ), méretét az alap komponense adja meg (egységekben ) .
h→{\ displaystyle {\ vec {h}}}eén(h→){\ displaystyle e ^ {i} ({\ vec {h}})}e→én{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {i}}h→=héne→én{\ displaystyle {\ vec {h}} = h ^ {i} {\ vec {e}} _ {i}}e→én{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {i}}e→én{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {i}}eén(h→)=hén={\ displaystyle e ^ {i} ({\ vec {h}}) = h ^ {i} =}h→{\ displaystyle {\ vec {h}}}
Így 6 láb ember utal, hogy a referencia tárgy „az angol láb”, ezért itt a lábban. Ha szívesebben használják méter vesszük az objektum `` hagyományos mérővel „”, hogy modellezzük egy vektor , vesszük a lineáris formában , amely ellenőrzi , és a magassága a férfi méterben az érték méterben eleme a alap .
h→=héne→én{\ displaystyle {\ vec {h}} = h ^ {i} {\ vec {e}} _ {i}}eén(h→)=hén=6.{\ displaystyle e ^ {i} ({\ vec {h}}) = h ^ {i} = 6}nál nél→én{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {i}}nál nélén{\ displaystyle a ^ {i}}nál nélén(nál nél→én)=1{\ displaystyle a ^ {i} ({\ vec {a}} _ {i}) = 1}nál nélén(h→)=kén{\ displaystyle a ^ {i} ({\ vec {h}}) = k ^ {i}}h→=kénnál nél→én{\ displaystyle {\ vec {h}} = k ^ {i} {\ vec {a}} _ {i}}nál nél→én{\ displaystyle {\ vec {a}} _ {i}}
Modellezés n dimenzióban : az i-edik báziskomponens megadja a méretet az i-edik bázisvektor mentén .
Hadd tegyük a repüléshez szokásos példát. Az ötletek rögzítéséhez vegyünk figyelembe egy repülőteret, amelynek két kifutópályája van, az egyik északra, a másik pedig észak-nyugatra. A nemzetközi repülési méretek a tengeri mérföld (Nautical Mile NM) a vízszintes távolságoknál és az angol lábak (foot ft) a függőleges távolságoknál. A légiforgalmi irányító, aki meg akarja tudni a közeledő repülőgépek helyzetét, a pilótától kéri a tengerszint feletti magasságot és a repülőtér távolságát. A vezérlő legegyszerűbb megoldása, ahol O az irányítótorony helyzete, és például északot jelöl és 1 NM hosszúságú objektumot modellez, északnyugati irányú és 1 NM hosszúságú tárgyat modellez, valamint a függőlegest és a modelleket jelöli. 1 ft-os tárgy. Így egy repülőgépet a vezérlő referenciakeretében elhelyezkedése alapján azonosítanak .
(O,e→1,e→2,e→3){\ displaystyle (O, {\ vec {e}} _ {1}, {\ vec {e}} _ {2}, {\ vec {e}} _ {3})}e→1{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {1}}e→2{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {2}}e→3{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {3}}x→=∑énxéne→én{\ displaystyle {\ vec {x}} = \ sum _ {i} x ^ {i} {\ vec {e}} _ {i}}(O,e→1,e→2,e→3){\ displaystyle (O, {\ vec {e}} _ {1}, {\ vec {e}} _ {2}, {\ vec {e}} _ {3})}
Ebből alapján, definiáljuk a kettős alapot , amely az a lineáris forma által adott , , (egyenes alakú által meghatározott értékeit alapján vektorok), és ehhez hasonlóan, és (a ). Ha meg akarjuk tudni a repülőgép magasságát (lábban), akkor kiszámoljuk (a harmadik komponens) értékét angol lábban. És mivel csak a magasság érdekel minket, ezért a lineáris alakot választottuk , mert az eltűnik a ( és a magja) által létrehozott tér fölött, és egyenlő 1-vel . Ha pedig a sík az északi kifutópályán érkezik, és meg akarjuk tudni a távolságát, akkor kiszámoljuk az (első komponens) értékét NM-ben. És ellenőrizzük, hogy nem az északnyugati pályán érkezik-e, mert esetünkben (a második komponens).
(e1,e2,e3){\ displaystyle (e ^ {1}, e ^ {2}, e ^ {3})}e1{\ displaystyle e ^ {1}}e1(e→1)=1{\ displaystyle e ^ {1} ({\ vec {e}} _ {1}) = 1}e1(e→2)=0{\ displaystyle e ^ {1} ({\ vec {e}} _ {2}) = 0}e1(e→3)=0{\ displaystyle e ^ {1} ({\ vec {e}} _ {3}) = 0}e2{\ displaystyle e ^ {2}}e3{\ displaystyle e ^ {3}}eén(e→j)=δjén{\ displaystyle e ^ {i} ({\ vec {e}} _ {j}) = \ delta _ {j} ^ {i}}e3(x→)=∑énxéne3(e→én)=∑énxénδén3=x3{\ displaystyle e ^ {3} ({\ vec {x}}) = \ összeg _ {i} x ^ {i} e ^ {3} ({\ vec {e}} _ {i}) = \ összeg _ {i} x ^ {i} \ delta _ {i} ^ {3} = x ^ {3}}e3{\ displaystyle e ^ {3}}e→1{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {1}}e→2{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {2}}e→3{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {3}}e1(x→)=x1{\ displaystyle e ^ {1} ({\ vec {x}}) = x ^ {1}}e2(x→)=x2=0{\ displaystyle e ^ {2} ({\ vec {x}}) = x ^ {2} = 0}
Megjegyzés: Pontos szorzatot is használhatunk egy dimenzió meghatározásához. A skaláris szorzat , amely bilináris forma, a skaláris szorzatot teljes egészében az értékei határozzák meg az alapvektorok alapján, vagyis az általában feljegyzett valós értékek . Így van írva . És így kifejezetten felhasználják a kettős bázist, amely pontosan azt szolgálja, hogy megadja a „méretet” 1 a vektorok által modellezett objektumoknak . Más szavakkal, egy skaláris szorzat megjelenítéséhez egy bázisban először meg kell határozni a kettős bázist .
g{\ displaystyle g}g(e→én,e→j){\ displaystyle g ({\ vec {e}} _ {i}, {\ vec {e}} _ {j})}génj{\ displaystyle g_ {ij}}g{\ displaystyle g}g=∑énjgénjeén⊗ej{\ displaystyle g = \ sum _ {ij} g_ {ij} e ^ {i} \ otimes e ^ {j}}(eén)én=1,...,nem{\ displaystyle (e ^ {i}) _ {i = 1, ..., n}}e→én{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {i}}(eén)én=1,...,nem{\ displaystyle (e ^ {i}) _ {i = 1, ..., n}}
A vektorok (ellentétes vektorok) alapváltoztatási szabályai
Vagyis „régi” és „új” alap . Jelölni fogjuk és a megfelelő kettős alapokat.
(e→én){\ displaystyle ({\ vec {e}} _ {i})}(f→én){\ displaystyle ({\ vec {f}} _ {i})}E{\ displaystyle E}(eén){\ displaystyle (e ^ {i})}(fén){\ displaystyle (f ^ {i})}
A rögzített, akár a komponenseit a bázis , vagy a generikus
j{\ displaystyle j}(Pjén)én=1,...,nem{\ displaystyle (P_ {j} ^ {i}) _ {i = 1, ..., n}}f→j{\ displaystyle {\ vec {f}} _ {j}}(e→én){\ displaystyle ({\ vec {e}} _ {i})}
f→j=∑énPjéne→én.{\ displaystyle {\ vec {f}} _ {j} = \ sum _ {i} P_ {j} ^ {i} {\ vec {e}} _ {i}.}
A mátrix oszlopában tárolja a bázis
összetevőit : ez az alapváltozási mátrix, amelyet átmeneti mátrixnak nevezünk .
