Barré de Saint-Venant egyenletek

A kvázi egydimenziós áramlásokat, például a vízfolyásokét az Adhémar Barré de Saint-Venant által 1871 - ben kapott és 1888-ban tisztázott Barré de Saint-Venant egyenletek írják le .

Ezt a nevet kiterjesztve kiterjesztették a sekély vízben folyó folyásokra (angolul a sekély vízben ), amelyek kvázi kétdimenziós problémáknak felelnek meg. A geofizikában megtalálhatók például az árapályáramok leírására . Ezekhez a jelenségekhez társulnak hullámok ( Rossby-hullám , Kelvin-hullám , Poincaré hullám, árapály , szökőár ), néhányuk tanulmányozása 1850 előtt van.

Ezek az áramlások reprezentatívak a nem diszpergáló közegekre. Egyébként a közeget a Boussinesq-egyenletek írják le .

Sekély víz folyik

S ( x , y ) -vel jelöljük a felszín magasságát a geoid vonatkozásában , b ( x , y ) a szilárd felületet, H = s - b-vel a folyadék magasságát és g- rel a gravitációt negatívan számolva.

A sekély vízben folyó áramlási egyenletek, ahol feltételezzük a kis sebesség függőleges w komponensét a vízszintes alkatrészek előtt, és ezek z-től függetlenek

∂s∂t+∂∂x(Hu)+∂∂y(Hv)=0,H=s-b{\ displaystyle {\ frac {\ részleges s} {\ részleges t}} + {\ frac {\ részleges} {\ részleges x}} (Hu) + {\ frac {\ részleges} {\ részleges y}} (Hv ) = 0 \ ,, \; \; \; \; \; H = sb} ∂u∂t+u∂u∂x+v∂u∂y+g∂s∂x=0{\ displaystyle {\ frac {\ részben u} {\ részleges t}} + u {\ frac {\ részleges u} {\ részleges x}} + v {\ frac {\ részleges u} {\ részleges y}} + g {\ frac {\ részleges s} {\ részleges x}} = 0} ∂v∂t+u∂v∂x+v∂v∂y+g∂s∂y=0{\ displaystyle {\ frac {\ részleges v} {\ részleges t}} + u {\ frac {\ részleges v} {\ részleges x}} + v {\ frac {\ részleges v} {\ részleges y}} + g {\ frac {\ részleges s} {\ részleges y}} = 0}

A nyomást az egyes függőleges tengelyek hidrosztatikai egyensúlyából vezetik le.

Könnyen általánosíthatók abban az esetben, ha figyelembe akarják venni a Coriolis-erőt, és nehezebbek, ha figyelembe akarják venni a viszkózus hatásokat.

Demonstráció

Alapegyenletek

Az Euler-egyenletek meg vannak írva

• Tömöríthetetlen egyenlet a V = ( u , v , w ) sebességvektorhoz

∇⋅V=0{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V} = 0}

• Momentum egyenlegegyenlet

DVDt=∂V∂t+∇⋅(VV)=-1ρ∇o+g{\ displaystyle {\ frac {D \ mathbf {V}} {Dt}} = {\ frac {\ részleges \ mathbf {V}} {\ részleges t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ balra (\ mathbf {V} \ mathbf {V} \ right) = - {\ frac {1} {\ rho}} \ mathbf {\ nabla} p + \ mathbf {g}}

ahol ρ az állandó sűrűség, p a nyomás és g a gravitáció.

A határértékek feltételei

A kiemelkedések számítanak képest a geoid .

A határfeltételek

• a padlón z = -b ( x , y ) a sebesség nulla

V⋅∇(z+b)=0=w+V⋅∇b{\ displaystyle \ mathbf {V} \ cdot \ nabla (z + b) = 0 = w + \ mathbf {V} \ cdot \ nabla b}

• a felületen z = s ( x , y ) a nyomás a külső nyomás p 0 , és a normál sebesség w kapcsolódik s által

DsDt=∂s∂t+V⋅∇s=w{\ displaystyle {\ frac {Ds} {Dt}} = {\ frac {\ részleges s} {\ részleges t}} + \ mathbf {V} \ cdot \ nabla s = w}

Tömegvédelem

Bemutatjuk a H = s - b vízmagasságot és az átlagsebességeket

u¯=1H∫-bsudz,v¯=1H∫-bsvdz{\ displaystyle {\ overline {u}} = {\ frac {1} {H}} \ int _ {- b} ^ {s} u \ mathrm {d} z \ ,, \; \; \; {\ overline {v}} = {\ frac {1} {H}} \ int _ {- b} ^ {s} v \ mathrm {d} z}

