Bernstein közelítés

Az elemzés során a Bernstein-közelítés a polinom közelítésének egyik módszere , amely egyenletesen megközelíti az [0, 1] szakaszon definiált $f$ folytonos függvényt a Bernstein-polinom lineáris kombinációinak szekvenciájával . Ez a bizonyíték konstruktívan a tétel Weierstrass közelítés miatt van Szergej Natanovich Bernstein .

Meghatározás

A $N-$ th közelítése $f$ a polinom

{\ displaystyle P_ {n} (f) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} f \ bal ({\ frac {k} {n}} \ jobbra) B_ {k} ^ {n},}

hol vannak a Bernstein polinomok: ${\ displaystyle B_ {k} ^ {n}}$

{\ displaystyle B_ {k} ^ {n} (x) = {n \ select k} x ^ {k} (1-x) ^ {nk}.}

Ezért konstrukció $P n ( f )$ a értékei $F$ pontokban 0, 1 / n , ..., ( n - 1) / n , és 1, de ezeken a pontokon, az érték a $P n ( f )$ lehet eltér az $f-től$ , más szóval: a kapott közelítés nem interpoláció .

A egyenletes konvergenciája a $P n ( f )$ felé $f$ tehát a következőképpen fogalmazott: ${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ létezik N \ quad \ forall n \ geq N \ quad \ forall x \ in [0,1] \ qquad | f (x) -P_ {n} (f) ( x) | \ leq \ varepsilon.}$

Megjegyzendő, hogy ha $X$ jelentése egy véletlen változó követően binomiális eloszlású paraméterek $( n , x )$ , majd a $P n ( f ) ( x )$ nem más, mint az elvárás a $F ( X / n )$ , azaz az átlagos $f$ az $x$ valószínűség $n$ független kísérletének sikereire vonatkozik . Az egyszerű konvergencia a $P$ $n$ $($ $f$ $)$ felé $f$ ezután közvetlen következménye a gyenge nagy számok törvénye . Az X ⁄ n és $x$ közötti különbség valószínűségének növelésével levezetjük az egységes konvergenciát.

Demonstráció

A C ([0, 1]) lineáris $P n$ operátorok pozitívak (en) , Korovkin közelítési tételének megfelelően elegendő a három monomális függvény konvergenciájának igazolása f 0 ( x ) = 1 , f 1 ( x ) = x és f 2 ( x ) = x 2 .

Most $P n ( f 0 ) = f 0$ , $P n ( f 1 ) = f 1$ és $P n ( f 2 ) = f 2 + ( f 1 - f 2 ) / n$ , ami ezzel zárul.

Konvergencia sebesség

Legyen $az f$ egy folytonos függvény $[0; 1]$ , és $co legyen$ a modulusa folytonosságát az $f$ . Tehát megvan az egyenlőtlenség:

{\ displaystyle \ | f-P_ {n} (f) \ | _ {\ infty} \ leq {\ frac {9} {4}} \; \ omega \ bal (n ^ {- 1/2} \ jobb )}

Ahol a "végtelen" színvonalat jelenti . $\ | \ cdot \ | _ {{\ infty}}$

Demonstráció

Legyen $δ > 0$ és $x \in [0; 1]$ . Legyen $k \in {0, ..., n }$ . Két eset lehetséges $k esetében$ :

Igen . ${\ displaystyle | xk / n | \ leq \ delta}$

Ebben az esetben ,. Mivel $B$ ${\ displaystyle | f (x) -f (k / n) | \ leq \ omega (\ delta)}$ $n k ( y ) \geq 0$ minden $y \in [0; 1]$ esetén:

{\ displaystyle \ left | \ sum _ {k = 0, | xk / n | \ leq \ delta} ^ {n} (f (x) -f (k / n)) B_ {k} ^ {n} ( x) \ right | \ leq \ omega (\ delta) \ sum _ {k = 0} ^ {n} B_ {k} ^ {n} (x) = \ omega (\ delta)}

Igen . ${\ displaystyle | xk / n | \ geq \ delta}$

Bármelyiket . Beállítottuk $y$ $j$ $=$ $x$ $+$ ${\ displaystyle M = \ bal \ lfloor {\ frac {| xk / n |} {\ delta}} \ right \ rfloor}$ $j / M +1$ a $j \in {0, ..., M + 1}$ . Ekkor észrevesszük, hogy $j \in {0, ..., M }$ esetén $| y j +1 - y j | < δ$ . Így :

{\ displaystyle | f (x) -f (k / n) | \ leq \ sum _ {j = 0} ^ {M + 1} | f (y_ {j + 1}) - f (y_ {j}) | \ leq (M + 1) \ omega (\ delta) \ leq \ omega (\ delta) \ bal (1 + {\ frac {1} {\ delta}} \ bal | x - {\ frac {k} { n}} \ jobb | \ jobb) \ leq \ omega (\ delta) \ bal (1 + {\ frac {1} {\ delta ^ {2}}} \ bal (x - {\ frac {k} {n }} \ jobbra) ^ {2} \ jobbra}}

Így minden $x \in [0; 1]$ esetén írhatunk:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} | f (x) -P_ {n} (f) (x) | & \ leq \ left | \ sum _ {k = 0, | xk / n | \ leq \ delta} ^ {n} (f (x) -f (k / n)) B_ {k} ^ {n} (x) \ jobb | + \ bal | \ sum _ {k = 0, | xk / n | \ geq \ delta} ^ {n} (f (x) -f (k / n)) B_ {k} ^ {n} (x) \ jobbra | \\\ quad & \ leq \ omega (\ delta) + \ balra | \ sum _ {k = 0, | xk / n | \ geq \ delta} ^ {n} \ omega (\ delta) \ bal (1 + {\ frac {1} {\ delta ^ {2}}} \ balra (x - {\ frac {k} {n}} \ jobbra) ^ {2} \ jobbra) B_ {k} ^ {n} (x) \ jobbra | \ leq \ omega (\ delta) \ balra (2 + {\ frac {1} {\ delta ^ {2}}} \ sum _ {k = 0, | xk / n | \ geq \ delta} ^ {n} \ balra (x - {\ frac {k} { n}} \ jobbra) ^ {2} B_ {k} ^ {n} (x) \ jobbra) \\\ quad & \ leq \ omega (\ delta) \ balra (2 + {\ frac {x (1- x)} {n \ delta ^ {2}}} \ jobbra) \ leq \ omega (\ delta) \ balra (2 + {\ frac {1} {4n \ delta ^ {2}}} \ jobbra) \ end {igazítva}}}

Végül a $δ = 1 / \sqrt n$ kiválasztásával következtethetünk.

Ez az eredmény lehetővé teszi a Bernstein-polinomok szekvenciájának bizonyos sebességének konvergenciáját az $f$ függvény felé, az $f$ folytonossági modulusának $függvényében$ .

Referencia

"A Weierstrass-tétel igazolása a valószínűségek kiszámítása alapján" , a Comm. Soc. Math. Kharkov Ser. 2. kötet 1912.
(in) Francesco Altomare, " Korovkin-deviációs tételek és közelítés a pozitív lineáris operátorok részéről " , Surveys in Approximation Theory , vol. 5,2010, P. 92-164 ( arXiv 1009.2601 ), 3.6. Tétel .
(in) Michelle Schatzman , numerikus analízis: egy matematikai bevezetés , Oxford University Press, 2002, 5.3.2 tétel

Kapcsolódó cikkek

Bernstein-tétel (közelítési elmélet) (fr)
Egyenlőtlen Jackson (en)