P=[Pjén]{\ displaystyle P = [P_ {j} ^ {i}]}j{\ displaystyle j}f→j{\ displaystyle {\ vec {f}} _ {j}}(e→én){\ displaystyle ({\ vec {e}} _ {i})}
És a mátrix az átmeneti mátrix az új bázisról a régire:
Q=P-1{\ displaystyle Q = P ^ {- 1}}
e→j=∑énQjénf→én.{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {j} = \ sum _ {i} Q_ {j} ^ {i} {\ vec {f}} _ {i}.}
Valóban
. Így oszlopában tárolja a bázis
alkatrészeit .
∑énQjénf→én=∑énQjén∑kPénke→k=∑k∑énPénkQjéne→k=∑k(PQ)jke→k=∑kδjke→k=e→j{\ displaystyle \ sum _ {i} Q_ {j} ^ {i} {\ vec {f}} _ {i} = \ sum _ {i} Q_ {j} ^ {i} \ sum _ {k} P_ {i} ^ {k} {\ vec {e}} _ {k} = \ sum _ {k} \ sum _ {i} P_ {i} ^ {k} Q_ {j} ^ {i} {\ vec {e}} _ {k} = \ összeg _ {k} (PQ) _ {j} ^ {k} {\ vec {e}} _ {k} = \ összeg _ {k} \ delta _ {j} ^ {k} {\ vec {e}} _ {k} = {\ vec {e}} _ {j}}Q=P-1{\ displaystyle Q = P ^ {- 1}}j{\ displaystyle j}e→j{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {j}}(f→én){\ displaystyle ({\ vec {f}} _ {i})}
Bármelyik , és bármelyik:
x→∈E{\ displaystyle {\ vec {x}} \ E} nyelven
x→=xold1e→1+...+xoldneme→nem=xnemew1f→1+...+xnemewnemf→nem,{\ displaystyle {\ vec {x}} = x_ {old} ^ {1} {\ vec {e}} _ {1} + ... + x_ {old} ^ {n} {\ vec {e}} _ {n} = x_ {új} ^ {1} {\ vec {f}} _ {1} + ... + x_ {új} ^ {n} {\ vec {f}} _ {n},}
hol és
ezért
vannak az oszlopmátrixok, amelyek ezeken az alapokon tárolják a komponenseket . (A vektort egy bázisban oszlopmátrix képviseli.)
[x→]old=(xold1⋮xoldnem){\ displaystyle [{\ vec {x}}] _ {old} = {\ begin {pmatrix} x_ {old} ^ {1} \\\ vdots \\ x_ {old} ^ {n} \ end {pmatrix} }}[x→]nemew=(xnemew1⋮xnemewnem){\ displaystyle [{\ vec {x}}] _ {new} = {\ begin {pmatrix} x_ {new} ^ {1} \\\ vdots \\ x_ {new} ^ {n} \ end {pmatrix} }}x→∈E{\ displaystyle {\ vec {x}} \ E} nyelven
Egy egyszerű számítás megadja (a fenti egyenlőség kettős alapjának lineáris formáit alkalmazzuk ):
fén{\ displaystyle f ^ {i}}(f→én){\ displaystyle ({\ vec {f}} _ {i})}
(xnemew1⋮xnemewnem)=P-1.(xold1⋮xoldnem){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x_ {new} ^ {1} \\\ vdots \\ x_ {new} ^ {n} \ end {pmatrix}} = P ^ {- 1}. {\ begin {pmatrix } x_ {old} ^ {1} \\\ vdots \\ x_ {old} ^ {n} \ end {pmatrix}}}.
Tehát az új koordináták a függvényében , inverzében változnak , ezért az ellentmondásos név (az összetevők az alap értelmében "ellentétes irányba" alakulnak át).
P-1{\ displaystyle P ^ {- 1}}P{\ displaystyle P}
Lineáris forma (kovariáns vektor) összetevőinek kiszámítása
Bármelyik és bármelyik komponense a kettős bázisban , azaz az
összetevőket a vektorok alkalmazásával számoljuk ki : az egyik linearitása szerint a j-edik komponense van .
ℓ∈E∗{\ displaystyle \ ell \ E ^ -ben {*}}nál nélén{\ displaystyle a_ {i}}(eén){\ displaystyle (e ^ {i})}ℓ=nál nél1e1+...+nál nélnemenem.{\ displaystyle \ ell = a_ {1} e ^ {1} + ... + a_ {n} e ^ {n}.}nál nélj{\ displaystyle a_ {j}}e→j{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {j}}ℓ{\ displaystyle \ ell}ℓ(e→j)=∑én=1nemnál néléneén(e→j)=∑én=1nemnál nélénδjén=nál nélj={\ displaystyle \ ell ({\ vec {e}} _ {j}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \, e ^ {i} ({\ vec {e}} _ {j}) = \ összeg _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \, \ delta _ {j} ^ {i} = a_ {j} =}ℓ{\ displaystyle \ ell}
Lineáris forma (kovariáns vektor) mátrix ábrázolása
Lineáris formát ábrázolunk egy bázisban egy sormátrix segítségével, akár a fenti jelölésekkel . Így a mátrixszámítás szokásos szabályaink vannak:
[ℓ]=(nál nél1...nál nélnem){\ displaystyle [\ ell] = {\ kezdete {pmatrix} a_ {1} és ... & a_ {n} \ vége {pmatrix}}}
ℓ(x→)=[ℓ].[x→]=(nál nél1...nál nélnem).(x1⋮xnem)=nál nél1x1+...+nál nélnemxnem.{\ displaystyle \ ell ({\ vec {x}}) = [\ ell]. [{\ vec {x}}] = {\ kezdődik {pmatrix} a_ {1} & ... & a_ {n} \ vége {pmatrix}}. {\ begin {pmatrix} x ^ {1} \\\ vdots \\ x ^ {n} \ end {pmatrix}} = a_ {1} x ^ {1} + ... + a_ {n} x ^ {n}.}
Lásd Einstein alábbi egyezményét.
Alakváltoztatási szabályok az alakzatokhoz (kovariáns vektorok)
Bármelyik , és bármelyik:
ℓ∈E∗{\ displaystyle \ ell \ E ^ -ben {*}}
ℓ=nál nél1,olde1+...+nál nélnem,oldenem=nál nél1,nemewf1+...+nál nélnem,nemewfnem,{\ displaystyle \ ell = a_ {1, régi} e ^ {1} + ... + a_ {n, régi} e ^ {n} = a_ {1, új} f ^ {1} + ... + a_ {n, új} f ^ {n},}
ahol ezért és
kettős alapon
alkotóelemei . (A lineáris formát egy bázisban egy sormátrix képviseli.) Egyszerű számítás ( a fenti egyenlőség alapján számoljuk ki őket ):
[ℓ]old=(nál nél1,old...nál nélnem,old){\ displaystyle [\ ell] _ {old} = {\ kezdődik {pmatrix} a_ {1, régi} & ... & a_ {n, régi} \ end {pmatrix}}}[ℓ]nemew=(nál nél1,nemew...nál nélnem,nemew){\ displaystyle [\ ell] _ {új} = {\ kezdet {pmatrix} a_ {1, új} & ... & a_ {n, új} \ vég {pmatrix}}}ℓ∈E∗{\ displaystyle \ ell \ E ^ -ben {*}}ℓ(f→én){\ displaystyle \ ell ({\ vec {f}} _ {i})}
(nál nél1,nemew...nál nélnem,nemew)=(nál nél1,old...nál nélnem,old).P{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a_ {1, new} & ... & a_ {n, new} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} a_ {1, old} & ... & a_ {n, régi} \ end {pmatrix}}. P}.
Innen a név (vektor) kovariáns, amelyet a lineáris formáknak adnak (az összetevőket "ugyanabba az irányba" alakítják át, mint az alapot).
