Tenzor algebra
A matematikában a tenzor algebra egy olyan mező fölötti algebra, amelynek elemeit (ún. Tenzoroknak ) egy adott vektortér vektoraival képzett "szavak" lineáris kombinációi képviselik . Ezeknek a szavaknak az egyetlen lineáris függőségi viszonyát a vektorok közötti lineáris kombinációk indukálják.
Ha az alapul szolgáló vektortérnek van bázisa , akkor annak tenzor algebráját azonosítjuk az ezen alap által generált szabad unitárius asszociatív algebrával . Ha ez az alap véges, akkor a tenzorokat koordinátatáblákkal azonosítjuk.
A tenzor algebra lehetővé teszi, hogy az algebrák morfizmusaiban kiterjesszék a vektortér összes lineáris térképét egységes asszociatív algebrákra. Mint ilyen, a tenzori algebra vektortérre való felépítése a bal oldalon hozzáadódik a multiplikatív struktúra elfelejtéséhez.
A tenzor algebra különböző hányadosa a szimmetrikus algebra , a külső algebra ...
Matematikai konstrukció
Definíció szabad algebra segítségével
A halmazon szereplő szó a halmaz elemeinek véges sorozata, amelyet gyakran elválasztók és zárójelek nélkül jegyeznek fel. A halmazon található szabad algebra a nulla szavakkal indexelt , majdnem nulla család vektortere , amelyet az összefűzés indukál. Minden szót azonosítunk azzal a szekvenciával, amely mindenhol máshol 1 és 0 értéket jelent.
E{\ displaystyle E}E{\ displaystyle E}m{\ displaystyle m}m{\ displaystyle m}
A szó betűinek nem kommutativitása megakadályozza a szokásos egyszerűsítéseket, például a következő egyenlőség esetén:
(nál nél+b)(nál nél-b)=nál nélnál nél-nál nélb+bnál nél-bb{\ displaystyle (a + b) (ab) = aa-ab + ba-bb \,}.
Nincs törlését (- ) a (+ ), ellentétben a figyelemre méltó azonosság érvényes valós vagy komplex számok.
nál nélb{\ displaystyle ab}bnál nél{\ displaystyle ba}
A tenzori algebra meghatározása egy vektortéren elegendő, ha figyelembe vesszük az akkor az összes elem által generált szabad algebrát, hogy megosszuk azt a kétoldalas ideállal , amelyet a lineáris relációk hoznak létre . Megjegyezzük az algebra hányadosát . Ebben az összefüggésben, a vektorok szolgáló betűk minden szó gyakran elválasztva a szimbólum a tenzor termék, hasonlóan a szorzás kereszt írt egy kört.
V{\ displaystyle V}V{\ displaystyle V}V{\ displaystyle V}T(V){\ displaystyle T (V)}
Építés tenzor termék szerint
Raktározunk egy mezőt egy mezőn . Bármely egész számnál vegye figyelembe a tenzor teljesítményt (amely a tenzor szorzata a másolatok felett ). Megállapodás alapján . Legyen a vektortér . Az -algebra felépítését a következőképpen tudjuk biztosítani :
V{\ displaystyle V}K{\ displaystyle K}nem≥1{\ displaystyle n \ geq 1}V⊗nem{\ displaystyle V ^ {\ otimes n}}K{\ displaystyle K}nem{\ displaystyle n}V{\ displaystyle V}V⊗0=K{\ displaystyle V ^ {\ otimes 0} = K}T(V){\ displaystyle T (V)}⊕nem≥0V⊗nem{\ displaystyle \ oplus _ {n \ geq 0} V ^ {\ otimes n}}T(V){\ displaystyle T (V)}K{\ displaystyle K}
1. Legyen . A kanonikus lineáris térkép a tenzor szorzat univerzális tulajdonságával bilináris térképet indukál . Megjegyezzük a par képét . Konkrétan, ha és akkor
