Vaschy-Buckingham-tétel
A matematika , a Vaschy-Buckingham tétel , vagy Pi tétel , az egyik alapvető tételei dimenziós elemzést . Ez a tétel megállapítja, hogy ha egy fizikai egyenlet n fizikai változót tartalmaz, amelyek k alapegységtől függenek , akkor létezik egy egyenértékű egyenlet, amely az eredeti változókból felépített dimenzió nélküli változókat foglalja magában .
nem-k{\ displaystyle nk}
Bár Aimé Vaschy és Edgar Buckingham fizikusokról nevezték el , ezt a tételt Joseph Bertrand francia matematikus mutatta be először 1878-ban.
Vaschy nyilatkozata
Vannak , , , ... a fizikai mennyiségek, az első jelentések szerint különböző alapegységek és az utolsó is származó egységek alapvető egység (például lehet egy hosszú, tömeg, idő és egyéb mennyiségek , ... lenne erők, sebességek stb.; akkor ). Ha ezek között a mennyiségek között összefüggés van:
nál nél1{\ displaystyle a_ {1}}nál nél2{\ displaystyle a_ {2}}nál nél3{\ displaystyle a_ {3}}nál nélnem{\ displaystyle a_ {n}}o{\ displaystyle p}(nem-o){\ displaystyle (np)}o{\ displaystyle p}nál nél1{\ displaystyle a_ {1}}nál nél2{\ displaystyle a_ {2}}nál nél3{\ displaystyle a_ {3}}(nem-3){\ displaystyle (n-3)}nál nél4{\ displaystyle a_ {4}}nál nél5.{\ displaystyle a_ {5}}nál nélnem{\ displaystyle a_ {n}}o=3{\ displaystyle p = 3}nem{\ displaystyle n}
F(nál nél1,nál nél2,...nál nélnem)=0,{\ displaystyle F (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots a_ {n}) = 0,}amely az alapvető egységek tetszőleges méretétől függetlenül fennáll, ez a kapcsolat legfeljebb más paraméterekre csökkenthető , nevezetesen:
(nem-o){\ displaystyle (np)}
f(x1,x2,...xnem-o)=0,{\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots x_ {np}) = 0,}beállítások , ... monomális függvények , ... (vagyis a ).
x1{\ displaystyle x_ {1}}x2{\ displaystyle x_ {2}}xnem-o{\ displaystyle x_ {np}}nál nél1{\ displaystyle a_ {1}}nál nél2{\ displaystyle a_ {2}}nál nélnem{\ displaystyle a_ {n}}x1=NÁL NÉL.nál nél1α1nál nél2α2...nál nélnemαnem{\ displaystyle x_ {1} = A.a_ {1} ^ {\ alpha 1} a_ {2} ^ {\ alpha 2} \ ldots a_ {n} ^ {\ alpha n}}αén∈R{\ displaystyle \ alpha _ {i} \ in \ mathbb {R}}
Példa
A folyadékdinamikában a legtöbb helyzet a következő tíz fizikai mennyiségtől függ:
Ezt a tíz mennyiséget három dimenzió határozza meg, amely lehetővé teszi 10-3 = 7 független dimenzió nélküli szám meghatározását . A változók, amelyek valószínűleg méretezésként jelennek meg, a V , ρ és l , amelyeket ezért új alapmennyiségként választunk.
Levezetjük a tőle függő dimenzió nélküli számokat:
π1=ΔoρV2=VSP{\ displaystyle \ pi _ {1} = {\ frac {{\ Delta} p} {{\ rho} V ^ {2}}} = C_ {P}},
nyomási együttható
π2=Vgl=Fr{\ displaystyle \ pi _ {2} = {\ frac {V} {\ sqrt {gl}}} = \ mathrm {Fr}},
Froude szám
π3=Vlρμ=Re{\ displaystyle \ pi _ {3} = {\ frac {Vl \ rho} {\ mu}} = \ mathrm {Re}},
Reynolds-szám
π4=V2lρσ=We{\ displaystyle \ pi _ {4} = {\ frac {V ^ {2} l \ rho} {\ sigma}} = \ mathrm {We}},
Weber szám
π5.=VKρ=Mnál nél{\ displaystyle \ pi _ {5} = {\ frac {V} {\ sqrt {\ frac {K} {\ rho}}}} = \ mathrm {Ma}},
Mach szám
π6.=lD{\ displaystyle \ pi _ {6} = {\ frac {l} {D}}}, hossz / átmérő arány
π7=εD{\ displaystyle \ pi _ {7} = {\ frac {\ varepsilon} {D}}}, relatív érdesség.