Ezekkel az alapváltozási képletekkel azonnal ellenőrizzük, hogy a mennyiség
nem függ-e az alaptól, mert (azonosságmátrix): az érték nem függ az alap megválasztásától:
ℓ(x→){\ displaystyle \ ell ({\ vec {x}})}P.P-1=én{\ displaystyle PP ^ {- 1} = I}ℓ(x→){\ displaystyle \ ell ({\ vec {x}})}
(nál nél1,nemew...nál nélnem,nemew).(xnemew1⋮xnemewnem)=(nál nél1,old...,nál nélnem,old).P.P-1.(xold1⋮xoldnem)=(nál nél1,old...nál nélnem,old).(xold1⋮xoldnem){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a_ {1, new} & ... & a_ {n, new} \ end {pmatrix}}. {\ begin {pmatrix} x_ {new} ^ {1} \\\ vdots \\ x_ {new} ^ {n} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} a_ {1, old} & ..., a_ {n, old} \ end {pmatrix}}. PP ^ {-1}. {\ Kezdés: {pmatrix} x_ {old} ^ {1} \\\ vdots \\ x_ {old} ^ {n} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} a_ {1, old} & ... & a_ {n, old} \ end {pmatrix}}. {\ begin {pmatrix} x_ {old} ^ {1} \\\ vdots \\ x_ {old} ^ {n} \ end {pmatrix}}}.
A jelentésbeli különbség akkor látható, ha általános jelöléseket használunk:
xnemewén=∑jQjénxoldj,nál nélj,old=∑énnál nélén,nemewQjén,{\ displaystyle x_ {new} ^ {i} = \ sum _ {j} Q_ {j} ^ {i} x_ {old} ^ {j}, \ qquad a_ {j, old} = \ sum _ {i} a_ {i, új} Q_ {j} ^ {i},}
ahol inverz mátrix. Az első egyenlőség megadja
(itt a derékszögű koordináta-változások összefüggésében vagyunk, abban az esetben, amikor az alapvektorok nem függnek ), ezért az általános jelölés:
Q=P-1{\ displaystyle Q = P ^ {- 1}}Qjén=∂xnemewén∂xoldj{\ displaystyle Q_ {j} ^ {i} = {\ részleges x_ {új} ^ {i} \ át \ részleges x_ {régi} ^ {j}}}x→{\ displaystyle {\ vec {x}}}
xnemewén=∑j∂xnemewén∂xoldjxoldj,nál nélj,old=∑énnál nélén,nemew∂xnemewén∂xoldj.{\ displaystyle x_ {új} ^ {i} = \ összeg _ {j} {\ részleges x_ {új} ^ {i} \ át \ részleges x_ {régi} ^ {j}} x_ {régi} ^ {j} , \ qquad a_ {j, old} = \ sum _ {i} a_ {i, új} {\ részleges x_ {új} ^ {i} \ át \ részleges x_ {régi} ^ {j}}.}
Megjegyzés : kiderült, hogy az ortonormális bázisok megváltoztatásához megvan
(transzponált mátrix), és hogy az alapok megváltoztatásának szabályai ugyanazok ...kivéveaz átültetést (oszlopmátrixokká transzformált sormátrixok). Ez természetesen hamis, ha az alapváltozás nem ortonormális.
P-1=PT{\ displaystyle P ^ {- 1} = P ^ {T}}
Az alapvető változásszabályoktól függetlenül a fizikusok nagyon ragaszkodnak a "kovariáns" (a mérőműszer) vagy a "kontravariant" (a mérendő tárgy) karakterhez.
Hilbert-térben: lineáris forma megjelenítése vektorral
Az ábrázolási vektor (egy pont szorzattól függ)
Ahhoz, hogy „képviselje” lineáris formában egy vektor, egy olyan új eszköz: a skalárszorzatára felett jegyezni (a pozitív definit szimmetrikus bilineáris forma). A reprezentációs vektor létezését és egyediségét ezután Riesz ábrázolási tétele adja meg :
E{\ displaystyle E}(⋅,⋅)g{\ displaystyle (\ cdot, \ cdot) _ {g}}
ha folytonos lineáris forma van , Hilbert szóköz
a dot szorzathoz , akkor:
ℓ{\ displaystyle \ ell}E{\ displaystyle E}(⋅,⋅)g{\ displaystyle (\ cdot, \ cdot) _ {g}}
∃!ℓ→g∈E,∀x→∈E,ℓ(x→)=(ℓ→g,x→)g{\ displaystyle \ létezik! {\ vec {\ ell}} _ {g} \ E-ben, \ quad \ forall {\ vec {x}} \ E-ben, \ quad \ ell ({\ vec {x}}) = ({\ vec {\ ell}} _ {g}, {\ vec {x}}) _ {g}},
hol van a pontterméken keresztül reprezentáló vektor . (A véges dimenzióban a lineáris formák mind folytonosak, a dot szorzattal felruházott vektorterek pedig mind a Hilbert-terek; ez a végtelen dimenzióban nem igaz.) A lineáris forma ezen vektorábrázolásának alapvető érdeke a grafikus ábrázolás.
ℓ→g∈E{\ displaystyle {\ vec {\ ell}} _ {g} \ E nyelven}ℓ∈E∗{\ displaystyle \ ell \ E ^ -ben {*}}(⋅,⋅)g{\ displaystyle (\ cdot, \ cdot) _ {g}}
Definíció : a vektort
a ponttermékreprezentációs vektorának nevezzük.
ℓ→g{\ displaystyle {\ vec {\ ell}} _ {g}}ℓ{\ displaystyle \ ell}(⋅,⋅)g{\ displaystyle (\ cdot, \ cdot) _ {g}}
Rögzített bázis , a skaláris szorzat fix, a skaláris szorzat mátrixát jelöljük . Mivel egy pont termék, ez bilineáris, ezért jelöli és ajánlunk
(e→én){\ displaystyle ({\ vec {e}} _ {i})}(⋅,⋅)g{\ displaystyle (\ cdot, \ cdot) _ {g}}[g]=[génj]=[(e→én,e→j)g]{\ displaystyle [g] = [g_ {ij}] = [({\ vec {e}} _ {i}, {\ vec {e}} _ {j}) _ {g}]}(⋅,⋅)g{\ displaystyle (\ cdot, \ cdot) _ {g}}x→=∑énxéne→én{\ displaystyle {\ vec {x}} = \ sum _ {i} x ^ {i} {\ vec {e}} _ {i}}y→=∑jyje→j{\ displaystyle {\ vec {y}} = \ sum _ {j} y ^ {j} {\ vec {e}} _ {j}}
(x→,y→)g=∑énjxényj(e→én,e→j)g=∑énjxéngénjyj=[x→]T.[g].[y→]{\ displaystyle ({\ vec {x}}, {\ vec {y}}) _ {g} = \ sum _ {ij} x ^ {i} y ^ {j} ({\ vec {e}} _ {i}, {\ vec {e}} _ {j}) _ {g} = \ sum _ {ij} x ^ {i} g_ {ij} y ^ {j} = [{\ vec {x}} ] ^ {T}. [G]. [{\ Vec {y}}]}.
