Márton axióma

A set -elmélet , Martin axióma által bevezetett Donald A. Martin és Robert M. Solovay a 1970 , egy független nyilatkozatot a ZFC , a szokásos axióma halmazelmélet. Ez a kontinuumhipotézis következménye , de Martin axiómája összhangban van annak tagadásával is. Informálisan Martin axióma azt állítja, hogy minden szigorúan alacsonyabbrendű bíboros hasonlóan viselkedik . A Rasiowa-Sikorski lemma (en) általánosítása . $2 ^ {\ aleph _ {0}}$ $\ aleph_0$

Nyilatkozat Martin axiómájáról

Vagy bíboros. Márton axiómájának nevezzük a megjegyzést (az angol Martin axiómájából), a következő állítást: $\kappa$ $\kappa$ ${\ displaystyle MA (\ kappa)}$

Bármilyen részben rendezett halmaz kielégítő megszámlálható húr állapot , és minden családban a sűrű készlet a megfelelő , létezik egy szűrőt az , hogy bármely elem a , az nem üres . $P$ $D$ $P$ ${\ displaystyle | D | \ leq \ kappa}$ $F$ $P$ $d$ $D$ ${\ displaystyle F \ cap d}$

Martin axiómája ekkor a következő állítás:

Bármely bíboros , ellenőrzik. ${\ displaystyle \ kappa <2 ^ {\ aleph _ {0}}}$ ${\ displaystyle MA (\ kappa)}$

Megmutathatjuk, hogy ez hamis, ami igazolja a korlátozást . ${\ displaystyle MA (2 ^ {\ aleph _ {0}})}$ ${\ displaystyle \ kappa <2 ^ {\ aleph _ {0}}}$

Viszonylagos következetesség

Ha a kontinuum hipotézis szerint, a bíborosok szigorúan kisebb, mint a és a véges bíborosok, vagy egy ZFC-tétel: ez a Rasiowa-Sikorski lemma (en) . Így Martin axióma a ZFC kontinuumhipotézisének következménye. Ez azt mutatja, hogy Martin axiómája összhangban áll a ZFC-vel. ${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ ${\ displaystyle MA (\ aleph _ {0})}$

Másrészt Donald A. Martin és Robert M. Solovay bizonyították Martin axiómájának következetességét a kontinuumhipotézis tagadásával. Pontosabban :

Tétel - Legyen egy olyan rendes és megszámlálhatatlan bíboros , amely mindenhez megvan . Ekkor létezik egy rendezett kardinális halmaz , amely kielégíti a megszámlálható karakterláncot . $\ lambda$ ${\ displaystyle \ lambda '<\ lambda}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ lambda '} \ leq \ lambda}$ $P$ $\ lambda$ ${\ displaystyle 1 \ Vdash _ {P} MA \ land 2 ^ {\ aleph _ {0}} = \ lambda}$

Gödel felépíthető univerzumából kiindulva minden megszámlálhatatlan bíborosra igazolják az előző tételben előírt kényszert . Így megszerezhetünk például egy univerzumot, amely igazolja Martin és munkatársai axiómáját . Ennek a tételnek a bizonyítása az iterált kényszerítés néven ismert technikát használja . $\ lambda$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} = \ aleph _ {\ omega +17}}$

Végül Martin axiómájának tagadása is következetes. Martin axiómája valóban azt jelenti, hogy ez egy rendes bíboros. A ZFC egyetlen bizonyítható korlátja azonban az, hogy a megszámlálhatatlan társfinanszírozás kardinálisa . Így vannak olyan univerzumok, amelyekben nem szabályos, ezért Martin axiómája nem igazolható. $2 ^ {\ aleph _ {0}}$ $2 ^ {\ aleph _ {0}}$ $2 ^ {\ aleph _ {0}}$

Martin axiómájának következményei

Martin axiómájának legtöbb következménye azt fejezi ki, hogy minden alsó bíboros hasonlóan viselkedik . $2 ^ {\ aleph _ {0}}$ $\ aleph_0$

