Korovkin közelítés

A közelítés Korovkin tétele a funkcionális elemzés eredménye, amelyet Pavel Korovkin (in) fedezett fel az 1950-es években . Lehetővé teszi az elégedettség igazolását, annak bizonyítását, hogy bizonyos közelítési folyamatok összevonódnak az összes figyelembe vett függvénynél, igazolni azt egy véges halmaz számára. Így egyesíti a különféle folyamatokat, például Bernsteinét , amely Weierstrass tételének egyik bizonyítékát szolgáltatja . Elemi, de eredményes, a közelítés konstruktív elméletének egy aktív ága .

Államok

Legyen C ([ a , b ]) lehet a tér folytonos valós függvények egy valós szegmens [ a , b ], és ( P n ) egy szekvenciát a pozitív lineáris operátorok (en) a C ([ a , b ]) a C ([ a , b ]). Ha P n ( f ) egyenletesen konvergál az [ a , b ] -en az f felé az f 0 ( x ) = 1 , f 1 ( x ) = x és f 2 ( x ) = x 2 monomális függvény esetében , akkor ez az ugyanezt bármely funkciója f a C ([ a , b ]).

Demonstráció

Legyen $f$ folytonos függvény $[ a , b ] -en$ . Mutassuk meg, hogy a $P n ( f )$ függvények sorozata egyenletesen konvergál $f$ -vel $[ a , b ] -en$ . Javítsunk ki egy valós $ε> 0 értéket$ .

Az $f$ térkép , folytatva a kompakt $[ a , b ]$ , a következő:

egységesen folytonos ( Heine tétele szerint ). Ezért $η> 0$ olyan, hogy ${\ displaystyle \ forall x, y \ a [a, b] \ quadban (| yx | <\ eta \ Rightarrow | f (y) -f (x) | <\ varepsilon)}$ ;
behatárolt (a behatárolt tétel szerint ). Legyen $M$ jelöli a felső korlátja a | $f$ |.

Legyen $x \in [ a , b ]$ . Minden $y \in [ a , b ]$ esetén:

ha $| y - x | <η$ akkor $| f ( y ) - f ( x ) | <ε$ ;
ha $| y - x | \geq η$ akkor $| f ( y ) - f ( x ) | \leq 2 M \leq 2 M ( y - x ) 2 / η 2$ .

Az $f ( y )$ érték tehát mindig a között van ${\ displaystyle g_ {x} (y): = f (x) - \ varepsilon - {\ frac {2M (yx) ^ {2}} {\ eta ^ {2}}} \ quad {\ rm {et} } \ quad d_ {x} (y): = f (x) + \ varepsilon + {\ frac {2M (yx) ^ {2}} {\ eta ^ {2}}}.}$ A $P n$ operátorok pozitivitása alapján arra következtetünk ${\ displaystyle P_ {n} (g_ {x}) \ leq P_ {n} (f) \ leq P_ {n} (d_ {x}).}$ Azonban $g X$ és $d x$ jelentése négyzetes polinomok - azaz lineáris kombinációi a $F 2$ , $F 1$ és $F 0$ - tehát (a hipotézist a $P n$ ) ${\ displaystyle P_ {n} (g_ {x}) \ - g_ {x} \ quad {\ rm {és}} \ quad P_ {n} (d_ {x}) \ to d_ {x},}$ egységesen $[ a , b ] felett$ . Sőt, mivel ennek a két lineáris kombinációnak az együtthatói $x a [ a , b ]$ korlátos függvényei , a konvergencia is egyenletes az $x vonatkozásában$ . Tehát létezik olyan $N$ , hogy az összes $n \geq N$ és az összes $x , y a [ a , b ] esetén$ : ${\ displaystyle | P_ {n} (g_ {x}) (y) -g_ {x} (y) | \ leq \ varepsilon \ quad {\ rm {és}} \ quad | P_ {n} (d_ {x }) (y) -d_ {x} (y) | \ leq \ varepsilon,}$ különösen : ${\ displaystyle | P_ {n} (g_ {x}) (x) - (f (x) - \ varepsilon) | \ leq \ varepsilon \ quad {\ rm {és}} \ quad | P_ {n} (d_ {x}) (x) - (f (x) + \ varepsilon) | \ leq \ varepsilon,}$ ezért végül: ${\ displaystyle f (x) -2 \ varepsilon \ leq P_ {n} (g_ {x}) (x) \ leq P_ {n} (f) (x) \ leq P_ {n} (d_ {x}) (x) \ leq f (x) +2 \ varepsilon.}$ Ezért: ${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ létezik N \ quad \ all n \ geq N \ quad \ forall x \ a [a, b] \ quad | P_ {n} (f) (x) -f ( x) | \ leq 2 \ varepsilon.}$

Megjegyzések és hivatkozások

(en + ru) PP Korovkin, „ A lineáris pozitív operátorok konvergenciájáról a folyamatos függvények terében ” , Dokl. Akad. Nauk SSSR (NS) , vol. 90,1953, P. 961–964.
(in) Pavel Petrović Korovkin, lineáris operátorok és közelítés elmélet , Hindustan Pub. Corp.,1960.
(in) Francesco Altomare, " Korovkin-deviációs tételek és közelítés a pozitív lineáris operátorok részéről " , Surveys in Approximation Theory , vol. 5,2010, P. 92-164 ( arXiv 1009.2601 ), 3.6. Tétel .
Altomare 2010 .
(in) Francesco Altomare és Michele Campiti, Korovkin eltérés közelítés elmélet és alkalmazásai , Walter de Gruyter ,1994, 627 p. ( ISBN 978-3-11-014178-8 , online előadás ).
Vagy akár ℝ [ a , b ] -ben : Altomare 2010 , 3.1.
(en) Allan Pinkus, „ Weierstrass és közelítési elmélet ” , J. Kb. Elmélet , vol. 107, n o 1,2000, P. 1–66 ( DOI 10.1006 / jath.2000.3508 ), P. 58 .
(in) Neal Lamar Carothers, a Real elemzés , UPC ,2000, 401 p. ( ISBN 978-0-521-49756-5 , online előadás ) , p. 186.
Altomare 2010 , 3.2 tétel, általánosabb formában, alacsony költséggel.