A Nondimensionalization (más néven dédimensionnement ) a részleges vagy teljes deléciója egység egy egyenlet által megfelelő helyettesítésével változók , annak érdekében, hogy egyszerűsítse a parametrikus ábrázolását, reprezentációját a fizikai problémák. Szorosan összefügg a dimenzióanalízissel . A méretezést nem szabad összetéveszteni az egyenlet kiterjedt paramétereinek intenzív paraméterekké történő átalakításával , mert ez utóbbi eljárás mindig olyan változókhoz vezet, amelyekhez egységek kapcsolódnak.
A méretezés lehetővé teszi a rendszer jellemző tulajdonságainak megtalálását is. Például, ha egy rendszernek belső rezonancia frekvenciája , hossza vagy időállandója van , akkor a méretezés lehetővé teszi ezen értékek megtalálását. A technika különösen hasznos olyan rendszerek esetében, amelyek differenciálegyenletekkel írhatók le .
A differenciálegyenletek egyszerűsítésében számos magyarázó példát találhatunk az adaptációra. Valójában számos fizikai probléma megfogalmazható ebben a formában, és az átméretezés jól alkalmas kezelésükre. Ez azonban lehetővé teszi a differenciálegyenletek hatókörén kívül eső más típusú problémák kezelését is, például a dimenzióelemzést .
Találunk példákat a mindennapi élet méretezésére: a mérőeszközök példák. A mérőműszerek használatuk előtt valóban kalibrálva vannak egy adott ismert egység vonatkozásában; egy átalakítást ( normalizálást ) alkalmaznak az elvégzett mérésekre annak érdekében, hogy ezeket ebben az egységben elérjék, a fordított eljárás lehetővé teszi a mérés valós értékének megtalálását a megfelelő normalizált értékből.
Tegyük fel, hogy az inga a T periódusban leng . Előnyös lehet egy ilyen oszcilláló rendszer tanulmányozása, hogy ezt a T vonatkozásában tegyük . Ezt a műveletet a mérés egyfajta normalizálásának tekinthetjük az időszakhoz képest.
A rendszer belső tulajdonságával kapcsolatos mérések más rendszerekre is vonatkoznak, amelyek ugyanazzal a belső tulajdonsággal rendelkeznek. Ez lehetővé teszi egy közös tulajdonság összehasonlítását ugyanazon rendszer különböző megvalósításaihoz . A méretezés szisztematikusan meghatározza a rendszer jellegzetes egységeit, anélkül, hogy ennek a belső tulajdonságait pontosan meg kellene ismerni. Valójában a méretezés olyan paraméterekre utalhat, amelyeket fel kell használni a rendszer elemzésére; el kell indulni azonban egy megfelelően leíró egyenletből.
Az egyenletrendszer méretezését a következő eljárás szerint végezzük:
Az utolsó három lépés általában arra a problémára vonatkozik, amelyre a méretezést alkalmazzák. Ezzel szemben az első két lépés lényegében minden rendszer szempontjából elengedhetetlen.
Példaként vegyük figyelembe az állandó együtthatókkal rendelkező elsőrendű differenciálegyenletet:
Vegyünk egy egyszerű rendszer jellemzi két változó: a függő változó és a független változó , ahol egy funkció a . A változók és mindkettő egységnyi mennyiséget jelent. E két változó normalizálásához tegyük fel, hogy két belső mértékegység létezik , amelyek egységei megegyeznek a -val, és a következő feltételek teljesülnek:
Ezeket az egyenleteket kicserélésre és az átméretezés során használják . Ha az eredeti rendszer leírásához differenciál operátorokra van szükség, akkor normalizált társaik dimenzió nélküli differenciál operátorrá válnak.
KonvenciókBár az x és t helyettesítésére szánt nevek nem tartoznak semmilyen korlátozás alá, általában úgy választják meg őket, hogy kényelmesnek és intuitívnak tűnjenek, amikor a vizsgált problémában használják. Például, ha x tömeget képvisel , akkor az m betű megfelelő szimbólum lehet a dimenzió nélküli tömeg mennyiségének képviseletére.
Ebben a cikkben a következő konvenciókat használják:
A mennyiséghez társított változó nevéhez fűzött előfizetéses c értéket használjuk a mennyiség normalizálásához használt jellemző egység megjelölésére. Például, ha x mennyiség, akkor x c a normalizálásához használt jellemző egység.
DifferenciálműködtetőkTekintsük a kapcsolatot
A dimenzió nélküli differenciáloperátorok kifejezése a független változóhoz képest válik
Kényszer funkcióHa egy rendszer f ( t ) kényszerítő funkcióval rendelkezik , akkor
Így az új F kényszerítő függvényt a dimenzió nélküli τ mennyiségtől teszik függővé .
Tekintsük az elsőrendű rendszer differenciálegyenletét:
A karakterisztikus egységek levezetése megadja
A második rendű rendszer formájú
Csere lépésCseréljük le az x és t változókat dimenzió nélküli megfelelőikkel. Az egyenlet lesz
Ez az új egyenlet nem dimenzió nélküli, bár az összes egységnyi változót elkülönítik az együtthatók. Ha elosztjuk a legmagasabb rendû tag együtthatójával, az egyenlet lesz
Ezután meg kell határozni x c és t c mennyiségét, hogy az együtthatók normalizálódjanak. Mivel két szabad paraméter létezik, legfeljebb csak két együtthatót lehet megegyezni eggyel.