Tehát minden bíboros esetében , ha igazolják, akkor: $\kappa$ ${\ displaystyle MA (\ kappa)}$

${\ displaystyle 2 ^ {\ kappa} = 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$ ;

Az unió részei a Lebesgue nulla továbbra is nulla Lebesgue; $\kappa$ $\ mathbb {R}$

A sovány részek egyesülése még mindig sovány. $\kappa$ $\ mathbb {R}$

A különleges eset lehetővé teszi a ZFC néhány amúgy eldönthetetlen kérdésének megválaszolását: ${\ displaystyle MA (\ aleph _ {1})}$

A kontinuum hipotézis hamis;

Van egy csoport Whitehead (in) , amely nem szabad ;

A megszámlálható lánc feltételét kielégítő két topológiai tér szorzata ismét kielégíti a megszámlálható lánc feltételét;

Nincs Souslin-jog ;
Minden aronszajni fa különleges;
minden része az is Lebesgue-mérhető és a tulajdonában Baire . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {2} ^ {1}}$ $\ mathbb {R}$

Példák felhasználásra

Itt mutatunk be példákat a Martin axiómáját alkalmazó bizonyításokra.

Tétel - Legyen bíboros. Ha , akkor a sűrű nyílt kereszteződése sűrű. $\kappa$ ${\ displaystyle MA (\ kappa)}$ $\kappa$ $\ mathbb {R}$

Demonstráció

Legyen sűrű nyitott családja és korlátozott intervalluma . Ezt szeretnénk megmutatni . A következő részben rendezett készletet vesszük figyelembe : ${\ displaystyle (U _ {\ alpha}) _ {\ alpha <\ kappa}}$ $\ mathbb {R}$ $én$ $\ mathbb {R}$ ${\ displaystyle I \ cap \ bigcap _ {\ alpha <\ kappa} U _ {\ alpha} \ neq \ emptyyset}$ $P$

az elemek a nyitott nem üres az , hogy ; $P$ $o$ $\ mathbb {R}$ ${\ displaystyle {\ bar {p}} \ subseteq I}$
a megbízást adja akkor, ha . $P$ ${\ displaystyle p \ leq q}$ ${\ displaystyle p \ subseteq q}$

Két nem kompatibilis eleme a diszjunkt, nem üres nyílások. Tehát, mivel a nem szétválasztott, nem üres nyílások bármely családja megszámlálható, bármelyik antichain megszámolható, vagyis kielégíti a megszámlálható húr feltételét. Mi lehet tehát alkalmazni kell , és sűrű készletek . Ezek a halmazok sűrűek, mert a nyitott és sűrű. Így kapunk egy szűrőt, amelynek metszéspontja nem üres. Mivel szűrő és határolt, a kereszteződés nem üres, és mindegyikben benne van , ami a kívánt eredmény. $P$ $\ mathbb {R}$ $P$ $P$ ${\ displaystyle MA (\ kappa)}$ $P$ ${\ displaystyle D _ {\ alpha} = \ {p \ in P, {\ bar {p}} \ subseteq U _ {\ alpha} \}}$ ${\ displaystyle U _ {\ alpha}}$ $F$ ${\ displaystyle D _ {\ alpha}}$ $F$ $én$ ${\ displaystyle \ bigcap _ {p \ az F} {\ bar {p}}}$ ${\ displaystyle U _ {\ alpha}}$

Az előző tétel általánosítja Baire tételét .

Tétel - Tegyük fel . Míg nincs fa Souslin (in) . ${\ displaystyle MA (\ aleph _ {1})}$

