Folytonossági modulus

A matematikai analízis , a modulusa folytonosság függvénye ω  : [0, ∞] → [0, ∞] használt kvantitatív mérésére egyenletes folytonossága funkciók. Így a függvény f  : I → ℝ elismeri ω a modulus folytonosság akkor és csak akkor, ha ∀x,y∈én|f(y)-f(x)|≤ω(|y-x|).{\ displaystyle \ forall x, y \ in I \ quad | f (y) -f (x) | \ leq \ omega (| yx |).} Mivel a folytonossági modulokra rákényszerítjük, hogy egymást töröljük, és hogy 0-nál folytonosak legyünk, a függvény akkor és csak akkor egyenletesen folytonos, ha megengedi a folytonossági modulust. Továbbá az a tény, hogy a család a funkciók elismeri a közös modulus folyamatosság megegyezik a fogalom equicontinuity . Az ω ( t ): = kt modulus megfelel a k - Lipschitz- függvényeknek , az ω ( t ) modulus : = kt α pedig a Höldérien- függvényeknek . Általánosságban elmondható, hogy az ω feladata rögzíteni az ε explicit funkcionális függését δ-től az egységes folytonosság meghatározásában .

Különleges eset a konkáv folytonossági moduloké . A metrikus terek közötti függvény esetében egyenértékű egy homorú, szub additív, egyenletesen folytonos vagy szub-lineáris folytonossági modulus befogadása (a lineáris növekedés értelmében ). Ilyen folytonossági modulok megléte az egyenletesen folytonos funkcióhoz biztosítva van, amint a tartománya vagy kompakt, vagy egy normált tér konvex részhalmaza .

A metrikus tér felett egyenletesen folytonos függvény akkor engedi be a folytonosság homorú modulusát, ha a d Y ( f ( x ), f ( y )) / d X ( x , y ) hányadosok egyenletesen vannak korlátozva bármely párra ( x , y ) távol az X átlójától . Mivel az ezzel a tulajdonsággal rendelkező függvények az egységesen folytonos függvények egyik alosztályát képezik, "speciálisan egységesen folyamatos függvényeknek" nevezzük őket.

Történelmi

Steffens (2006) , p.  160 a folytonossági modulus első ω használatát Lebesgue-nek (1909) , p.  309 / o.  75, ahol ω az oszcilláció a Fourier-transzformáció . La Vallée Poussin (1919) , p.  A 7-8. Megemlíti a két nevet (1) „folytonossági modulus” és (2) „oszcillációs modulus”, és arra a következtetésre jut, hogy „de az elsőt választjuk, mert ez jobban felhívja a figyelmet arra a felhasználásra, amelyet a fogalommal kell majd érintenünk kifejezi ” .

Formális meghatározás

Formálisan a folytonossági modulus olyan függvény, amelynek valós (kiterjesztett) értékeivel ω  : [0, ∞] → [0, ∞] , 0-nál eltűnik és 0-nál folytatódik, vagyis olyan, hogy limt→0ω(t)=ω(0)=0.{\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0} \ omega (t) = \ omega (0) = 0.}

A folytonossági modulokat főleg a pont-folytonosság és a metrikus terek közötti függvények egységes folytonosságának kvantitatív értékének megadására használják az alábbi meghatározások segítségével.

Az f függvény  : ( X , d X ) → ( Y , d Y ) megengedi ω- t a folytonosság (helyi) modulusához az x ∈ X pontban, ha ∀y∈xdY(f(x),f(y))≤ω(dx(x,y)).{\ displaystyle \ forall y \ in X \ quad d_ {Y} (f (x), f (y)) \ leq \ omega (d_ {X} (x, y)).} Hasonlóképpen, f elfogadja ω- t (globális) folytonossági modulusra, ha ∀x,y∈xdY(f(x),f(y))≤ω(dx(x,y)).{\ displaystyle \ forall x, y \ in X \ quad d_ {Y} (f (x), f (y)) \ leq \ omega (d_ {X} (x, y)).} Ezután is mondják, hogy ω a modulust a folytonosság (ill. In x ) az f , vagy egyszerűbben, f jelentése ω -continuous (ill. In x ).