Azáltal, hogy az egyenlet folyamatosságának z és használata Leibniz szabály van

0=∫-bs∇⋅Vdz=∫-bs(∂u∂x+∂v∂y+∂w∂z)dz=∂∂x∫-bsudz⏟Hu¯+∂∂y∫-bsvdz⏟Hv¯-u|z=s∂z∂x-v|z=s∂z∂y+w|z=s⏟w-V⋅∇s=∂s∂t=∂H∂t-(u|z=-b∂b∂x+v|z=-b∂b∂y+w|z=-b)⏟w+V⋅∇b=0{\ displaystyle {\ begin {tömb} {lcl} 0 & = & \ int _ {- b} ^ {s} \ nabla \ cdot \ mathbf {V} \ mathrm {d} z \\ [0.6em] & = & \ int _ {- b} ^ {s} \ balra ({\ frac {\ részben u} {\ részleges x}} + {\ frac {\ részleges v} {\ részleges y}} + {\ frac {\ részleges w} {\ részleges z}} \ jobbra) \ mathrm {d} z \\ [0.6em] & = & {\ frac {\ részleges} {\ részleges x}} \ alátét {\ int _ {- b} ^ {s} u \ mathrm {d} z} _ {H {\ overline {u}}} + {\ frac {\ részleges} {\ részleges y}} \ alátét {\ int _ {- b} ^ {s } v \ mathrm {d} z} _ {H {\ overline {v}}} \ underbrace {- \ left.u \ right | _ {z = s} {\ frac {\ részben z} {\ részleges x} } - \ bal.v \ jobb | _ {z = s} {\ frac {\ részleges z} {\ részleges y}} + \ bal.w \ jobb | _ {z = s}} _ {w- \ mathbf {V} \ cdot \ nabla s = {\ frac {\ részleges s} {\ részleges t}} = {\ frac {\ részleges H} {\ részleges t}}} - \ mellet {\ balra (\ left.u \ jobb | _ {z = -b} {\ frac {\ részleges b} {\ részleges x}} + \ bal.v \ jobb | _ {z = -b} {\ frac {\ részleges b} {\ részleges y}} + \ left.w \ right | _ {z = -b} \ right)} _ {w + \ mathbf {V} \ cdot \ nabla b = 0} \ end {tömb}}}

Így új tömegmegőrzési egyenletet kapunk

∂H∂t+∂∂x(Hu¯)+∂∂y(Hv¯)=0{\ displaystyle {\ frac {\ részleges H} {\ részleges t}} + {\ frac {\ részleges} {\ részleges x}} (H {\ overline {u}}) + {\ frac {\ részleges} { \ részleges y}} (H {\ overline {v}}) = 0}

Ha ráadásul feltételezzük, hogy u és v függetlenek z-től, ez az egyenlet

∂H∂t+∂∂x(Hu)+∂∂y(Hv)=0{\ displaystyle {\ frac {\ részleges H} {\ részleges t}} + {\ frac {\ részleges} {\ részleges x}} (Hu) + {\ frac {\ részleges} {\ részleges y}} (Hv ) = 0}

A lendület megőrzése

A függőleges mentén

Hipotézis szerint w nagyon kicsi az u és v értékekhez képest . A függőleges összetevője a lendület egyenlet van írva, elhanyagolva a származékok u a x és v a y

DwDt=-1ρ∂o∂z+g,g<0{\ displaystyle {\ frac {Dw} {Dt}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ részleges p} {\ részleges z}} + g \ ,, \; \; \ ; \; \; g <0}

A w wagragrangi származékának elhanyagolásával a z impulzusegyenlet hidrosztatikai egyensúlyra csökken

∂o∂z=ρg{\ displaystyle {\ frac {\ részleges p} {\ részleges z}} = \ rho g}

amelynek oldata azonnali ( feltételezzük, hogy g állandó a figyelembe vett magasságon)

o=ρg(z-s)+o0{\ displaystyle p = \ rho g (zs) + p_ {0}}

honnan

∂o∂x=-ρg∂s∂x,∂o∂y=-ρg∂s∂y{\ displaystyle {\ frac {\ részleges p} {\ részleges x}} = - \ rho g {\ frac {\ részleges s} {\ részleges x}} \ ,, \; \; \; \; \; { \ frac {\ részleges p} {\ részleges y}} = - \ rho g {\ frac {\ részleges s} {\ részleges y}}}A vízszintes mentén

Elhanyagolásával a származékok Z az u és v és figyelembe véve a fenti egyenletek a komponenseket a lendület egyenlet vannak írva