Ha és amennyiben így és a mátrixok elemei és definíció szerint a vektor reprezentáció az a definíció ad a mátrix kapcsolatban mindent . Ebből kifolyólag :
ℓ=∑énℓéneén{\ displaystyle \ ell = \ sum _ {i} \ ell _ {i} e ^ {i}}ℓ→g=∑énℓéne→én{\ displaystyle {\ vec {\ ell}} _ {g} = \ sum _ {i} \ ell ^ {i} {\ vec {e}} _ {i}}[ℓ]=(ℓ1...ℓnem){\ displaystyle [\ ell] = {\ kezdete {pmatrix} \ ell _ {1} és ... & \ ell _ {n} \ end {pmatrix}}}[ℓ→g]=(ℓ1⋮ℓnem){\ displaystyle [{\ vec {\ ell}} _ {g}] = {\ begin {pmatrix} \ ell ^ {1} \\\ vdots \\\ ell ^ {n} \ end {pmatrix}}}ℓ{\ displaystyle \ ell}ℓ→g{\ displaystyle {\ vec {\ ell}} _ {g}}ℓ→g{\ displaystyle {\ vec {\ ell}} _ {g}}ℓ{\ displaystyle \ ell}ℓ(x→)=(ℓ→g,x→)g{\ displaystyle \ ell ({\ vec {x}}) = ({\ vec {\ ell}} _ {g}, {\ vec {x}}) _ {g}}[ℓ].[x→]=[ℓ→g]T.[g].[x→]{\ displaystyle [\ ell]. [{\ vec {x}}] = [{\ vec {\ ell}} _ {g}] ^ {T}. [g]. [{\ vec {x}}] }x→{\ displaystyle {\ vec {x}}}
[ℓ]=[ℓ→g]T.[g]maradj veszteg[ℓ→g]=[g]-1.[ℓ]T.{\ displaystyle [\ ell] = [{\ vec {\ ell}} _ {g}] ^ {T}. [g] \ qquad {\ hbox {akkor is}} \ qquad [{\ vec {\ ell} } _ {g}] = [g] ^ {- 1}. [\ ell] ^ {T}.}
Vagy kifejezetten:
ℓj=∑énℓéngénj,ésℓén=∑jgénjℓj,{\ displaystyle \ ell _ {j} = \ sum _ {i} \ ell ^ {i} g_ {ij}, \ qquad {\ hbox {és}} \ qquad \ ell ^ {i} = \ sum _ {j } g ^ {ij} \ ell _ {j},}
ahol definíció szerint megjegyeztük .
[g]-1=[génj]{\ displaystyle [g] ^ {- 1} = [g ^ {ij}]}
Az ábrázolási vektor ellentmondásos (vektor)
A "kovariáns vektor" (a lineáris forma) komponensei a lineáris alakok alapvető változásszabályait követik, míg az ábrázolási vektor, amely egy pont szorzat kiválasztása után képviseli , a vektorok változás szabályainak alapját követi:
ℓ→g{\ displaystyle {\ vec {\ ell}} _ {g}}ℓ{\ displaystyle \ ell}
[ℓ]nemew=[ℓ]old.P,[ℓ→g]nemew=P-1.[ℓ→g]old{\ displaystyle [\ ell] _ {new} = [\ ell] _ {old} .P, \ qquad [{\ vec {\ ell}} _ {g}] _ {new} = P ^ {- 1}. [{\ Vec {\ ell}} _ {g}] _ {old}}.
Valójában képest a „régi” és „új” bázisok közötti kapcsolatok és a
és
. Tehát a lineáris formák vagy a bilináris formák, vagy (könnyen ellenőrizhető) alapváltoztatási szabályaival a következőket kapjuk:
ℓ→g{\ displaystyle {\ vec {\ ell}} _ {g}}ℓ{\ displaystyle \ ell}[ℓ→g]nemew=[g]nemew-1.[ℓ]nemewT{\ displaystyle [{\ vec {\ ell}} _ {g}] _ {új} = [g] _ {új} ^ {- 1}. [\ ell] _ {új} ^ {T}}[ℓ→g]old=[g]old-1.[ℓ]oldT{\ displaystyle [{\ vec {\ ell}} _ {g}] _ {old} = [g] _ {old} ^ {- 1}. [\ ell] _ {old} ^ {T}}[ℓ]nemew=[ℓ]old.P{\ displaystyle [\ ell] _ {új} = [\ ell] _ {régi} .P}[g]nemew=PT.[g]old.P{\ displaystyle [g] _ {új} = P ^ {T}. [g] _ {régi} .P}
[ℓ→g]nemew=[g]nemew-1.[ℓ]nemewT=(P-1.[g]old-1.P-T).(PT.[ℓ]oldT)=P-1.[g]old-1.([g]old.[ℓ→]old)=P-1.[ℓ→g]old{\ displaystyle [{\ vec {\ ell}} _ {g}] _ {új} = [g] _ {új} ^ {- 1}. [\ ell] _ {új} ^ {T} = (P ^ {- 1}. [G] _ {old} ^ {- 1} .P ^ {- T}). (P ^ {T}. [\ Ell] _ {old} ^ {T}) = P ^ {-1}. [G] _ {old} ^ {- 1}. ([G] _ {old}. [{\ Vec {\ ell}}] _ {old}) = P ^ {- 1}. [{\ vec {\ ell}} _ {g}] _ {old}}.
Az alapváltoztatási szabályok valóban ellentmondásosak.
ℓ→g{\ displaystyle {\ vec {\ ell}} _ {g}}
Példa : legyenés annak kanonikus (euklideszi) skalár termék: ha
és
két vektor expresszálódik a kanonikus alapján, ez a skalár szorzat által adott
. Legyen akkor azáltal megadott
lineáris forma. A lineáris alakota sormátrix
és az eredmény képviseli
E=R2{\ displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {2}}x→=(x1x2){\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ begin {pmatrix} x ^ {1} \\ x ^ {2} \ end {pmatrix}}}y→=(y1y2){\ displaystyle {\ vec {y}} = {\ begin {pmatrix} y ^ {1} \\ y ^ {2} \ end {pmatrix}}}(x→,y→)g=x1y1+x2y2{\ displaystyle ({\ vec {x}}, {\ vec {y}}) _ {g} = x ^ {1} y ^ {1} + x ^ {2} y ^ {2}}ℓ{\ displaystyle \ ell}ℓ(x→)=ℓ1x1+ℓ2x2{\ displaystyle \ ell ({\ vec {x}}) = \ ell _ {1} x ^ {1} + \ ell _ {2} x ^ {2}}ℓ{\ displaystyle \ ell}[ℓ]=(ℓ1ℓ2){\ displaystyle [\ ell] = {\ kezdete {pmatrix} \ ell _ {1} és \ ell _ {2} \ end {pmatrix}}}
ℓ(x→)=[ℓ].[x→]=(ℓ1ℓ2).(x1x2)=ℓ1x1+ℓ2x2=∑énℓénxén{\ displaystyle \ ell ({\ vec {x}}) = [\ ell]. [{\ vec {x}}] = {\ begin {pmatrix} \ ell _ {1} & \ ell _ {2} \ end {pmatrix}}. {\ begin {pmatrix} x ^ {1} \\ x ^ {2} \ end {pmatrix}} = \ ell _ {1} x ^ {1} + \ ell _ {2} x ^ {2} = \ sum _ {i} \ ell _ {i} x ^ {i}}
a szokásos mátrix szorzat adja.
Azt is megadhatjuk , ahol az ábrázolási vektor , mint minden vektor, oszlopmátrixot ábrázol . És triviálisan, az euklideszi skaláris szorzattal kapcsolatban megvan . Itt az euklideszi skaláris szorzat euklideszi alapon történő felhasználása a számításokat azonnal meghozza:
ℓ(x→)=(ℓ→g,x→)g{\ displaystyle \ ell ({\ vec {x}}) = ({\ vec {\ ell}} _ {g}, {\ vec {x}}) _ {g}}ℓ→g{\ displaystyle {\ vec {\ ell}} _ {g}}[ℓ→g]=(ℓ1ℓ2){\ displaystyle [{\ vec {\ ell}} _ {g}] = {\ begin {pmatrix} \ ell ^ {1} \\\ ell ^ {2} \ end {pmatrix}}}ℓén=ℓén{\ displaystyle \ ell ^ {i} = \ ell _ {i}}
Grafikus ábrázolás: a vektor az egyenletvonalra merőleges (az euklideszi skaláris szorzathoz képest)
. Más szavakkal, a lineáris forma magja a vektorra merőleges vektorok halmaza .