nem,m≥0{\ displaystyle n, m \ geq 0}(nem+m){\ displaystyle (n + m)}Vnem×Vm=Vnem+m→V⊗(nem+m){\ displaystyle V ^ {n} \ szorozva V ^ {m} = V ^ {n + m} \ - V ^ {\ otimes (n + m)}}V⊗nem×V⊗m→V⊗(nem+m){\ displaystyle V ^ {\ otimes n} \ szorozva V ^ {\ otimes m} \ - V ^ {\ otimes (n + m)}}(x,y){\ displaystyle (x, y)}x⊗y{\ displaystyle x \ otimes y}x=v1⊗v2⊗...⊗vnem∈V⊗nem{\ displaystyle x = v_ {1} \ otimes v_ {2} \ otimes ... \ otimes v_ {n} \ itt V ^ {\ otimes n}}y=u1⊗u2⊗...⊗um∈V⊗m{\ displaystyle y = u_ {1} \ otimes u_ {2} \ otimes ... \ otimes u_ {m} \ in V ^ {\ otimes m}}
x⊗y=v1⊗v2⊗...⊗vnem⊗u1⊗u2⊗...⊗um{\ displaystyle x \ otimes y = v_ {1} \ otimes v_ {2} \ otimes ... \ otimes v_ {n} \ otimes u_ {1} \ otimes u_ {2} \ otimes ... \ otimes u_ { m}}.
2. Ezután határozza meg a termék a és (a ) szerint:
x.y{\ displaystyle xy \,}x=x0+x1+...{\ displaystyle x = x_ {0} + x_ {1} + ... \,}y=y0+y1+...{\ displaystyle y = y_ {0} + y_ {1} + ... \,}xnem,ynem∈V⊗nem{\ displaystyle x_ {n}, y_ {n} \ itt: V ^ {\ otimes n}}
x.y=∑nem,mxnem⊗ym.{\ displaystyle xy = \ sum _ {n, m} x_ {n} \ otimes y_ {m}.}Megnézzük, hogy ez valóban meg egy szerkezet -algebra, és felhívjuk a tenzor algebra az .
K{\ displaystyle K}T(V){\ displaystyle T (V)}V{\ displaystyle V}
Példák
- Ha egy elem által generált 1- dimenziós vektortér van , akkor a tenzor algebrát egy meghatározatlan polinom algebrájával azonosítjuk .V{\ displaystyle V}x{\ displaystyle x}T(V){\ displaystyle T (V)}
- Ha van bármilyen méretű, bármely választás egy alapon azonosítja a tenzor algebra algebra noncommutative a határozatlan polinomok az alapja . Ebben az esetben ezeknek a polinomoknak az együtthatói alkotják az egyes tenzorokat ábrázoló koordinátatáblák értékeit.V{\ displaystyle V}V{\ displaystyle V}V{\ displaystyle V}
Tulajdonságok
- A tenzor algebra egy egységes algebra, általában nem kommutatív.T(V){\ displaystyle T (V)}K{\ displaystyle K}
- Tenzor algebra végzett szavak hosszát. Minden tenzor egyedülálló módon homogén tenzorok összegére bomlik, vagyis azonos hosszúságú szavak lineáris kombinációi. Ez a fordítás az írás , mint a direkt összege , . A homogén tenzorok a fok pontosan az elemei . A vektorok tehát az 1. fokozatú homogén tenzorok.T(V){\ displaystyle T (V)}V⊗nem{\ displaystyle V ^ {\ otimes n}}nem≥0{\ displaystyle n \ geq 0}nem{\ displaystyle n}V⊗nem{\ displaystyle V ^ {\ otimes n}}V{\ displaystyle V}
- ( Univerzális tulajdonság ) Az vektor asszociációs algebra vektorterének bármely lineáris térképéhez létezik az algebrák egyedi morfizmusa, amely kiterjeszti a térképet tízes algebrára . Konkrétan a morfizmus küld a . Ez a tulajdonság a tenzor algebrát egyetlen izomorfizmusig jellemzi.f{\ displaystyle f}V{\ displaystyle V}NÁL NÉL{\ displaystyle A}f{\ displaystyle f}T(V){\ displaystyle T (V)}v1⊗...⊗vnem{\ displaystyle v_ {1} \ otimes ... \ otimes v_ {n}}f(v1)...f(vnem){\ displaystyle f (v_ {1}) ... f (v_ {n})}
Alkalmazások: szimmetrikus és külső algebrák
A vektortér szimmetrikus algebra a tenzor algebra hányadosa a forma kommutátorai által generált ideállal:
V{\ displaystyle V}
v⊗u-u⊗v{\ displaystyle v \ otimes uu \ otimes v}.
