Stone-Weierstrass tétel

A matematika , a Weierstrass approximációs tétele általánosítása a Weierstrass approximációs tétele a valódi elemzés , amely szerint minden folytonos függvény definiált egy szegmens lehet közelíteni egyenletesen a polinom függvények .

A Marshall Stone által végzett általánosítás kiterjeszti ezt az eredményt a kompakt térben meghatározott és valós értékekkel meghatározott folyamatos függvényekre , a polinomfüggvények algebráját egy subalgebra vagy egy rács helyettesíti, amely kielégíti a természetes hipotéziseket.

Weierstrass közelítési tétel

Legyen f folytonos függvény [ a , b ] és ℝ között.

Minden ε> 0 esetén létezik p polinomfüggvény , valódi együtthatóval, amely az [ a , b ] összes x-re vonatkozik , | f ( x ) - p ( x ) | ≤ ε.

vagy:

Létezik egy szekvenciát ( P n ) polinomok konvergáló egyenletesen a f a [ a , b ].

A függvények C ([ a , b ]) halmaza valós és folyamatos értékekkel az [ a , b ] -on , végtelen normával felruházva ${\ displaystyle \ | f \ | = \ sup _ {x \ itt: [a, b]} | f (x) |}$ , egy Banach algebra ( azaz egy asszociatív ℝ-algebra és Banach tér olyan, hogy az összes f és g ). A polinomfüggvények halmaza C ([ a , b ]) alalgebráját alkotja , és a Weierstrass-közelítési tétel azt állítja, hogy ez az alalgebra sűrű C ([ a , b ]) -ben. ${\ displaystyle \ | f \ cdot g \ | \ leq \ | f \ | \ cdot \ | g \ |}$

A tétel bármely egy , b , amely ekvivalens egy , b rögzítettek (a a < b ).

Tegyük fel, hogy a tétel igaz egy rögzített [ c , d ] szakasz bármely folytonos függvényére ( c < d esetén ), és mutasd meg, hogy továbbra is igaz egy másik [ a , b ] szegmens f folytonos függvényére ( a < b ). Ehhez válasszunk egy polinomi homeomorfizmust Φ: [ a , b ] → [ c , d ] - például az x ↦ c + ( x - a ) ( d - c ) / ( b - a ) - affinális bijekció és jelölje g az f ∘ Φ −1 függvényt , amely [ c , d ] -en folytonos, ezért (hipotézis szerint) egy g n polinom szekvencia egységes határa . Legyen f n : = g n ∘ Φ. Ez megint egy polinomiális függvény, amelyet ezúttal az [ a , b ] és (mivel $Φ$ a [ c , d ] [ a , b ] -ből származó bijekció ) defined f - f n ║ = ║ ( g - g n ) ∘ Φ║ = ║ g - g n ║ → 0.

Az alábbiakban egy példa az abszolút érték függvényéhez konvergáló polinom szekvenciára [–1, 1] intervallum alatt.

Egyéb verziók és általánosítások

Trigonometrikus változat

Bármely folytonos f periodikus függvény esetében létezik egy trigonometrikus polinom szekvencia, amely egységesen konvergál f-hez .

Származtatva az elmélet Fourier-sor , Fejér tétel ad konstruktív példa egy ilyen szekvencia.

Nagy számok törvénye

S. Bernstein adott konstruktív és valószínűségi bizonyítéka Weierstrass-tétel [0, 1], bizonyítva azt, hogy tudtunk venni:

P_ {n} (x) = \ összeg _ {{k = 0}} ^ {n} f \ balra ({\ frac kn} \ jobbra) B_ {k} ^ {n} (x)

hol vannak a Bernstein-polinomok . $B_ {k} ^ {n} (x) = {n \ válassza k} x ^ {k} (1-x) ^ {{nk}}$

Valóban, ha X jelentése egy véletlen változó követő binomiális eloszlású paraméterek ( n , x ), majd a P n ( x ) az elvárás az F ( X / n ), azaz az átlagos F alkalmazni a sikerek számát az n x valószínűség független kísérletei . Az egyszerű konvergencia a P n ( x ) az f ( x ) minden x következménye a gyenge nagy számok törvénye . Az X / n és x közötti különbség valószínűségének növelésével következtethetünk P n egyenletes konvergenciájára f felé .