ℓ→{\ displaystyle {\ vec {\ ell}}}ℓ1x1+ℓ2x2=0=(ℓ→,x→)g=ℓ(x→){\ displaystyle \ ell _ {1} x ^ {1} + \ ell _ {2} x ^ {2} = 0 = ({\ vec {\ ell}}, {\ vec {x}}) _ {g } = \ ell ({\ vec {x}})}Ker(ℓ)={x→:ℓ(x→)=0}={x→:x→⊥ℓ→}{\ displaystyle Ker (\ ell) = \ {{\ vec {x}}: \ ell ({\ vec {x}}) = 0 \} = \ {{\ vec {x}}: {\ vec {x }} \ perp {\ vec {\ ell}} \}}ℓ→{\ displaystyle {\ vec {\ ell}}}
Vegye figyelembe az előfizetők és kitevők helyzetének inkonzisztenciáját (lásd alább Einstein konvencióját). A következetesség a képlet alkalmazásával érhető el itt, ennek tudatában .
(ℓ→g,x→)g=∑énℓéngénjxj{\ displaystyle ({\ vec {\ ell}} _ {g}, {\ vec {x}}) _ {g} = \ sum _ {i} \ ell ^ {i} g_ {ij} x ^ {j }}génj=δénj{\ displaystyle g_ {ij} = \ delta _ {ij}}
Bis példa : bármelyik,de az egyik a mátrix nem euklideszi skaláris szorzatával van ellátva
a kanonikus bázishoz viszonyítva: ez általában a mátrixprobléma konjugátumgradiens vagy akár az analízis képének megoldása során fordul elő (példa: egy kört rajzolnak a földre, de a repülőgépről nézve egy távolságból nézve olyan ellipszisnek tűnik, amelynek kistengelye itt kétszer kisebb, mint a főtengely). Ebben az esetben, ha
igen
.
E=R2{\ displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {2}}[g]=(1002){\ displaystyle [g] = {\ kezdete {pmatrix} 1 és 0 \\ 0 és 2 \ end {pmatrix}}}[ℓ]=(ℓ1ℓ2){\ displaystyle [\ ell] = {\ kezdete {pmatrix} \ ell _ {1} és \ ell _ {2} \ end {pmatrix}}}[ℓ→g]=(ℓ1=ℓ1ℓ2=12ℓ2){\ displaystyle [{\ vec {\ ell}} _ {g}] = {\ begin {pmatrix} \ ell ^ {1} = \ ell _ {1} \\\ ell ^ {2} = {1 \ over 2} \ ell _ {2} \ end {pmatrix}}}
Példa: színátmenet
Legyen egy alkalmazás a pont szomszédságában . Ezen a ponton a különbség az a lineáris forma, amely kielégíti ( az első sorrendre korlátozódik ), bármely vektor szomszédságában :
f:E→R{\ displaystyle f: E \ rightarrow \ mathbb {R}}VS1{\ displaystyle C ^ {1}}x→0∈E{\ displaystyle {\ vec {x}} _ {0} \ E} -banf{\ displaystyle f}ℓ{\ displaystyle \ ell}h=0{\ displaystyle h = 0}v→∈E{\ displaystyle {\ vec {vb}} \ E nyelven
f(x→0+hv→)=f(x→0)+hℓ(v→)+o(h){\ displaystyle f ({\ vec {x}} _ {0} + h \, {\ vec {v}}) = f ({\ vec {x}} _ {0}) + h \, \ ell ( {\ vec {vb}}) + o (h)},
és általában megjegyezzük . Ha van, továbbá, egy skaláris terméket a , mi majd a gradiens vektor meghatározására az
en mint a vektor képviselő eltérés képest a skaláris szorzata. Tehát definíció szerint bármely vektor esetében :
ℓ=df(x→0)∈E∗{\ displaystyle \ ell = df ({\ vec {x}} _ {0}) \ E ^ -ban {*}}(⋅,⋅)g{\ displaystyle (\ cdot, \ cdot) _ {g}}E{\ displaystyle E}∇→f(x→0){\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} f ({\ vec {x}} _ {0})}f{\ displaystyle f}x→0{\ displaystyle {\ vec {x}} _ {0}}df(x→0){\ displaystyle df ({\ vec {x}} _ {0})}v→∈E{\ displaystyle {\ vec {vb}} \ E nyelven
(limh→0f(x→0+hv→)-f(x→0)h)=df(x→0).v→=(∇→f(x→0),v→)g{\ displaystyle (\ lim _ {h \ rightarrow 0} {f ({\ vec {x}} _ {0} + h \, {\ vec {v}}) - f ({\ vec {x}} _ {0}) \ over h}) = \ quad df ({\ vec {x}} _ {0}). {\ Vec {v}} = ({\ vec {\ nabla}} f ({\ vec { x}} _ {0}), {\ vec {v}}) _ {g}}.
Példa : A függvény gradiensének
egy pontja a vektor reprezentációja az euklideszi skaláris szorzathoz, amelyet poláris koordinátákban adunk meg
.
f:x→∈R2→f(x→)∈R{\ displaystyle f: {\ vec {x}} \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ rightarrow f ({\ vec {x}}) \ in \ mathbb {R}}∇→f(x→)=(∂f∂ρ(x→)1ρ∂f∂θ(x→)){\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} f ({\ vec {x}}) = {\ begin {pmatrix} {\ részleges f \ felett \ részleges \ rho} ({\ vec {x}}) \\ {1 \ over \ rho} \, {\ részben f \ over \ részleges \ theta} ({\ vec {x}}) \ end {pmatrix}}}
Számítás
Sűrített válasz.
Itt egy általános megközelítést adunk, amely lehetővé teszi a gradiens kifejezésének megtalálását bármely koordináta-rendszerben.
1- Vagy
a poláris koordinátarendszer (a vektor a paraméteres koordináták vektora , a vektor pedig a geometriai koordináták vektora). Legyen a kanonikus alapja .
ϕ→:q→=(ρθ)→x→=ϕ→(q→)=(x=ρkötözősalátaθy=ρbűnθ){\ displaystyle {\ vec {\ phi}}: {\ vec {q}} = {\ begin {pmatrix} \ rho \\\ theta \ end {pmatrix}} \ rightarrow {\ vec {x}} = {\ vec {\ phi}} ({\ vec {q}}) = {\ begin {pmatrix} x = \ rho \, \ cos \ theta \\ y = \ rho \, sin \ theta \ end {pmatrix}} }q→{\ displaystyle {\ vec {q}}}x→{\ displaystyle {\ vec {x}}}(E→1,E→2){\ displaystyle ({\ vec {E}} _ {1}, {\ vec {E}} _ {2})}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}
A poláris rendszer alapja egy geometriai pontban definíció szerint
hol
x→=ϕ→(q→){\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {\ phi}} ({\ vec {q}})}(e→1(x→),e→2(x→)){\ displaystyle ({\ vec {e}} _ {1} ({\ vec {x}}), {\ vec {e}} _ {2} ({\ vec {x}}))}
e→1(x→)=dϕ→(q→).E→1=limh→0ϕ→(q→+hE→1)-ϕ→(q→)h=limh→0ϕ→(ρ+h,θ)-ϕ→(ρ,θ)h=∂ϕ→∂ρ(q→)=(kötözősalátaθbűnθ),{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {1} ({\ vec {x}}) = d {\ vec {\ phi}} ({\ vec {q}}). {\ vec {E}} _ {1} = \ lim _ {h \ rightarrow 0} {{\ vec {\ phi}} ({\ vec {q}} + h \, {\ vec {E}} _ {1}) - {\ vec {\ phi}} ({\ vec {q}}) \ over h} = \ lim _ {h \ rightarrow 0} {{\ vec {\ phi}} (\ rho + h, \ theta) - {\ vec {\ phi}} (\ rho, \ theta) \ over h} = {\ részleges {\ vec {\ phi}} \ over \ részleges \ rho} ({\ vec {q}}) = {\ begin { pmatrix} \ cos \ theta \\\ sin \ theta \ end {pmatrix}},}
- a geometriai tér kanonikus alapjainak összetevőit képviselő oszlopmátrix , és
e→1(x→){\ displaystyle {\ vec {e}} _ {1} ({\ vec {x}})}
e→2(x→)=dϕ→(x→).E→2=limh→0ϕ→(q→+hE→2)-ϕ→(q→)h=limh→0ϕ→(ρ,θ+h)-ϕ→(ρ,θ)h=∂ϕ→∂θ(q→)=(-ρbűnθρkötözősalátaθ).{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {2} ({\ vec {x}}) = d {\ vec {\ phi}} ({\ vec {x}}). {\ vec {E}} _ {2} = \ lim _ {h \ rightarrow 0} {{\ vec {\ phi}} ({\ vec {q}} + h \, {\ vec {E}} _ {2}) - {\ vec {\ phi}} ({\ vec {q}}) \ over h} = \ lim _ {h \ rightarrow 0} {{\ vec {\ phi}} (\ rho, \ theta + h) - {\ vec {\ phi}} (\ rho, \ theta) \ over h} = {\ részleges {\ vec {\ phi}} \ over \ részleges \ theta} ({\ vec {q}}) = {\ begin { pmatrix} - \ rho \, \ sin \ theta \\\ rho \, \ cos \ theta \ end {pmatrix}}.}
(Rajz: a vektor megrajzolásával : ez egy egység "sugárirányú" vektor. És megrajzoljuk a vektort : az előző hosszúságára merőleges vektor .)
