Az axióma megszámlálható választott jelölt AC ω egy axióma a halmazelmélet , hogy kimondja, hogy bármely megszámlálható halmaz a készlet nem kiüríteni kell egy választott funkció , vagyis, hogy minden eredmény ( A ( n )) A nemüres halmazok, ott egy f függvény, amely N-re (a természetes számok halmazára ) állítva f ( n ) ∈ a ( n ) -ként minden n ∈ N esetében .
A megszámlálható választás axióma (AC ω ) szigorúan gyengébb, mint a függő választás axióma (DC), ami viszont gyengébb, mint a választott axióma (AC). Paul Cohen kimutatta, hogy az AC ω nem bizonyítható Zermelo-Fraenkel (ZF) halmazelméletében a választott axióma nélkül. AC ω igaz a Solovay-modellben (en) .
A ZF + AC ω elegendő annak bizonyításához, hogy a megszámlálható halmazok megszámlálható családjának egyesülése megszámolható. Azt is elegendő annak bizonyítására, hogy a végtelen egy végtelen sor Dedekind (in) (ekvivalens módon: egy megszámlálható végtelen részhalmaza).
Az AC ω különösen hasznos az elemzés kidolgozásához , ahol sok eredmény függ attól, hogy létezik-e a valós számok megszámlálható családjának választási függvénye . Például, annak érdekében, hogy bizonyítani, hogy bármely felhalmozódása pont x egy sor S ⊆ R jelentése a határt egy szekvencia elemeinek S \ { x }, szükségünk van (gyenge formában) a axiómájának megszámlálható választás. A tetszőleges metrikus terek felhalmozási pontjaira megfogalmazva az utasítás ekvivalenssé válik AC ω-val .
Általánosan elterjedt tévhit, hogy az AC ω visszatérő jellegű, ezért tételként (ZF-ben, vagy azzal egyenértékű, vagy akár gyengébb rendszerekben is) indukcióval bizonyítható. Ez azonban nem így van; ez a hamis elképzelés a megszámlálható választás fogalmának és a véges választás fogalmának összetévesztésének eredménye az n méretű véges halmaz esetében (az önkényesen választott n esetében), ez az utolsó eredmény (amely a kombinatorikus elemzésben elemi tétel) ami indukcióval bizonyítható. Megmutatható azonban, hogy a nem üres halmazok egyes megszámlálhatatlan végtelen halmazainak van választási funkciójuk ZF-ben a választott axióma bármilyen formája nélkül . Ide tartozik a V ω \ {Ø} és a valós számok megfelelő és behatárolt nyitott intervallumainak halmaza, racionális határokkal.
Példaként az AC ω alkalmazására , itt van egy bizonyíték (ZF + AC ω-tól ), hogy bármely végtelen halmaz a Dedekind végtelen halmaza:
Legyen X végtelen halmaz. Bármely természetes n számra beállítjuk A n az X összes részhalmazát 2 n elemmel. Mivel X végtelen, minden A n- nek van legalább egy eleme. Egy első térkép AC ω ad szekvencia ( B n ), ahol minden B n egy részhalmaza X 2 n elemekkel. A B n halmazok nem feltétlenül diszjunktok, de definiálhatjuk C 0 = B 0 C n = a különbség a B n és az Unió valamennyi C j , minden j < n . Nyilvánvaló, mindegyik C n legalább 1, és legfeljebb 2 n elemek, és a C n két két szétbontásait. Az AC ω második térképe szekvenciát ad ( c n ) c n ∈ C n-vel . Tehát minden c n elkülönül, és X megszámlálható halmazt tartalmaz. A funkció, amely társult c n +1 minden c n (és javítások az összes többi eleme X ) egy nem- szürjektıv injekciót az X be X , ami bizonyítja, hogy X jelentése egy végtelen halmaza Dedekind.(en) Gonçalo Gutierres da Conceição, „ A megszámlálható választás axióma a topológiában ”