∂u∂t+u∂u∂x+v∂u∂y+g∂s∂x=0{\ displaystyle {\ frac {\ részben u} {\ részleges t}} + u {\ frac {\ részleges u} {\ részleges x}} + v {\ frac {\ részleges u} {\ részleges y}} + g {\ frac {\ részleges s} {\ részleges x}} = 0} ∂v∂t+u∂v∂x+v∂v∂y+g∂s∂y=0{\ displaystyle {\ frac {\ részleges v} {\ részleges t}} + u {\ frac {\ részleges v} {\ részleges x}} + v {\ frac {\ részleges v} {\ részleges y}} + g {\ frac {\ részleges s} {\ részleges y}} = 0}

Ez a rendszer hiperbolikus, és mint ilyen, megengedi a jellegzetes hullámokat, amelyeket gravitációs hullámoknak neveznek. Ezeknek olyan sebességük van, amelyet az ember a sajátértékekből levezet

vs.=gH{\ displaystyle c = {\ sqrt {gH}}}

Egy egyszerű dimenzióelemzés elegendő ennek az értéknek a megerősítéséhez.

Ezeknek a hullámoknak a leírását úgy kapjuk meg, hogy megírjuk a tömeg megőrzési egyenletét, szorozva g ½-vel, és a konzervációs egyenleteket linearizálva és szorozva H ½-val . Feltételezzük, hogy a terjedési irány x

∂∂t(sg)+∂∂x(Huvs.)=0{\ displaystyle {\ frac {\ részleges} {\ részleges t}} (s {\ sqrt {g}}) + {\ frac {\ részleges} {\ részleges x}} ({\ sqrt {H}} uc) = 0} ∂∂t(uH)+vs.∂∂x(sH)=0{\ displaystyle {\ frac {\ részleges} {\ részleges t}} (u {\ sqrt {H}}) + c \, {\ frac {\ részleges} {\ részleges x}} (s {\ sqrt {H }}) = 0}

Helyettesítéssel hullámegyenletet kapunk

∂2∂t2(sg)=∂∂x(vs.2∂∂x(sg)){\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2}} {\ részleges t ^ {2}}} (s {\ sqrt {g}}) = {\ frac {\ részleges} {\ részleges x}} bal (c ^ {2} \, {\ frac {\ részleges} {\ részleges x}} \ bal (s {\ sqrt {g}} \ jobb) \ jobb)}

Ez az egyenlet árapályhullámot ír le (angol árapályhullám ).

Saint-Venant-egyenletek

Ezeket az egyenleteket heurisztikusan írta le, és Saint-Venant tette közzé 1871 - ben. Leírják a kvázi egydimenziós áramlást egy csatornában vagy egy vízfolyásban, amelynek szélessége l ( x ). Az áramlás keresztmetszeti területe A ( x , t ) és az áramlás átlagos sebessége U ( x , t ). A víz magassága h ( y , t ), az aljától számítva z = 0. Felírjuk a tömegmegőrzési egyenletet

∂NÁL NÉL∂t+∂∂x(NÁL NÉLU)=0{\ displaystyle {\ frac {\ részleges A} {\ részleges t}} + {\ frac {\ részleges} {\ részleges x}} (AU) = 0}

A hosszanti momentumegyenlet meg van írva

∂∂t(hU)+∂∂x(hU2)+gh∂h∂x=τxρ{\ displaystyle {\ frac {\ részleges} {\ részleges t}} (hU) + {\ frac {\ részleges} {\ részleges x}} (hU ^ {2}) + gh {\ frac {\ részleges h} {\ partic x}} = {\ frac {\ tau _ {x}} {\ rho}}}

τ x ( x , t ) a nedves P ( x , t ) kerületre alkalmazott nyírás .

Az z egyenletet a hidrosztatikai egyensúly adja meg

∂o∂z=ρg{\ displaystyle {\ frac {\ részleges p} {\ részleges z}} = \ rho g}

Ezek az egyenletek a Navier-Stokes egyenletekből nyerhetők .

Demonstráció Tömegvédelem

Amint az az előző mezőben látható, a csatorna egy pontjának megőrzését a

∂h(y)∂t+∂∂x∫0h(y)u(y,z)dz=0{\ displaystyle {\ frac {\ részleges h (y)} {\ részleges t}} + {\ frac {\ részleges} {\ részleges x}} \ int _ {0} ^ {h (y)} u (y , z) \ mathrm {d} z = 0}

Az y-be való integrációval megkapjuk a kívánt összefüggést azáltal, hogy megjegyezzük

NÁL NÉL=∫0lh(y)dy{\ displaystyle A = \ int _ {0} ^ {l} h (y) \ mathrm {d} y}

és az átlagos sebesség beállítása

U=1NÁL NÉL∫0l∫0hu(y,z)dzdy{\ displaystyle U = {\ frac {1} {A}} \ int _ {0} ^ {l} \ int _ {0} ^ {h} u (y, z) \ mathrm {d} z \ mathrm { d} y}A lendület megőrzése

A sekély víz egyenletéből indulunk ki viszkozitással, amelyben az átlagos keresztirányú sebesség nulla

∂∂t(hU)+∂∂x(hU2)+gh∂h∂x=τxρ{\ displaystyle {\ frac {\ részleges} {\ részleges t}} (hU) + {\ frac {\ részleges} {\ részleges x}} (hU ^ {2}) + gh {\ frac {\ részleges h} {\ partic x}} = {\ frac {\ tau _ {x}} {\ rho}}}

ahol τ x a fal nyírója.