x→{\ displaystyle {\ vec {x}}}e→1(x→){\ displaystyle {\ vec {e}} _ {1} ({\ vec {x}})}e→2(x→){\ displaystyle {\ vec {e}} _ {2} ({\ vec {x}})}ρ{\ displaystyle \ rho}
2- A rendszer kettős alapja az alapja
(ezek gyakorlatilag a funkciók és alkatrészek szokásos különbségei
).
x→{\ displaystyle {\ vec {x}}}(e1(x→)=dρ(x→),e2(x→)=dθ(x→)){\ displaystyle (e ^ {1} ({\ vec {x}}) = d \ rho ({\ vec {x}}), e ^ {2} ({\ vec {x}}) = d \ theta ({\ vec {x}}))}ρ(x,y){\ displaystyle \ rho (x, y)}θ(x,y){\ displaystyle \ theta (x, y)}q→=ϕ→-1(x→){\ displaystyle {\ vec {q}} = {\ vec {\ phi}} ^ {- 1} ({\ vec {x}})}
3- Legyen a geometriai térben definiált függvény : ez típusú . Általában, egy
társított kettős bázis alapján , a különbség ezért a következőképpen van kifejezve:
f{\ displaystyle f}f(x→){\ displaystyle f ({\ vec {x}})}(e→1(x→),e→2(x→)){\ displaystyle ({\ vec {e}} _ {1} ({\ vec {x}}), {\ vec {e}} _ {2} ({\ vec {x}}))}(e1(x→),e2(x→)){\ displaystyle (e ^ {1} ({\ vec {x}}), e ^ {2} ({\ vec {x}}))}
df(x→)=(df(x→).e→1(x→))e1(x→)+(df(x→).e→2(x→))e2(x→)=∂f∂ρ(x→)dρ(x→)+∂f∂θ(x→)dθ(x→),{\ displaystyle df ({\ vec {x}}) = (df ({\ vec {x}}). {\ vec {e}} _ {1} ({\ vec {x}})) \, e ^ {1} ({\ vec {x}}) + (df ({\ vec {x}}). {\ Vec {e}} _ {2} ({\ vec {x}})) \, e ^ {2} ({\ vec {x}}) = {\ részleges f \ felett \ részleges \ rho} ({\ vec {x}}) \, d \ rho ({\ vec {x}}) + { \ részleges f \ fölött \ részleges \ theta} ({\ vec {x}}) \, d \ theta ({\ vec {x}}),}
ahol a jelölések definíciója szerint:
a poláros rendszer
első bázisvektorát követő származék , és hasonlóképpen a poláris rendszer
második bázisvektorát követő származék .
∂f∂ρ(x→)=de"fdf(x→).e→1(x→)=limh→0f(x→+he→1(x→))-f(x→)h{\ displaystyle {\ részleges f \ át \ részleges \ rho} ({\ vec {x}}) = ^ {d {\ akut {e}} f} df ({\ vec {x}}). {\ vec {e}} _ {1} ({\ vec {x}}) = \ lim _ {h \ rightarrow 0} {f ({\ vec {x}} + h \, {\ vec {e}} _ { 1} ({\ vec {x}})) - f ({\ vec {x}}) \ felett h}}∂f∂θ(x→)=de"fdf(x→).e→2(x→)=limh→0f(x→+he→2(x→))-f(x→)h{\ displaystyle {\ részleges f \ át \ részleges \ theta} ({\ vec {x}}) = ^ {d {\ akut {e}} f} df ({\ vec {x}}). {\ vec {e}} _ {2} ({\ vec {x}}) = \ lim _ {h \ rightarrow 0} {f ({\ vec {x}} + h \, {\ vec {e}} _ { 2} ({\ vec {x}})) - f ({\ vec {x}}) \ felett h}}
Megjegyzés: ez valóban a jelölések definíciója, mivel függvény függ és nem attól függ . Pontosabban
hol van meghatározva a függvény,
mikor , vagyis hogy
. Összetett függvények levezetésével kapjuk meg , vagy a szokásos linearitás jelöléssel
, tehát
és ugyanazt
. És ahogyan a differenciál kifejezése
a parametrikus tér kanonikus bázisának kettős bázisában (a változók neve és
a definíciós terében ), úgy a fenti definíciók segítségével írunk . Ennek értelmében :,
a bázis , hogy a
kettős alapja a bázis a koordinátarendszer (mértani hely).
