Kész mérés

Egy mérhető teret , egy véges mérték (vagy korlátos intézkedés ) egy pozitív intézkedés μ, amelyre μ ( X ) véges, vagy általánosabban egy aláírt intézkedés , vagy akár egy komplex intézkedés (a) , amelynek tömege (érték X a a μ összes változása | μ | a véges. $(X, {\ mathcal A})$ ${\ displaystyle | \ mu | (X)}$

Integrált funkciók

Bármely mérhető és korlátozott f komplex függvény integrálható bármilyen véges mértékkel ; és megvan a növekedés: $\ mu$

{\ displaystyle \ left | \ int _ {X} fd \ mu \ right | \ leq \ | f \ | _ {\ infty}. | \ mu | (X)}

Példák a kész mérésekre

Az X halmazon a számláló mértéke véges, az X pedig egy véges halmaz .
A Dirac tömegek véges mértékek, tekintet nélkül a mérhető térre.
Általánosságban elmondható, hogy a valószínűségi mérőszámok a véges mértékek példái: ezek az 1 tömegű pozitív mértékek .
A Lebesgue egy ℝ n korlátozott tartomány felett mér .
Egy komplex $ν$ nem feltétlenül véges mérték és egy $ν$ -integrálható $f$ függvény esetén az $f$ $ν$ mérték teljes variációja pontosan $| f | | ν |$ ; valójában az $f ν$ mértéke véges.

A szóközök csökkenő sorrendje $L o$

Szerint a birtokos vagy Jensen 's egyenlőtlenség , a terek $L p$ egy véges intézkedés alkotnak csökkenő család befogadás, a folyamatos injekciók . Pontosabban :

{\ displaystyle {\ text {si}} \ mu (X) <+ \ infty {\ text {majd}} 0 <p \ leq q \ leq + \ infty \ Rightarrow \ mathrm {L} ^ {p} (\ mu) \ supset \ mathrm {L} ^ {q} (\ mu) {\ text {car}} \ forall f \ in \ mathrm {L} ^ {q} (\ mu), \ | f \ | _ { p} \ leq \ mu (X) ^ {{\ frac {1} {p}} - {\ frac {1} {q}}} \ | f \ | _ {q}.}

Egy nagyon erős ellenkezője igaz: ha $μ$ van σ-véges , és ha van $p$ és $q$ , a $1 \leq p <q \leq + \infty$ , oly módon, hogy $az L p (μ) \supset L q (μ)$ , majd $μ$ véges.

Véges méri a teret

A véges mértékek tetszőleges összege (aláírt vagy összetett) véges mérték. Bármely mérték, amely egy véges mértékkel arányos, véges mérték.

A tér véges intézkedések ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {M}} (X, {\ mathcal {A}})}$ (aláírt vagy komplex) alkot Banach-tér (valós vagy komplex) a norma :

{\ displaystyle \ | \ mu \ | = | \ mu | (X).}

Minden intézkedés $ν$ a (véges vagy nem), a térkép $f$ $\mapsto$ $f$ $ν$ indukálja isometry a $L$ $1$ $(ν)$ egy zárt vektor altér . ${\ displaystyle \ scriptstyle (X, {\ mathcal {A}})}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {M}} (X, {\ mathcal {A}})}$

Amikor $ν$ van σ-véges , ez a altér amellyel $L 1 (ν)$ azonosítja egyenlő (a radon-Nikodym tétel ), hogy a készlet minden véges intézkedések abszolút folytonos tekintetében $ν$ . Ez benne van a topológiai kettős a $L \infty (ν)$ :

{\ displaystyle \ mathrm {L} ^ {1} (\ nu) \ subset \ mathrm {(} L ^ {\ infty} (\ nu)) '.}

Ez a felvétel szigorú (kivéve a triviális eseteket), mert az $(L \infty (ν)) '$ "olyan intézkedésekből áll (véges és abszolút folytonos a $ν vonatkozásában$ ), amelyek csak véglegesen additívak .

Példa: szigorú felvétele

ℓ 1

= a

(ℓ

\infty

) '

{\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {M}} (\ mathbb {N})}

Ha $ν$ a számláló intézkedés a ℕ, majd $ν$ IS σ-véges és az abszolút folytonosság tekintetében $ν$ automatikus tehát $L 1 (ν)$ (ami meg van írva itt $ℓ 1$ ) azonosítják bármilyen egész szám. A felvétel a $ℓ$ $1$ duális az $ℓ$ $a \infty$ eredmények: ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {M}} (\ mathbb {N})}$

{\ displaystyle \ forall a \ in \ ell ^ {1}, \ forall b \ in \ ell ^ {\ infty}, ~ \ langle a, b \ rangle = \ sum a_ {n} b_ {n}.}

De létezik folytonos lineáris formák, a tér $ℓ a \infty$ korlátos szekvenciák, amelyek nem tartoznak ezen a módon egy eleme $egy$ a $ℓ 1$ : például a alterét konvergens sorozatok (en) , akkor van egy folytonos lineáris formában amely bármely konvergens szekvenciával társítja a határát. A Hahn-Banach-tétel szerint ezt az alakot kiterjeszthetjük erre az altérre folytonos formában a $ℓ \infty-n,$ tehát egy „véges mértékben”, amely csak végesen additív a ℕ-re, mivel bár nem nulla, de minden egyes szingleten törlődik .

Értékelés és referencia