Alapvető tények

• Ha f beengedi ω- t a folytonossági modulusra , és ω 1 ≥ ω , akkor f nyilvánvalóan ω 1- t is elismeri folytonossági modulusként.
• Ha f  : X → Y és g  : Y → Z metrikus terek közötti függvények, amelyeknek megfelelő ω 1 és ω 2 folytonossági modulusai vannak , akkor a g ∘ f  : X → Z összetett folytonossági modulusa ω 2 ∘ ω 1 .
• Ha f és g függvények egy metrikus X- területtől egy normalizált Y vektortérig , a megfelelő folytonossági modulokkal ω 1 és ω 2 , akkor az af + bg bármely lineáris kombinációnak folytonossági modulusa van | a | ω 1 + | b | ω 2 . Különösen az X- től Y- ig terjedő függvénykészlet, amelynek folytonossági modulusához ω van, domború.
• Ha f és g korlátosak funkciók valódi értékekkel egy metrikus tér X , a megfelelő modulusz a folytonosság ω 1 és ω 2 , akkor a termék FG rendelkezik az modulusa folytonosság ║ g ║ ∞ ω 1 + ║ f ║ ∞ ω 2 .
• Az X- től Y- ig terjedő függvénykészlet (két metrikus tér), amelyek folytonossági modulusához ω van , az egyszerű konvergencia érdekében Y X-ben van bezárva .
• Ha ( f i ) i ∈ I az X metrikus térben valós értékű függvények családja , amelynek közös folytonossági modulusa ω , akkor az alsó burkolat és a felső burkolatinfén∈énfén{\ displaystyle \ inf _ {i \ I} f_ {i}}supén∈énfén{\ displaystyle \ sup _ {i \ I} f_ {i}} valós értékű függvények az ω folytonossági modulussal , feltéve, hogy bármely ponton végesek (ha ω- nak véges értékei vannak, akkor elég, ha legalább egy pontban végesek).

Megjegyzések

• Egyes szerzők további tulajdonságokat kérnek, például az ω növekszik vagy folyamatosan növekszik. Ha f megengedi a folytonosság modulját az előző gyenge meghatározás értelmében, akkor megengedi a folytonosság modulust, amely növekszik és végtelenül differenciálható ] 0, ∞ [ . Ezt követően megkapjuk

ω1(t): =sups≤tω(s){\ displaystyle \ omega _ {1} (t): = \ sup _ {s \ leq t} \, \ omega (s)}növekszik, és ω 1 ≥ ω  ; ω2(t): =1t∫t2tω1(s)ds{\ displaystyle \ omega _ {2} (t): = {\ frac {1} {t}} \ int _ {t} ^ {2t} \ omega _ {1} (s) \, \ mathrm {d} s}szintén folyamatos és ω 2 ≥ ω 1 , definíciójának megfelelő változata végtelenül megkülönböztethetővé teszi a ] 0, ∞ [ .

• Bármilyen egyenletesen folytonos függvény f elismeri minimális modulusa folytonosság ω f , amely az úgynevezett a (optimális) modulusa folyamatosság F  :

∀t≥0ωf(t): =sup{dY(f(x),f(x′))∣x∈x,x′∈x,dx(x,x′)=t}.{\ displaystyle \ összes t \ geq 0 \ quad \ omega _ {f} (t): = \ sup \ {d_ {Y} (f (x), f (x ')) \ x x közepe X-ben, x-ben '\ X-ben, d_ {X} (x, x') = t \}.}

Hasonlóképpen, bármely folytonos függvény egy olyan ponton x elismeri minimális modulusa folytonosság x , ω f ( t , x ) ( a (optimális) modulusa folytonossága f at x ):

∀t≥0ωf(t,x): =sup{dY(f(x),f(x′))∣x′∈x,dx(x,x′)=t}.{\ displaystyle \ összes t \ geq 0 \ quad \ omega _ {f} (t, x): = \ sup \ {d_ {Y} (f (x), f (x ')) \ x x' \ közepe X, d_ {X} (x, x ') = t \}.}

Az esetek többségében az f folytonosságának optimális modulusa nem kifejezetten kiszámítható, hanem csak növelhető ( az f folytonossági modulusának bármelyikével ). Ezenkívül a folytonossági modulok fő tulajdonságai közvetlenül kapcsolódnak a nem korlátozó definícióhoz.