f{\ displaystyle f}x→{\ displaystyle {\ vec {x}}}q→{\ displaystyle {\ vec {q}}}∂f∂ρ(x,y)=de"f∂F∂ρ(ρ,θ){\ displaystyle {\ részleges f \ át \ részleges \ rho} (x, y) = ^ {d {\ akut {e}} f} {\ részleges F \ fölött \ részleges \ rho} (\ rho, \ theta) }F{\ displaystyle F}F(q→)=f(x→){\ displaystyle F ({\ vec {q}}) = f ({\ vec {x}})}x→=ϕ→(q→){\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {\ phi}} ({\ vec {q}})}F=de"ff∘ϕ→{\ displaystyle F = ^ {d {\ akut {e}} f} f \ circ {\ vec {\ phi}}}dF(q→)=df(x→)∘dϕ→(q→){\ displaystyle dF ({\ vec {q}}) = df ({\ vec {x}}) \ circ d {\ vec {\ phi}} ({\ vec {q}})}dF(q→)=df(x→).dϕ→(q→){\ displaystyle dF ({\ vec {q}}) = df ({\ vec {x}}). d {\ vec {\ phi}} ({\ vec {q}})}∂F∂ρ(q→)=dF(q→).E→1=df(x→).dϕ→(q→).E→1=df(x→).e→1(x→)=nemote"∂f∂ρ(x→){\ displaystyle {\ részleges F \ át \ részleges \ rho} ({\ vec {q}}) = dF ({\ vec {q}}). {\ vec {E}} _ {1} = df ({ \ vec {x}}).. d {\ vec {\ phi}} ({\ vec {q}}). {\ vec {E}} _ {1} = df ({\ vec {x}}). {\ vec {e}} _ {1} ({\ vec {x}}) = ^ {nem {\ akut {e}}} {\ részleges f \ felett \ részleges \ rho} ({\ vec {x} })}∂F∂θ(q→)=df(x→).e→2(x→)=nemote"∂f∂θ(x→){\ displaystyle {\ részleges F \ át \ részleges \ theta} ({\ vec {q}}) = df ({\ vec {x}}). {\ vec {e}} _ {2} ({\ vec {x}}) = ^ {nem {\ akut {e}}} {\ részleges f \ át \ részleges \ theta} ({\ vec {x}})}dF(q→)=∂F∂ρ(q→)dρ+∂F∂θdθ{\ displaystyle dF ({\ vec {q}}) = {\ részleges F \ rész \ rész \ rho} ({\ vec {q}}) \, d \ rho + {\ részleges F \ rész \ rész \ theta } \, d \ theta}dF(q→){\ displaystyle dF ({\ vec {q}})}(dρ,dθ){\ displaystyle (d \ rho, d \ theta)}ρ{\ displaystyle \ rho}θ{\ displaystyle \ theta}F{\ displaystyle F}df=∂f∂ρdρ+∂f∂θdθ{\ displaystyle df = {\ részleges f \ át \ részleges \ rho} \, d \ rho + {\ részleges f \ át \ részleges \ theta} \, d \ theta}df(x→)=∂f∂ρ(x→)dρ(x→)+∂f∂θ(x→)dθ(x→){\ displaystyle df ({\ vec {x}}) = {\ részleges f \ át \ részleges \ rho} ({\ vec {x}}) \, d \ rho ({\ vec {x}}) + { \ részleges f \ felett \ részleges \ theta} ({\ vec {x}}) \, d \ theta ({\ vec {x}})}(dρ(x→),dθ(x→)){\ displaystyle (d \ rho ({\ vec {x}}), d \ theta ({\ vec {x}}))}x→{\ displaystyle {\ vec {x}}}(e→1(x→),e→2(x→)){\ displaystyle ({\ vec {e}} _ {1} ({\ vec {x}}), {\ vec {e}} _ {2} ({\ vec {x}}))}x→{\ displaystyle {\ vec {x}}}
4- A gradiens meghatározása szerint, ha a skaláris szorzat itt a kanonikus skalár szorzat, bármelyik vektorra (Riesz-reprezentációs tétel)
rendelkezünk . Figyelembe véve a poláris rendszer alapjainak komponenseit , vagyis
akkor egymást
követve , akkor
, azaz tehát
és
mivel
kapjuk meg
. És így
.
(∇→f(x→),v→)vs.nál nélnemonem=df(x→).v→{\ displaystyle ({\ vec {\ nabla}} f ({\ vec {x}}), {\ vec {v}}) _ {canon} = df ({\ vec {x}}). {\ vec {vb}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}(α,β){\ displaystyle (\ alfa, \ béta)}∇→f(x→){\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} f ({\ vec {x}})}∇→f(x→)=αe→1(x→)+βe→2(x→){\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} f ({\ vec {x}}) = \ alfa \, {\ vec {e}} _ {1} ({\ vec {x}}) + \ beta \ , {\ vec {e}} _ {2} ({\ vec {x}})}v→=e→1(x→){\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ vec {e}} _ {1} ({\ vec {x}})}v→=e→2(x→){\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ vec {e}} _ {2} ({\ vec {x}})}α||e→1(x→)||2=df(x→).e→1(x→)=∂f∂ρ(x→){\ displaystyle \ alpha \, || {\ vec {e}} _ {1} ({\ vec {x}}) || ^ {2} = df ({\ vec {x}}). {\ vec {e}} _ {1} ({\ vec {x}}) = {\ részleges f \ át \ részleges \ rho} ({\ vec {x}})}β||e→2(x→)||2=df(x→).e→2(x→)=∂f∂θ(x→){\ displaystyle \ beta \, || {\ vec {e}} _ {2} ({\ vec {x}}) || ^ {2} = df ({\ vec {x}}). {\ vec {e}} _ {2} ({\ vec {x}}) = {\ részleges f \ át \ részleges \ theta} ({\ vec {x}})}α=∂f∂ρ(x→){\ displaystyle \ alpha = {\ részleges f \ át \ részleges \ rho} ({\ vec {x}})}β=1ρ2∂f∂θ(x→){\ displaystyle \ beta = {1 \ over \ rho ^ {2}} \, {\ részben f \ over \ részleges \ theta} ({\ vec {x}})}||e→2(x→)||2=ρ2{\ displaystyle || {\ vec {e}} _ {2} ({\ vec {x}}) || ^ {2} = \ rho ^ {2}}∇→f(x→)=∂f∂ρ(x→)e→1(x→)+1ρ2∂f∂θ(x→)e→2(x→){\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} f ({\ vec {x}}) = {\ részleges f \ felett \ részleges \ rho} ({\ vec {x}}) \, {\ vec {e} } _ {1} ({\ vec {x}}) + {1 \ over \ rho ^ {2}} \, {\ részben f \ over \ részleges \ theta} ({\ vec {x}}) \, {\ vec {e}} _ {2} ({\ vec {x}})}
5- A polárkoordinátarendszer alapja nem a mechanika által választott poláris alap: inkább az orthonormális bázist részesítik előnyben,
ahol
és
.
(e→ρ(x→),e→θ(x→)){\ displaystyle ({\ vec {e}} _ {\ rho} ({\ vec {x}}), {\ vec {e}} _ {\ theta} ({\ vec {x}})}}e→ρ(x→)=e→1(x→)=(kötözősalátaθbűnθ){\ displaystyle {\ vec {e}} _ {\ rho} ({\ vec {x}}) = {\ vec {e}} _ {1} ({\ vec {x}}) = {\ begin { pmatrix} \ cos \ theta \\\ sin \ theta \ end {pmatrix}}}e→θ(x→)=e→2(x→)||e→2(x→)||=1ρe→2(x→)=(-bűnθkötözősalátaθ){\ displaystyle {\ vec {e}} _ {\ theta} ({\ vec {x}}) = {{\ vec {e}} _ {2} ({\ vec {x}}) \ felett || {\ vec {e}} _ {2} ({\ vec {x}}) ||} = {1 \ over \ rho} \, {\ vec {e}} _ {2} ({\ vec {x }}) = {\ kezdés {pmatrix} - \ sin \ theta \\\ cos \ theta \ end {pmatrix}}}
Honnan
, a gradiens szokásos kifejezése "polárkoordinátákban", vagy ha valaki jobban szereti (a jelöléssel való visszaélés nélkül), akkor
hol mikor pózolt .
∇→f(x→)=∂f∂ρ(x→)e→ρ(x→)+1ρ∂f∂θ(x→)e→θ(x→)=(∂f∂ρ(x→)1ρ∂f∂θ(x→)){\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} f ({\ vec {x}}) = {\ részleges f \ felett \ részleges \ rho} ({\ vec {x}}) \, {\ vec {e} } _ {\ rho} ({\ vec {x}}) + {1 \ over \ rho} \, {\ részben f \ over \ részleges \ theta} ({\ vec {x}}) \, {\ vec {e}} _ {\ theta} ({\ vec {x}}) = {\ kezdődik {pmatrix} {\ részleges f \ felett \ részleges \ rho} ({\ vec {x}}) \\ {1 \ át \ rho} \, {\ részleges f \ át \ részleges \ theta} ({\ vec {x}}) \ vége {pmatrix}}}∇→f(x→)=(∂F∂ρ(q→)1ρ∂F∂θ(q→)){\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} f ({\ vec {x}}) = {\ begin {pmatrix} {\ részleges F \ felett \ részleges \ rho} ({\ vec {q}}) \\ {1 \ over \ rho} \, {\ részleges F \ over \ részleges \ theta} ({\ vec {q}}) \ end {pmatrix}}}F(q→)=f(x→){\ displaystyle F ({\ vec {q}}) = f ({\ vec {x}})}x→=ϕ→(q→){\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {\ phi}} ({\ vec {q}})}
6. példa: mikor
(ezért
és ). Itt
és így
f(x→)=rCserθ{\ displaystyle f ({\ vec {x}}) = r \, \ tan \ theta}x→=(rkötözősalátaθ,rbűnθ){\ displaystyle {\ vec {x}} = (r \, \ cos \ theta, r \, \ sin \ theta)}r=x2+y2{\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}Cserθ=yx{\ displaystyle \ tan \ theta = {y \ felett x}}F(r,θ)=rCserθ{\ displaystyle F (r, \ theta) = r \, \ tan \ theta}
(∂F∂r(q→)1r∂F∂θ(q→))=(Cserθ1+Cser2θ)=∇→f(x→){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ részleges F \ át \ részleges r} ({\ vec {q}}) \\ {1 \ át r} \, {\ részleges F \ át \ részleges \ theta} ( {\ vec {q}}) \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ tan \ theta \\ 1+ \ tan ^ {2} \ theta \ end {pmatrix}} = {\ vec {\ nabla }} f ({\ vec {x}})}pontig , a mechanika sarki alapjában .