Stone-Weierstrass tétel, algebrai változat

A közelítési tétel két irányban általánosít:

Az [ a , b ] kompakt intervallum helyettesíthető egy kompakt X szóközzel .
A algebra polinom függvények helyettesíteni lehet egy másik részalgebra A C ( X ), feltéve, hogy az megfelel a döntő tulajdonság, amely az, hogy külön a pontokat (a) (egy részhalmaza A C ( X ) választja el a pontot, ha bármely pár { x , y } pontok a X , létezik egy funkciója p az a olyan, hogy p ( x ) ≠ p ( y )).

Ebben az összefüggésben a tétel meg van írva:

Tétel - Legyen X kompakt tér, és C ( X ) az X- től ℝ-ig terjedő folyamatos függvények Banach-algebra . Az alalgebra akkor sűrű C ( X ) -ben, ha (és csak akkor), ha elválasztja egymástól a pontokat, és az X bármelyik x pontjára olyan funkciót tartalmaz, amely nem tűnik el x-nél .

Mivel az [ a , b ] feletti polinomok C ([ a , b ]) egységes alalgebráját alkotják , amely elválasztja a pontokat, Weierstrass-tétel a fenti tétel következménye.

A mező a valós számok lehet helyettesíteni, hogy a komplexek , azzal a feltétellel, feltételezve, hogy A jelentése stabil, a konjugáció .

Ezt a tételt a Stone-Weierstrass „rácsváltozat” tételéből (az alábbiakban) és a következő két lemmából vezetjük le.

1. Lemma - Bármely valós a > 0 esetén létezik olyan polinom szekvencia, amely egységesen konvergál a [- a , a ] függvényen az x ↦ függvény felé | x |.

2. Lemma - A C ( X ) bármely zárt alalgebrája egy rács.

A két lemma igazolása

1. Lemma . By homothety , elegendő, hogy közelítse a polinomok az abszolút érték függvény a [-1, 1]. Erre azt írjuk | x | = $\sqrt 1 - (1 - x 2 )$ , és használjuk, hogy a Taylor-sor a függvény $h$ ↦ $\sqrt 1 - h$ van általában konvergens a [0, 1].
2. Lemma . Legyen L ez az alalgebra. A kapcsolatok alapján $\ max (g, h) = {\ frac {g + h} 2} + {\ frac {| gh |} 2} {\ text {et}} \ min (g, h) = {\ frac {g + h} 2} - {\ frac {| gh |} 2},$ elég bizonyítani, hogy ha $f$ ∈ L akkor | $f$ | ∈ L . Figyelem $a = \ max _ {{x \ X-ben}} \ balra | f (x) \ jobbra |,$ amely a folytonosság és a tömörség révén létezik, az 1. Lemma által találunk egy olyan polinom-szekvenciát $( P n ),$ amely egységesen konvergál az $[- a , a ]$ -on az abszolút értékfüggvény felé. Még ha ez azt is jelenti, hogy ezekből a polinomokból kivonjuk az állandó tagját, feltételezhetjük, hogy ezek nullánál 0-nál nagyobbak. A $P n ( f )$ ekkor L- ből egy függvénysorozatot képez , amely egyenletesen konvergál X-en | $f$ |.

A tétel csökkentése a "rácsos verzióra"

Legyen L a tapadása az al-algebra A .

A skalárral való szorzás, összeadás és szorzat folytonossága alapján L egy alalgebra.
A 2. Lemma szerint ez egy rács.
Mutassuk meg, hogy a Stone-Weierstrass tétel „rácsváltozat” feltételezése igazolva van. Legyen $x$ az X két különálló $x$ és $y$ pontja, valamint két $a$ és $b$ valós szám . Tól től $p, q, r \ A {\ szövegben {úgy, hogy}} p (x) \ neq p (y), q (x) \ neq 0, r (y) \ neq 0,$ építünk először $g \ A {\ text {ben úgy, hogy}} g (x) \ neq g (y), g (x) \ neq 0, g (y) \ neq 0,$ beállításával $g = p + UQ + VR$ számára valóságot $u$ és $v$ alkalmasan választott. Ekkor vannak valós számok $α$ és $β$ olyanok, hogy a függvény $f = \ alpha g + \ beta g ^ {{2}}$ (amely tartozik Egy tehát L ) megfelel $f ( x ) = egy$ és $F ( y ) = b$ .

Ebből következik, hogy L C ( X ) -ben sűrű, tehát egyenlő C ( X ) -tel, vagyis A sűrű C ( X ) -ben .