• Általánosságban elmondható, hogy az egyenletesen folytonos függvény folytonossági modulusa egy metrikus tér felett a + ∞ értéket veheti fel . Az f  : ℕ → ℕ függvény úgy, hogy f ( n ) = n 2 egyenletesen folytonos legyen a ℕ feletti (diszkrét) távolsághoz képest, és a legkisebb folytonossági modulusa ω f ( t ) = + ∞, ha t egész szám természetes és ω f ( t ) = 0 egyébként.

Speciális folytonossági modulok

A speciális folytonossági modulok a funkciók globális tulajdonságait is megadják, például kiterjesztést és közelítést. Ebben a szakaszban főleg homorú , szubadditív , egyenletesen folytonos vagy szináris folytonossági modulokra koncentrálunk . Ezek a tulajdonságok lényegében ekvivalensek, mivel egy ω modul esetében  : [0, ∞] → [0, ∞] , minden állítás a következőket jelenti:

• ω konkáv;
• ω egy aladitiiv;
• ω egyenletesen folytonos;
• ω van szublineáris, azaz léteznek konstansok egy , és b olyan, hogy ω ( t ) ≤ a + b minden t  ;
• Az ω- thomorú folytonossági modulus növeli .

Így a metrikus terek közötti f függvény esetében egyenértékű egy homorú, szub additív, egyenletesen folytonos vagy szublináris folytonossági modulus befogadása. Ebben az esetben az f függvényt néha "speciális, egyenletesen folyamatos függvénynek" is nevezik . Ez mindig igaz abban az esetben, ha a tartomány kompakt, de abban az esetben is, ha ez egy normált tér konvex C- je. Valóban, egy egyenletesen folytonos függvény f  : C → Y mindig elismeri a szubadditív modulusa folytonosság, például optimális modulusa folytonossági ω f korábban megadott, mivel van, az összes s és t pozitív:

ωf(s+t)=sup‖y-x‖=s+tdY(f(x),f(y)){\ displaystyle \ omega _ {f} (s + t) = \ sup _ {\ | yx \ | = s + t} d_ {Y} (f (x), f (y))} ≤sup‖y-x‖=s+t{dY(f(x),f(sx+tys+t))+dY(f(sx+tys+t),f(y))}≤ωf(t)+ωf(s).{\ displaystyle \ leq \ sup _ {\ | yx \ | = s + t} \ bal \ {d_ {Y} \ bal (f (x), f \ bal ({\ frac {sx + ty} {s + t}} \ jobbra \ \ jobbra) + d_ {Y} \ balra (f \ balra ({\ frac {sx + ty} {s + t}} \ jobbra), f (y) \ jobbra) \ jobbra \} \ leq \ omega _ {f} (t) + \ omega _ {f} (s).}

Azonnali következményként a normált tér konvexének bármely egyenletesen folytonos funkciójának szublináris növekedése van: léteznek olyan a és b konstansok , amelyek | f ( x ) | ≤ a ‖ x ‖ + b minden x esetén .

Szublináris modulok és egy Lipschitz-függvény korlátozott zavarai

Azt könnyen talál szublineáris modulusa folytonosságát egy függvény, amely egy korlátos zavarása egy Lipschitzian funkció: ha f egyenletesen folytonos ω folytonosság modulusz és g IS K -lipschitzian egy (egységes) távolság R a F , majd f min folytonosság szublineáris modulusát ismeri el ( ω ( t ), 2 r + kt ) . Ezzel szemben a valós értékű függvények esetében bármely speciális, egyenletesen folytonos függvény a Lipschitz-függvény határolt és egyenletesen folytonos zavara.

