Böttcher egyenlete

A Lucjan Böttcherről (1872–1937) elnevezett Böttcher-egyenlet a funkcionális egyenlet

{\ displaystyle F (h (z)) = (F (z)) ^ {n} ~,}

vagy

h egy adott analitikai függvény , amelynek n a sorrendje szuper vonzó rögzített sorrendű , vagyis: a szomszédságában, n ≥ 2 ${\ displaystyle h (z) = a + c (za) ^ {n} + O ((za) ^ {n + 1}) ~,}$
$F$ az ismeretlen függvény.

Ennek a funkcionális egyenletnek a logaritmusa megegyezik a Schröder-egyenlettel .

Megoldás

Lucian Emil Böttcher vázolja igazolás 1904 a létezését analitikus megoldást F a szomszédságában a fixpont egy , oly módon, hogy az F ( a ) = 0. Ez a megoldás néha a Böttcher koordináta . (A teljes demonstrációt Joseph Ritt tette közzé 1920-ban, és figyelmen kívül hagyta az eredeti megfogalmazást.)

A Böttcher-koordináta (a Schröder-függvény logaritmusa ) konjugálja a h (z) $h (z)$ -t a rögzített pont szomszédságában a $z n$ függvénnyel . Egy különösen fontos eset az, amikor $H (z)$ egy polinomiális fokú N, és a = ∞.

Alkalmazások

A Böttcher-egyenlet alapvető szerepet játszik a holomorf dinamika területén, amely egy komplex változó polinomjainak iterációját vizsgálja .

A Böttcher-koordináta globális tulajdonságait Fatou , Douady és Hubbard tanulmányozta .

Lásd is

Schröder-egyenlet

Hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia " Böttcher egyenlete " című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .

LE Böttcher , " Az iterációk konvergenciájának főbb törvényei és alkalmazásuk az elemzéshez (orosz nyelven) ", Izv. Kazan. Fiz.-Mat. Obshch. , vol. 14,1904, P. 155–234
Joseph Ritt , „ A racionális funkciók iterációjáról ”, ford. Keserű. Math. Soc , vol. 21, n o 3,1920, P. 348–356 ( DOI 10.1090 / S0002-9947-1920-1501149-6 )
Stawiska, Małgorzata (2013. november 15.).
CC Cowen , „ Böttcher funkcionális egyenletének analitikai megoldásai az egységlemezen ”, Aequationes Mathematicae , vol. 24,1982, P. 187–194 ( DOI 10.1007 / BF02193043 )
P. Fatou , " A funkcionális egyenletekről, I ", Bulletin of the Mathematical Society of France , vol. 47,1919, P. 161–271 ( online olvasás )
A. Douady és J. Hubbard , „ A komplex polinomok dinamikus vizsgálata (első rész) ”, Publ. Math. Orsay ,1984( online olvasás )