Bármely alapválasztás a szimmetrikus algebrát azonosítja a bázisban határozatlan (tehát határozatlan) polinom algebrájával .
V{\ displaystyle V}dénm(V){\ displaystyle dim (V)}
A külső algebra a hányadosa a tenzor algebra a kétoldalú ideális által generált az elemek a forma:
V{\ displaystyle V}
v⊗v{\ displaystyle v \ otimes v}.
Általánosítás: egy modul tenzori algebra
Bármely modulus egy egységes kommutatív gyűrű , konstruáljuk azonos módon egy beosztással egységet -algebra . Még mindig megvan az univerzális tulajdonság, amely a tízes algebra jellemző.
M{\ displaystyle M}NÁL NÉL{\ displaystyle A}NÁL NÉL{\ displaystyle A}T(M)=⊕nem≥0M⊗nem{\ displaystyle T (M) = \ oplus _ {n \ geq 0} M ^ {\ otimes n}}
Meghatározzuk a szimmetrikus algebrát és a külső algebrát is, mint a vektorterek esetében. A kép a (ill. ) Az -ik szimmetrikus teljesítmény (ill. -Ik külső erő ) a .
Sym(M){\ displaystyle {\ mathrm {Sym}} (M)}ΛM{\ displaystyle \ Lambda M}M⊗nem⊂T(M){\ displaystyle M ^ {\ otimes n} \ T (M) részhalmazSym(M){\ displaystyle {\ mathrm {Sym}} (M)}ΛM{\ displaystyle \ Lambda M}nem{\ displaystyle n} Symnem(M){\ displaystyle {\ mathrm {Sym}} ^ {n} (M)}nem{\ displaystyle n} ΛnemM{\ displaystyle \ Lambda ^ {n} M}M{\ displaystyle M}
Ha szabad, akkor izomorf a nem kommutatív polinomok gyűrűjéhez , meghatározhatatlan együtthatókkal, amelyeket egy bázis elemei indexelnek.
M{\ displaystyle M}T(M){\ displaystyle T (M)}NÁL NÉL{\ displaystyle A}
Legyen homomorfizmusa az egységes kommutatív gyűrűknek, és jelölje azt, hogy a -modul jobboldali szorzással, majd kanonikusan izomorf az -algebra . Ez nagyon hasznos annak megértéséhez, hogy mikor nem szabad. Ez a kompatibilitás a skalárok kiterjesztésével továbbra is érvényes a szimmetrikus és a külső algebrákra és a teljesítményekre.
NÁL NÉL→B{\ displaystyle A \ to B}MB=M⊗NÁL NÉLB{\ displaystyle M_ {B} = M \ otimes _ {A} B}B{\ displaystyle B}T(MB){\ displaystyle T (M_ {B})}B{\ displaystyle B}T(M)⊗NÁL NÉLB{\ displaystyle T (M) \ otimes _ {A} B}T(M){\ displaystyle T (M)}M{\ displaystyle M}
jegyzet
-
Vigyázzon, hogy a (z) elemei ne legyenek általában ezek a formák. Ezek az ilyen vektorok véges összegei.V⊗nem{\ displaystyle V ^ {\ otimes n}}
Bibliográfia
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">