Demonstráció

Emlékeztetünk arra, hogy a Souslin-fa olyan magasságú fa, amelynek az összes ága és az összes antichain legfeljebb megszámolható. Ha létezik Souslin fa, akkor létezik olyan Souslin fa, amely ráadásul kielégíti a következő tulajdonságot: mind az egész , mind pedig az ellenőrző szint létezik . Figyelembe vesszük azt a rendezett halmazt, amelynek elemei az elemei, és a sorrendje ennek a fordítottja , vagyis ha és csak akkor . Ezután ellenőrizze a megszámlálható antikain állapotot és mindent , a sűrűbbnél nagyobb elemeket . olyan szűrőt ad, amelynek metszéspontja nem üres, így egy megszámlálhatatlan ágat kapunk, ellentmondva a felmerült hipotézisnek . Nincs tehát Souslin-fa. $\ omega _ {1}$ ${\ displaystyle (T, \ leq _ {T})}$ $x$ $T$ ${\ displaystyle \ alpha <\ omega _ {1}}$ $y$ $T$ $\ alfa$ ${\ displaystyle x \ leq _ {T} y}$ $P$ $T$ $T$ ${\ displaystyle x \ leq y}$ ${\ displaystyle y \ leq _ {T} x}$ $P$ ${\ displaystyle \ alpha <\ omega _ {1}}$ ${\ displaystyle D _ {\ alpha}}$ $T$ $\ alfa$ ${\ displaystyle MA (\ aleph _ {1})}$ $F$ ${\ displaystyle D _ {\ alpha}}$ $T$

Megmutathatjuk, hogy a Souslin-fa létezése egyenértékű a Souslin-vonal létezésével, az előző tétel tehát azt mutatja, hogy következetes, hogy nincs Souslin-vonal.

Általánosítások

Martin axiómájának változatait úgy kaphatjuk meg, hogy megváltoztatjuk a figyelembe vett, részben rendezett halmazokra vonatkozó feltételeket. Tehát, ha egy részben rendezett halmazok osztálya és ha kardinális, akkor a következő állítást vehetjük figyelembe: $\Gamma$ $\kappa$

Bármilyen set in és bármilyen családi sűrű halmazok kielégítő , létezik egy szűrőt az , hogy bármely elem a , nem üres. $P$ $\Gamma$ $D$ $P$ ${\ displaystyle | D | <\ kappa}$ $F$ $P$ $d$ $D$ ${\ displaystyle F \ cap d}$

Martin axióma az az eset, amikor a részlegesen rendezett halmazok osztálya megfelel a megszámlálható lánc feltételének. $\Gamma$

A két legfontosabb példa:

az eset, ahol a részben rendezett megfelelő halmazok osztálya található, és ekkor megkapjuk a megfelelő kényszerítő axiómát (en) ; $\Gamma$ ${\ displaystyle \ kappa = \ aleph _ {1}}$
az esetben, ha az osztály részben rendezett halmazok megőrzése álló részhalmaza és mi majd szerezni Martin Maximum (en) . $\Gamma$ $\ omega _ {1}$ ${\ displaystyle \ kappa = \ aleph _ {1}}$

Az előző általánosítások hátránya, hogy Martin axiómájával ellentétben nagy bíborosok használatát követelik meg következetességük igazolására.

Hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „ Márton axióma ” ( lásd a szerzők listáját ) .

(in) Donald A. Martin és Robert M. Solovay , " Belső Cohen kiterjesztések " , Annals of Mathematical Logic , vol. 2 n o 21970. október, P. 143-178 ( DOI 10.1016 / 0003-4843 (70) 90009-4 , online olvasás )
(en) Kunen, Kenneth. , Halmazelmélet , főiskolai kiadványok,1 st január 2011, 401 p. ( ISBN 978-1-84890-050-9 , OCLC 774103981 , online olvasás )
(in) Saharon Shelah , " Végtelen abeli csoportok, fehérfejű probléma és néhány konstrukció " , Israel Journal of Mathematics , vol. 18, n o 3,1973, P. 243–256 ( ISSN 0021-2172 és 1565-8511 , DOI 10.1007 / BF02757281 , online olvasás , hozzáférés : 2017. január 26. )

Jech, Thomas , 2003. Halmazelmélet: A harmadik millenniumi kiadás, átdolgozva és kibővítve . Springer. ( ISBN 3-540-44085-2 ) .
(hu-GB) David H. Fremlin , Martin axiómájának következményei , Cambridge, Cambridge University Press , koll. "Cambridge traktusra matematika" ( n o 84),1984, 325 p. ( ISBN 0-521-25091-9 ).