Vaschy-tüntetés
Annak bizonyítására, a tétel a fenti, észre, hogy a mennyiségeket , ... számol be származó egységeket, ez azt jelenti, hogy lehet találni a kiállítók , ... , ..., mint a digitális értékek jelentések
nál nélo+1{\ displaystyle a_ {p + 1}}nál nélo+2{\ displaystyle a_ {p + 2}}nál nélnem{\ displaystyle a_ {n}}α{\ displaystyle \ alpha}β{\ displaystyle \ beta}α′{\ displaystyle \ alpha '}β′{\ displaystyle \ beta '}
nál nélo+1nál nél1αnál nél2β...nál néloλ=x1, nál nélo+2nál nél1α′nál nél2β′...nál néloλ′=x2,...,{\ displaystyle {\ frac {a_ {p + 1}} {a_ {1} ^ {\ alpha} a_ {2} ^ {\ beta} \ ldots a_ {p} ^ {\ lambda}}} = x_ {1 }, \ \ {\ frac {a_ {p + 2}} {a_ {1} ^ {\ alpha '} a_ {2} ^ {\ beta'} \ ldots a_ {p} ^ {\ lambda '}}} = x_ {2}, \ ldots,}független az alapvető egységek önkényes értékeitől. (Így , , , jelölő hosszúság, tömeg, idő és erő, az arány , például lenne értéke független a választott egységek). A kapcsolat azonban:
nál nél1{\ displaystyle a_ {1}}nál nél2{\ displaystyle a_ {2}}nál nél3{\ displaystyle a_ {3}}nál nél4{\ displaystyle a_ {4}}nál nél4nál nél1nál nél2nál nél3-2{\ displaystyle {\ frac {a_ {4}} {a_ {1} a_ {2} a_ {3} ^ {- 2}}}}
F(nál nél1,nál nél2,...nál nélo,nál nélo+1,nál nélo+2,...)=0,{\ displaystyle F (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots a_ {p}, a_ {p + 1}, a_ {p + 2}, \ ldots) = 0,}írható:
F(nál nél1,nál nél2,...nál nélo,x1nál nél1αnál nél2β...nál néloλ,x2nál nél1α′nál nél2β′...nál néloλ′,...)=0.{\ displaystyle F (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots a_ {p}, x_ {1} a_ {1} ^ {\ alpha} a_ {2} ^ {\ beta} \ ldots a_ {p} ^ {\ lambda}, x_ {2} a_ {1} ^ {\ alpha '} a_ {2} ^ {\ beta'} \ ldots a_ {p} ^ {\ lambda '}, \ ldots) = 0.}De változtatásával méretű alapvető egység, tudjuk, hogy önkényesen változó számszerű mennyiségek értékeit , ... , melynek belső értékeket állandónak tételezzük fel, míg a digitális értékek , ... nem fog változni. A tetszőleges értékektől függetlenül fennálló előző kapcsolatnak , ... , függetlennek kell lennie ezektől a paraméterektől; ez a kapcsolat tehát a legegyszerűbb formát ölti:
nál nél1{\ displaystyle a_ {1}}nál nél2{\ displaystyle a_ {2}}nál nélo{\ displaystyle a_ {p}}x1{\ displaystyle x_ {1}}x2{\ displaystyle x_ {2}}xnem-o{\ displaystyle x_ {np}}nál nél1{\ displaystyle a_ {1}}nál nél2{\ displaystyle a_ {2}}nál nélo{\ displaystyle a_ {p}}
f(x1,x2,...xnem-o)=0.{\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots x_ {np}) = 0.}
Általánosítás
Vaschy állításában az első mennyiségeknek különálló alapvető egységekhez kell kapcsolódniuk. Az általánosítás egyszerűen abból áll, hogy figyelembe vesszük, hogy az első mennyiségek dimenziófüggetlenek, vagyis ezeknek a mennyiségeknek a méretei nem írhatók fel a többi mennyiség dimenzióinak monomiális függvényeként. Vegyünk például 4 fizikai mennyiséget, egy térfogatsűrűséget , egy területet , sebességet és gyorsulást . A változók , és méretfüggetlenek; másrészt a változók , és nem azok, mert .
o{\ displaystyle p}o{\ displaystyle p}ρ{\ displaystyle \ rho}NÁL NÉL{\ displaystyle A}V{\ displaystyle V}nál nél{\ displaystyle a}ρ{\ displaystyle \ rho}NÁL NÉL{\ displaystyle A}V{\ displaystyle V}NÁL NÉL{\ displaystyle A}V{\ displaystyle V}nál nél{\ displaystyle a}[nál nél]=[V]2[NÁL NÉL]-1/2{\ displaystyle [a] = [V] ^ {2} [A] ^ {- 1/2}}
A "Tétel Π" név eredete
Ezt a tételt or tételnek is hívják, mert a fizikában szokás a Π betűt olyan dimenzió nélküli fizikai változókhoz használni, amelyek nem Reynolds , Prandtl vagy Nusselt számok . Így nevezik őket a Buckingham-cikkben.