Teljes funkciók

1885-ben, Weierstrass is bizonyította, analóg tétel integer funkciók ( Holomorf funkciók az egész komplex síkban), amely Torsten Carleman (en) általános 1927, megmutatva, hogy minden folytonos függvény R jelentése egységes határt (a R ) a egész függvénysorozat. Követve egy megjegyzést Marcel Brelot , Wilfred Kaplan (en) azt mutatta, hogy Carleman bizonyítása is készített a következő eredménnyel:

Carleman-tétel - Legyen egy folyamatos függvény. Minden folytonos függvény , van egy egész függvény olyan, hogy: . ${\ displaystyle Q: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle E: \ mathbb {R} \ balra] 0, + \ infty \ jobbra [}$ $f$ ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad | f (x) -Q (x) | <E (x)}$

Alkalmazások

A Stone-Weierstrass tétel lehetővé teszi számunkra, hogy bebizonyítsuk a következő négy állítást:

ha f folytonos függvény valódi értékekkel definiált a blokk [ a , b ] × [ c , d ] és ha ε igazi szigorúan pozitív, akkor létezik egy polinomiális függvény p kétváltozós, hogy minden x a [ a , b ] és y a [ c , d ] -ben, | f ( x , y ) - p ( x , y ) | <ε.
ha X és Y két kompakt terek és ha f : X × Y → ℝ folytonos függvény, akkor, minden ε> 0, létezik n > 0, és folytonos függvények f 1 , f 2 , ..., f n a X és g 1 , g 2 , ..., g n az Y , hogy ║ f - Σ f i g i ║ <ε
A korlátos intézkedés a [ a , b ], amelyeknek minden pillanatban nulla nulla ( vö Moment probléma ). Például, ha a [0, 1] integrálható $f$ függvénye ℝ-ben olyan, hogy $\ forall p \ in \ mathbb {N}, ~ \ int _ {0} ^ {1} t ^ {p} f (t) ~ {\ mathrm d} t = 0,$ akkor $f$ szinte mindenhol nulla (tehát mindenhol, ha folyamatos ).
Ha X egy kompakt ( tehát elkülöníthető ) metrikus tér , akkor a Banach algebra C ( X ) jelentése elválasztható . Elegendő, hogy válasszon az X egy sűrű megszámlálható része Y , hogy meghatározza a X , bármely elem y a Y , függvény f y által f y ( x ) = d ( x , y ), és hogy az A la Uniferous sub -ℝ-algebra C ( X ) által generált f y :, mivel egy sűrű a C ( X ) szerint a tétel, a uniferous al-ℚ-algebra által generált ugyanezek f y (megszámlálható és sűrű a a ) jelentése sűrű a C ( X ) -ben .
Ha f folyamatos függvény a [ a ; b ], akkor f beismeri az antitestet a szegmensben. Ez a bizonyíték egy primitív létezését biztosítja az integrál fogalmának bevonása nélkül.

A folyamatos függvények néhány érvényes eredménye a Stone-Weierstrass-tétel segítségével korlátlanul differenciálható függvényekre redukálható. Így szerezzük meg a Stokes- tétel segítségével a Brouwer fixpontos tételének igazolását .

Stone-Weierstrass tétel, rácsos változat

Legyen X kompakt hely. A betegek egy részénél L C ( X ) nevezzük rács a C ( X ), ha bármely két elem f , g a L , max függvények ( F , g ) és min ( f , g ) is tartozik L . A Stone-Weierstrass tétel rácsváltozata szerint:

Tétel - Ha X egy kompakt tér legalább két pontot, és ha L jelentése egy rács a C ( X ) úgy, hogy, az összes különálló pontok x és y az X és az összes valós számok egy és b , L tartalmaz egy függvény f kielégíti f ( x ) = a és f ( y ) = b , akkor L sűrű C ( X ) -ben .

Ez az általánosabb változat azonnal következik a következő lemmából.

Lemma 3 - Legyen L egy C ( X ) rács . Ahhoz, hogy a C ( X ) $g$ függvény L adhéziójához tartozzon , (szükséges és) elegendő, hogy minden $x$ $,$ $y$ ∈ X és $ε> 0$ esetén létezik olyan $f$ ∈ L függvény , amely

| f (x) -g (x) | <\ varepsilon {\ text {és}} | f (y) -g (y) | <\ varepsilon.

A 3. Lemma igazolása

Legyen $ε> 0$ és $g$ ∈ C ( X ) kielégítve ezt a feltételt. Mi fog össze egy függvény $f$ ∈ L , amely megközelíti $g$ egységesen $ε$ közelében.