Al additív modulok és bővíthetőség

A fenti -nak egyenletesen folytonos függvények egy konvex tartomány elismeri egyfajta beszélgetni , legalábbis abban az esetben, valós értékű függvények: semmilyen speciális egyenletesen folytonos függvény f  : X → ℝ meghatározott egy részhalmaza X az "a normált tér E enged teret E kiterjesztése, amely megőrzi az f bármely ω szubadditív modulusát . A legkisebb és a legnagyobb ezek közül a kiterjesztések közül:

f∗(x): =supy∈x{f(y)-ω(|x-y|)},{\ displaystyle f _ {*} (x): = \ sup _ {y \ in X} \ bal \ {f (y) - \ omega (| xy |) \ jobb \},} f∗(x): =infy∈x{f(y)+ω(|x-y|)}.{\ displaystyle f ^ {*} (x): = \ inf _ {y \ in X} \ bal \ {f (y) + \ omega (| xy |) \ jobb \}.}

Amint megjegyeztük, a folytonosság bármely szubadditív modulusa egyenletesen folytonos: valójában elismeri a folytonosság modulusát. Ezért f * és f * rendre az ω -folytonos család alsó és felső burkolata - tehát továbbra is ω -folytonosak.

Homorú modulok és Lipschitz-közelítés

Bármely különleges egyenletesen folytonos függvény f  : X → ℝ definiált metrikus tér X egy egységes határ a Lipschitzian funkciókat. Ezenkívül a konvergencia sebességét, a közelítés Lipschitz- állandója szempontjából, az f folytonossági modulusa határozza meg . Pontosabban, hagyja ω legyen minimális homorú modulusa konvergenciájának F , adott

ω(t)=inf{nál nélt+b∣∀x∈x,∀x′∈x|f(x)-f(x′)|≤nál nél|x-x′|+b}.{\ displaystyle \ omega (t) = \ inf {\ big \ {} at + b \ mid \ forall x \ in X, \, \ forall x '\ in X \, \, | f (x) -f ( x ') | \ leq a | xx' | + b {\ nagy \}}.}

Legyen δ ( s ) az f függvény és az s -lipschitz- függvények beállított Lip s közötti egyenletes távolság , valódi értékekkel X-en  :

δ(s): =inf{‖f-u‖∞,x∣u∈Lénos}≤+∞.{\ displaystyle \ delta (s): = \ inf {\ big \ {} \ | fu \ | _ {\ infty, X} \ mid u \ in \ mathrm {Lip} _ {s} {\ big \}} \ leq + \ infty.}

Ekkor az ω ( t ) és a δ ( s ) függvények összekapcsolhatók egymással a Legendre-transzformációval  : pontosabban a 2 δ ( s ) és - ω (- t ) függvények ( a végükön kívül + ∞- mal meghosszabbítva ) tartomány) alkotnak pár konjugált konvex függvényt, mert 2δ(s)=supt≥0{ω(t)-st}etω(t)=infs≥0{2δ(s)+st}.{\ displaystyle 2 \ delta (s) = \ sup _ {t \ geq 0} \ left \ {\ omega (t) -st \ right \} \ quad {\ rm {és}} \ quad \ omega (t) = \ inf _ {s \ geq 0} \ bal \ {2 \ delta (s) + st \ jobb \}.} Mivel ω ( t ) = o (1) a T → 0 + , megkapjuk δ ( s ) = o (1) a t → + ∞ , amely azt jelenti, hogy f egy egységes határa Lipschitzian funkciók. Optimális közelítést adnak a függvények

fs: =δ(s)+infy∈x{f(y)+sd(x,y)},  oour s∈dom(δ):{\ displaystyle f_ {s}: = \ delta (s) + \ inf _ {y \ in X} \ {f (y) + sd (x, y) \}, \ \ \ mathrm {for} \ s \ a \ mathrm {dom} (\ delta) mezőben:}

minden egyes f s IS s -lipschitzian és ║ f - f s ║ ∞, X = δ ( s ) . Például az α -Hölderi függvények X- től ℝ -ig azok a függvények, amelyeket az s -lipschitz- függvények egységesen közelíthetnek konvergencia sebességgel , míg a „majdnem Lipschitz” funkciók ( ω ( t ) folytonossági modulussal : = kt (| log ( t ) | + 1) ) az O (e - as ) exponenciális konvergencia sebesség jellemzi . O(s-α1-α){\ displaystyle O (s ^ {- {\ frac {\ alpha} {1- \ alpha}}})}

Példák felhasználásra

• Legyen f  : [ a , b ] → ℝ folyamatos függvény. A bemutató Riemann integrálhatóságát a F , ez általában a távolság a terminál Riemann összegzi felső és az alsó tekintetében a felosztás P  = ( t i ) 0≤ i ≤ n segítségével a folytonosságot modul F és a lépés | P | P alkörzet  :

S∗(f;P)-S∗(f;P)≤(b-nál nél)ω(|P|).{\ displaystyle S ^ {*} (f; P) -S _ {*} (f; P) \ leq (ba) \ omega (| P |).}

• A Fourier-sorozat használatának példáját lásd a Dini  (in) tesztben .