Példák alkalmazásokra
Gömb térfogata
A kötet egy gömb függ csak a sugara . Ezért igazol egy egyenletet .
V{\ displaystyle V}R{\ displaystyle R}F(V,R)=0{\ displaystyle F (V, R) = 0}
Az SI egységben a 2 változó és és méretben van méretezve . Az egyenlet 2 változóval és egyetlen egységgel rendelkezik .
[V]=[L]3{\ displaystyle [V] = [L] ^ {3}}[R]=[L]{\ displaystyle [R] = [L]}V{\ displaystyle V}R{\ displaystyle R}[L]{\ displaystyle [L]}
A tétel szerint létezik olyan funkció , hogy hol van egy dimenzió nélküli állandó.
f{\ displaystyle f}f(NÁL NÉL,R)=0{\ displaystyle f (A, R) = 0}NÁL NÉL{\ displaystyle A}
Ahhoz, hogy megtalálja a funkciót , meg kell találni egy pár olyan, hogy . Vagy: . Vehetjükf{\ displaystyle f}(α,β){\ displaystyle ({\ alpha}, {\ beta})}[V]α.[R]β=1{\ displaystyle [V] ^ {\ alpha}. [R] ^ {\ beta} = 1}[L]3α.[L]β=[L]0{\ displaystyle [L] ^ {3 {\ alpha}}. [L] ^ {\ beta} = [L] ^ {0}}(α,β)=(1,-3){\ displaystyle ({\ alpha}, {\ beta}) = (1, -3)}
Ezután a függvény megírásra kerül . Megállapítottuk, hogy az eredmény konstans dimenzió nélkül (amelynek értéke ).
f{\ displaystyle f}f(V1R3,R)=0{\ displaystyle f ({\ frac {V ^ {1}} {R ^ {3}}}, R) = 0}VR3=NÁL NÉL{\ displaystyle {\ frac {V} {R ^ {3}}} = A}4π3{\ displaystyle {\ frac {4 \ pi} {3}}}
Sport
A Vaschy-Buckingham-tétel fizikán kívüli hasznossága nincs kizárva, de nem vizsgálták részletesen. 2020-ban alkalmazták a sporttudomány területén.
Megjegyzések és hivatkozások
Megjegyzések
-
Többek között azt eredményezi, hogy 5% -on belül egy gömb térfogata, akár femtométerekben, akár fényévekben dolgozik, megegyezik az átmérője kockájának felével.
Hivatkozások
-
Vaschy Aimé , „ A hasonlóság törvényeiről a fizikában ”, Annales Télégraphiques , vol. 19,1892. január-február, P. 25–28.
-
(a) Edgar Buckingham , " mind a fizikai hasonló rendszerek. Illusztrációk a dimenziós egyenletek használatáról ” , Physical Review , vol. 4, n o 4,1914, P. 345-376.
-
Joseph Bertrand , „ A homogenitásról a fizika képleteiben ”, Proceedings , vol. 86, n o 15,1878, P. 916–920 ( online olvasás ).
-
(in) Grigory Isaakovich Barenblatt, méretezés, önhasonlóság és köztes aszimptotikumok: dimenzióanalízis és köztes aszimptotikumok , vol. 14, Cambridge University Press ,1996, 408 p. ( ISBN 0-521-43516-1 ).
-
Julien Blondeau , " A mezőméret, a gólméret és a játékosok számának hatása a meccsenkénti átlagos gólszámra a futball és a jégkorong változataiban: a Pi-tétel a csapatsportokra vonatkozott ", Journal of Quantitative Analysis in sports , Ezen felül többet kell tudni róla.2020( online olvasás )
Lásd is
Kapcsolódó cikkek
Külső linkek
Bibliográfia
(en) Tatjana Misic, Marina Najdanovic-Lukic és Ljubisa Nesic, „ Dimenzióelemzés a fizikában és a Buckingham-tétel ” , European Journal of Physics , vol. 31, n o 4,2010, P. 893-906 ( DOI doi: 10.1088 / 0143-0807 / 31/4/019 ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">