x→=(rkötözősalátaθ,rbűnθ){\ displaystyle {\ vec {x}} = (r \, \ cos \ theta, r \, \ sin \ theta)}(e→ρ(x→),e→θ(x→)){\ displaystyle ({\ vec {e}} _ {\ rho} ({\ vec {x}}), {\ vec {e}} _ {\ theta} ({\ vec {x}})}}
Példa: erő
A mechanikában a pont objektum mozgatásához szükséges erőfeszítéseket munka modellezi . Ez a munka egy lineáris forma (az elmozdulások lineáris függvénye), és ezt a lineáris alakot erővektor (reprezentációs vektor implicit módon feltételezve az euklideszi skaláris szorzat használatát) ábrázolja:
T{\ displaystyle T}f→{\ displaystyle {\ vec {f}}}
T(u→)=(f→,u→)euvs.lénd{\ displaystyle T ({\ vec {u}}) = ({\ vec {f}}, {\ vec {u}}) _ {euclid}},
hol van egy elmozdulásvektor.
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
Ha vannak pontobjektumaink, amelyek mindegyikével mozgatható , akkor a munka linearitása kifejeződik:
nem{\ displaystyle n}u→én{\ displaystyle {\ vec {u}} _ {i}}
T(u→)=∑én=1nem(f→én,u→én)euvs.lénd{\ displaystyle T ({\ vec {u}}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} ({\ vec {f}} _ {i}, {\ vec {u}} _ {i} ) _ {euklidész}},
a művet ábrázoló vektorok .
f→én{\ displaystyle {\ vec {f}} _ {i}}
És ha van egy deformálható folyamatos közegünk, akkor az összeget megírjuk
és a munkát kifejezzük:
∑{\ displaystyle \ sum}∫{\ displaystyle \ int}
T(u→)=∫Ω(f→(x→),u→(x→))euvs.lénddΩ{\ displaystyle T ({\ vec {u}}) = \ int _ {\ Omega} ({\ vec {f}} ({\ vec {x}}), {\ vec {u}} ({\ vec {x}})) _ {euklidesz} \, d \ Omega},
ahol itt van például az integrálható négyzetfüggvények halmaza . Ez utóbbi esetben egy vektor által értékelt függvény, amely a .
E{\ displaystyle E}T(u→)=(f→,u→)L2{\ displaystyle T ({\ vec {u}}) = ({\ vec {f}}, {\ vec {u}}) _ {L ^ {2}}}f→{\ displaystyle {\ vec {f}}}T{\ displaystyle T}L2{\ displaystyle L ^ {2}}
Hatványok és előfizetők az összetevők jelölésében (Einsteini egyezmény)
A komponenseket egy (kontravariáns) vektor jelöli a kitevőket , mint
, míg a komponensek a kovariáns vektor
(lineáris formában a kettős alapon) jelöljük a alsó indexek , mint a
. Emlékezzünk (lásd fent), hogy ezeknek az összetevőknek a kiszámításához nem skaláris szorzatra van szükség, hanem csak egy alapra és annak kettős alapjára.
[x→]=(x1x2){\ displaystyle [{\ vec {x}}] = {\ elején {pmatrix} x ^ {1} \\ x ^ {2} \ end {pmatrix}}}[ℓ]=(ℓ1ℓ2){\ displaystyle [\ ell] = {\ kezdete {pmatrix} \ ell _ {1} és \ ell _ {2} \ end {pmatrix}}}
Ez az Einstein-egyezménynek nevezett egyezmény továbbmegy: az írás azt jelenti : implikált az idézés .
ℓénxén{\ displaystyle \ displaystyle \ ell _ {i} x ^ {i}}∑én=1nemℓénxén{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ ell _ {i} x ^ {i}}
Nem állhatunk végre típusú termékekkel , mert ez azt jelentené, hogy implicit módon pontot használtunk volna (melyiket?), De Einstein konvenciójában a dot terméket kifejezetten kell kifejezni .
ℓénxén{\ displaystyle \ ell ^ {i} x ^ {i}}
A felületek (vagy általánosabban a sokaságok) esetében a szokásos bázisok nem ortonormálisak (a skaláris szorzattól függő fogalom): egy koordináta-rendszer bázisai , olyan bázisok, amelyek a tartózkodási helyünktől függően változnak.
(e→én|x→)én=1,...,nem{\ displaystyle ({\ vec {e}} _ {i} {\ Biggr |} _ {\ vec {x}}) _ {i = 1, ..., n}}
Ha egy skaláris szorzatot (általánosabban egy metrikát) vezetünk be, a skaláris szorzatot például egy pontban megjegyezzük, és mátrixa képviseli ebben az alapban. Ezt a mátrixot gyakran megjegyzik , ahol tehát (skaláris szorzat két bázusvektor egy pontján).
(⋅,⋅)gx→{\ displaystyle (\ cdot, \ cdot) _ {g _ {\ vec {x}}}}[génj(x→)]{\ displaystyle [g_ {ij} ({\ vec {x}})]}génj(x→)=(e→én|x→,e→j|x→)gx→{\ displaystyle g_ {ij} ({\ vec {x}}) = ({\ vec {e}} _ {i} {\ Biggr |} _ {\ vec {x}}, {\ vec {e}} _ {j} {\ Biggr |} _ {\ vec {x}}) _ {g _ {\ vec {x}}}}
Így a folyosón `` kovariáns „” `` kontravariáns covector „”→{\ displaystyle \ rightarrow} jelentése explicit és egyértelmű Einstein konvenció: és a kapcsolat a kovariáns komponensek és a komponensek (a reprezentatív vektor ) van explicit : a koherencia a pozíciók a indexek és a ponttermék kitevői és láthatósága . Ugyanaz .
ℓ(v→)=∑jℓjvj=(ℓ→g,v→)g=∑énjℓéngénjvj{\ displaystyle \ ell ({\ vec {v}}) = \ sum _ {j} \ ell _ {j} v ^ {j} = ({\ vec {\ ell}} _ {g}, {\ vec {v}}) _ {g} = \ sum _ {ij} \ ell ^ {i} g_ {ij} v ^ {j}}ℓén{\ displaystyle \ ell _ {i}}ℓén{\ displaystyle \ ell ^ {i}}ℓ→g{\ displaystyle {\ vec {\ ell}} _ {g}}ℓ{\ displaystyle \ ell}ℓj=∑énℓéngénj{\ displaystyle \ ell _ {j} = \ sum _ {i} \ ell ^ {i} g_ {ij}}ℓén=∑jgénjℓj{\ displaystyle \ ell ^ {i} = \ sum _ {j} g ^ {ij} \ ell _ {j}}
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">