Az L p függvények és a folytonosság modulok fordításainak csoportja L p

Legyen 1 ≤ p , f  : ℝ n → ℝ az L p és h ∈ ℝ n osztály függvénye . A h - f- ből lefordítva , vagyis a függvény L p osztályú  ; ráadásul ha p <∞ , akkor amikor ‖ h ‖ → 0 . Tehát, mivel a fordítások lineáris izometriák, amikor ‖ h ‖ → 0 , egyenletesen v ∈ ℝ n-ben . τh f: =f(⋅-h){\ displaystyle \ tau _ {h} \ f: = f (\ cdot -h)}‖τhf-f‖o=o(1),{\ displaystyle \ | \ tau _ {h} ff \ | _ {p} = o (1),}‖τv+hf-τvf‖o=o(1), {\ displaystyle \ | \ tau _ {v + h} f- \ tau _ {v} f \ | _ {p} = o (1), \}

Abban az esetben, ha p = ∞ , a fenti tulajdonság általában nem igaz: valójában egyenletesen folytonos. Ez annak a következõ definíciónak köszönhetõ, amely általánosítja az egyenletesen folytonos függvények folytonossági modulusának fogalmát: az L p folytonossági modulus az f mérhetõ függvényhez  : ℝ → ℝ az ω folytonosság modulusa  : , ∞] oly módon, hogy a folytonossági modulok ezután kvantitatív értéket adnak az L p függvények folytonossági tulajdonságának . ‖τhf-f‖o≤ω(h).{\ displaystyle \ | \ tau _ {h} ff \ | _ {p} \ leq \ omega (h).}

Magasabb rendű folytonossági modulus

A folytonossági modul formális meghatározása az elsőrendű véges különbség fogalmát használja :

ωf(δ)=ω(f,δ)=supx;|h|<δ;|Δh(f,x)|.{\ displaystyle \ omega _ {f} (\ delta) = \ omega (f, \ delta) = \ sup \ korlátozza _ {x; | h | <\ delta;} \ balra | \ Delta _ {h} (f , x) \ jobbra |.}

Ha ezt a különbséget n nagyságrendű különbséggel helyettesítjük , akkor az n rendű folytonossági modulust kapjuk  :

ωnem(f,δ)=supx;|h|<δ;|Δhnem(f,x)|.{\ displaystyle \ omega _ {n} (f, \ delta) = \ sup \ korlátozza _ {x; | h | <\ delta;} \ balra | \ Delta _ {h} ^ {n} (f, x) \ jobb |.}

Hivatkozások

• (fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „  Modulus folytonosság  ” ( lásd a szerzők listáját ) .
• G. Choquet , elemző tanfolyam. Tome II, Topologie , Masson , Párizs, 1964.
• C. de la Vallée Poussin , Valódi változó funkcióinak közelítéséről szóló tanulságok , Párizs, Gauthier-Villars,1919( újranyomás  1952) ( online olvasás ).
• Henri Lebesgue , „  Az egyes integrálokról  ”, Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse , 3 rd sorozat, vol.  1,1909, P.  25–117 ( online olvasás ), újranyomva: Henri Lebesgue, Scientific Works , vol. 3. o.  259-351.
• (en) Karl-Georg Steffens , A megközelítés elméletének története , Boston, Birkhäuser ,2006( online olvasás ).
• (en) AV Efimov , „  Folyamatosság, modulus  ” , Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN  978-1556080104 , online olvasás ).

Kapcsolódó cikkek

• Konstruktív elemzés
• Càdlàg modul
• Egyenlőtlen Jackson  (en)
•  Egy szekvencia konvergencia modulja (fr)
• Kuratowski beágyazása és Tietze meghosszabbítási tétel

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">