Azt gondoljuk

• ∂h∂x{\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {\ részleges h} {\ részleges x}}}független y-tól (az meredekség x-ben megegyezik az egyenes szakasz összes pontjával)
• τ x szintén független y-tól

Az y- be való integrációval jön

∂∂t(NÁL NÉLU)+∂∂x(NÁL NÉLU2)+gNÁL NÉL∂h∂x=Pτxρ{\ displaystyle {\ frac {\ részleges} {\ részleges t}} (AU) + {\ frac {\ részleges} {\ részleges x}} (AU ^ {2}) + gA {\ frac {\ részleges h} {\ partic x}} = {\ frac {P \ tau _ {x}} {\ rho}}}

Figyelembe vehetjük a talaj α meredekségét úgy, hogy a gravitációt helyettesítjük z- ben szereplő komponensével, és a súly komponensét x- be vezetjük.

∂∂t(hU)+∂∂x(hU2)+ghkötözősaláta⁡α∂h∂x=ghbűn⁡α-τxρ{\ displaystyle {\ frac {\ részleges} {\ részleges t}} (hU) + {\ frac {\ részleges} {\ részleges x}} (hU ^ {2}) + gh \ cos \ alfa {\ frac { \ részleges h} {\ részleges x}} = gh \ sin \ alfa - {\ frac {\ tau _ {x}} {\ rho}}}

Nyíróértékelés

Ezt az értékelést általában a nedves kerületen levő határréteg C f súrlódási együtthatójának bevezetésével végezzük .

τx=12VSf(h,U)ρU2{\ displaystyle \ tau _ {x} = {\ frac {1} {2}} C_ {f} (h, U) \ rho U ^ {2}}

Ez az együttható a lendület áramának a falra átvitt részét képviseli . Formája a hasonlóság  törvényeiből fakad : Chézy vagy Manning-Strickler törvényei

VSf(h)=2gKs2h13{\ displaystyle C_ {f} (h) = {\ frac {2g} {K_ {s} ^ {2} \, h ^ {\ frac {1} {3}}}}}

A K együttható tapasztalatból adódik.

Hivatkozások

1. Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, "  A víz nem állandó mozgásának elmélete, a folyók áradásával és az árapály medrükbe történő bevezetésével  ", Heti beszámolók a Tudományos Akadémia üléseiről , vol. .  73,1871, P.  147–154 és 237–240
2. M. de Saint-Venant, "  Emlékirat a centrifugális erő figyelembevételéről a folyó víz mozgásának kiszámításakor, valamint a zuhatagok és folyók közötti különbségtételről  ", Emlékiratok a Francia Akadémia Tudományos Akadémiájáról , vol.  44,1888, P.  245-273 ( online olvasás )
3. M. de Saint-Venant, „  Emlékirat a folyadék élő erejének elvesztéséről azokon a helyeken, ahol áramlási szakasza hirtelen vagy gyorsan növekszik  ”, Memoirs of the Academy of Sciences of the Institut de France , vol.  44,1888, P.  193–243 ( online olvasás )
4. (in) Alex DD Craik, "  A vízhullám-elmélet eredete  " , Fluid Mechanics Annual Review , vol.  36,2004, P.  1-28 ( online olvasás )
5. (in) David A. Randall, "  sekély vízben egyenletek  "

Művek

• en) Hendrik C. Kuhlmann és Hans-Josef Rath (szerk.), Szabad felszíni áramlások , Springer-Verlag ,1998, 331  p. ( ISBN  978-3-7091-2598-4 , online olvasás )
• Olivier Thual, Hullámok és folyadékok: multimédiás oktatási cikkek , Toulouse, Cépaduès ,2005, 197  p. ( ISBN  2-85428-655-3 )
• Olivier Thual, A környezet hidrodinamikája , Les éditions de l'École Polytechnique,2010( online olvasás )
• (en) Geoffrey K. Vallis, Atmospheric and Oceanic Fluid Dynamics , Cambridge University Press ,2017( ISBN  978-1-107-58841-7 )

Lásd is

• Hullám
• Tintahal (hidrodinamikus)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">