A jellemző egységek meghatározásaTekintsük a t c változót :
Mindkét helyettesítés érvényes. Oktatási okokból azonban az utolsó helyettesítést másodrendű rendszereknél alkalmazzák. Ennek a helyettesítésnek a kiválasztása lehetővé teszi x c meghatározását a kényszerítő függvény együtthatójának normalizálásával:
A differenciálegyenlet lesz
Az első rendű kifejezés együtthatója egységtelen. Határozzuk meg
A 2-es tényező jelenléte lehetővé teszi a megoldások paraméterezését a ζ függvényében. A mechanikus vagy elektromos rendszerek összefüggésében a ζ csillapítási sebesség néven ismert , és fontos paraméter a vezérlőrendszerek elemzéséhez. A meghatározás eredménye a harmonikus oszcillátor differenciálegyenlete :
Az n sorrend lineáris differenciálegyenletét állandó együtthatókkal írjuk meg, általános formájában:
Az f ( t ) függvényt erőfüggvénynek nevezzük .
Ha a differenciálegyenlet csak valós együtthatókat tartalmaz (nincsenek összetett együtthatók), akkor egy ilyen rendszer csak az első és a másodrendű rendszerek kombinációjaként viselkedik. Ez azért van, mert a gyökerei annak karakterisztikus polinom amelyek vagy valós vagy pár konjugátum komplexek . Így annak megértése, hogy az adaptáció hogyan alkalmazható az első és a másodrendű rendszerekre, lehetővé teszi a magasabb rendű rendszerek tulajdonságainak meghatározását a szuperpozíció elvének felhasználásával .
A rendszer dimenzió nélküli formájában a szabad paraméterek száma annak sorrendjével növekszik. Emiatt a méretezést ritkán alkalmazzák a magas rendű differenciálegyenleteknél. A hivatalos számítás megjelenése szintén csökkentette ennek az eljárásnak a szükségességét.
Lehetséges a különféle fizikai rendszerek közelítő ábrázolása első vagy másodrendű rendszerek segítségével. Ez különösen érvényes a mechanikai, elektromos, folyadék, termikus és torziós rendszerek esetében. Valójában az egyes példákban szereplő alapvető fizikai mennyiségeket első és másodrendű származékok kapcsolják össze.
Mechanikus rezgésekTegyük fel, hogy egy rugóhoz és egy lengéscsillapítóhoz rögzített tömeg, amelyek maguk is a falhoz vannak rögzítve, és egy erő, amely ugyanazon a vonalon hat a tömegre.
Határozzuk meg:
Tegyük fel, hogy az alkalmazott erő szinusz hullám F = F 0 cos (ω t ); a blokk mozgását leíró differenciálegyenlet ekkor:
Ezen egyenlet átméretezése a fenti második rendű rendszer témában leírt módszer szerint a rendszer több jellemzőjét mutatja.
Az x c belső egység megfelel annak a távolságnak, amellyel a blokk erőegységenként mozog
A t c jellemző változó megegyezik a rezgések periódusával
és a dimenzió változó 2 ζ megfelel a rendszer sávszélessége. ζ maga az amortizációs ráta .
Elektromos rezgések Első rend: soros RC áramkörEgy sorozat RC áramkör csatlakozik egy tápegység
akár cserék után
az első jellemző egység megfelel az áramkör teljes elektromos töltésének . A második jellemző egység megfelel a rendszer időállandójának .
Második sorrend: soros RLC áramkörR , C , L komponensek soros konfigurációjára, ahol Q a rendszer terhelése
akár cserék után
Az első változó megfelel az áramkörben tárolt maximális töltésnek. A rezonáns frekvenciát a karakterisztikus idő inverze adja. Az utolsó kifejezés a rendszer sávszélessége. Az Ω a standardizált kényszerítő funkció frekvenciájának tekinthető.
Általános felbontási módszer hiányában megelégszünk egy kvantummechanikából kölcsönzött példával .
A Schrödinger-egyenlet egy időtől független egydimenziós harmonikus oszcillátor van:
;Ez egy lineáris differenciálegyenlet, de nem állandó együtthatókkal (a kifejezés jelenléte miatt ).
A ψ hullámfüggvény valószínûséget képvisel, amely bizonyos értelemben már dimenzió nélküli és normalizált. Ezért nem szükséges a hullámfüggvény átméretezése. Viszont át kell írni egy dimenzió nélküli változó függvényében. Ezenkívül az x változónak van egy típushossz-egysége. Helyettesítsük akkor:
A differenciálegyenlet:
Hogy a χ ² előtti kifejezést dimenziómentessé tegyük, állítsuk be:
Az így kapott teljes dimenzió nélküli egyenlet:
A méretezési tényező energia ugyanaz, mint a talaj állapotát , a harmonikus oszcillátor. Általában az energiának megfelelő kifejezés nem válik dimenziótlanná, mert a kvantummechanika egyik fő célja a rendszer állapotainak energiáinak meghatározása . Az első egyenlet átrendezésével a kvantumharmonikus oszcillátor egyenletét kanonikus formába helyezzük:
.