Először egy rögzített elemet $z \in X$ .
Hagyja, $x \in X$ . Hipotézis szerint létezik olyan $f z, x$ ∈ L függvény , amely $f _ {{z, x}} (z)> g (z) - \ varepsilon {\ text {és}} f _ {{z, x}} (x) <g (x) + \ varepsilon.$ Ezután megkérdezzük $V _ {{z, x}} = \ {y \ X \ közepén f _ {{z, x}} (y) <g (y) + \ varepsilon \}$ amely $x-et$ tartalmaz, és amely nyitott , $f z, x$ és $g$ folytonossága révén .
A család $( V z, x ) x \in X$ egy nyitott TERJED KI a X , és kompaktsága tudjuk kivonat belőle egy véges TERJED KI $( V z, x ) x \in A z$ . Ezután megkérdezhetjük $h_ {z} = \ perc _ {{x \ A_ {z}}} f _ {{z, x}}$ amely az L rácshoz tartozik . Vegye figyelembe, hogy a $h z$ függvény kielégít $h_ {z} (z)> g (z) - \ varepsilon {\ text {és}} \ összes y \ X-ben, h_ {z} (y) <g (y) + \ varepsilon.$
Most a családot $( h z ) z \in X$ nézzük . Mi pózolunk $U_ {z} = \ {y \ X \ közepén h_ {z} (y)> g (y) - \ varepsilon \}$ amely $z-t$ tartalmaz és amely nyitott, ugyanazon okok miatt, mint a $V z, x$ . A család $( U Z ) Z \in X$ fedelek X , és kompaktsága mi kivonat véges alulfedezettségének $( U z ) z \in B$ mi meg $f = \ max _ {{z \ B}} h_ {z}$ tulajdonú L .

Az $f$ függvény ezt követően ellenőrzi

\ forall x \ in X, \ quad g (x) - \ varepsilon <f (x) <g (x) + \ varepsilon

a várakozásoknak megfelelően.

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia „ Kő - Weierstrass-tétel ” című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .

(de) Karl Weierstrass , „ Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen ” , Sitz'ber. K. Preuss. Akad. Wiss. Berlin ,1885 : I, p. 633-639 és II, p. 789-805 .
Az ilyen tér definíció szerint külön .
Laurent Schwartz, Általános topológia és funkcionális elemzése , Hermann,1970, P. 372-376
Ennek a bemutatónak köszönhető Henri Lebesgue , aki éppen átment a matematika összesítésén, első cikkében: Henri Lebesgue, " A funkciók közelítéséről ", Bulletin des sciences mathiques , vol. 22,1898, P. 278–287 ( online olvasás ).
Torsten Carleman, Weierstrass tételéről , Arkiv. Árboc. Astron. Fys. , repülés. 20, n o 4, 1927, p. 1-5 .
Carleman Weierstrasshoz hasonlóan - 1885-ben ismertebb módon - egységesen (mert általában ) konvergáló funkciók sorozatának megfogalmazásával ( Weierstrass 1885 , 637. o . : " es convergirt […] die Reihe […] unbedingt und gleichmässig " ). ${\ displaystyle \ sum _ {\ nu = 0} ^ {\ infty} f _ {\ nu} (x)}$
(in) Wilfred Kaplan, " Approximáció egész funkciókat " , Michigan Math. J. , vol. 3, n o 1,1955, P. 43–52 ( DOI 10.1307 / mmd / 1031710533 , olvassa el online ).
Pinkus 2000 , p. 51-54.
Vö. (En) Charalambos D. Aliprantis és Kim C. Border, Végtelen dimenzióelemzés: A stoppos útmutató , Springer ,2007, 3 e . ( ISBN 978-3-540-32696-0 , online olvasás ) , p. 353, Amely szintén bizonyítják a fordítottja: bármely kompakt X , ha C ( X ) az elválasztható, akkor X jelentése metrizálható . Valóban, minden elkülöníthető normált tér E , az egység labda a kettős E ' , felruházva a gyenge topology- *, jelentése metrizálható , vagy E = C ( X ), X természetesen azonosítható egy altér a labdát .

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Bibliográfia

(en) Allan Pinkus, „ Weierstrass és közelítési elmélet ” , J. Kb. Elmélet , vol. 107, n o 1,2000, P. 1–66 ( DOI 10.1006 / jath.2000.3508 )