A Weil-kohomológia az algebrai fajták kohomológiai elmélete , egy mező együtthatóival , amely kielégít bizonyos axiómákat.
Egy ilyen elmélet szükségességét André Weil feltételezte , eredetileg a Lefschetz-formula biztosítása érdekében . Weil azt javasolta, hogy a nevét viselő sejtéseket abból a következtetésből lehessen levezetni, hogy létezik egy véges mezőkön átívelő fajták kohomológiai elmélete, amely analóg a kohomológiai elmélettel és a komplex fajták racionális együtthatóival. Valójában Lefschetz képlete lehetővé teszi az automorfizmus rögzített pontjainak kifejezését a kohomológiai csoportok nyomainak váltakozó összegeként: ha egy ilyen kohomológiát fel lehetne építeni a véges mezőkön definiált sokaságokra, akkor a zeta függvény írhatna belőlük. Nem tekinthető azonban sem a valódi, sem a p- adikus racionális együttható , ha p a figyelembe vett véges mező jellemzője.
Lehetséges azonban ℓ-adikus együtthatókkal dolgozni, ahol ℓ ≠ p : ezt teszi a ℓ-adikus kohomológia, és valóban így bizonyította Weil utolsó sejtését Pierre Deligne 1974-ben.
Az 1970-es, mintás elmélet látszott egy jó jelölt válik egy „univerzális Weil cohomology” egy olyan megközelítés, amely nem gyümölcsöt. Egy másik utat, a motivikus kohomológiát manapság jobban feltárják, főleg Voevodksy felépítése óta . Ez a konstrukció lehetővé tette számára, hogy igazolja Milnor sejtéseit , amelyekért 2002 -ben Fields-éremmel tüntették ki.
Általában, egy ilyen elmélet kell őriznie tulajdonságait a klasszikus (szinguláris) cohomology alkalmazva jól viselkedő sokaságok: van egy Poincaré kettősség , egy Lefschetz képlet, az i -edik csoportok cohomology eltűnik az i <0, és i > 2 d , ahol d a sokaság dimenziója - a többiek véges dimenziójú k- vektorterek, ahol k a sokaság alapmezeje ... Ezeknek a fogalmaknak a konzisztenciáját az ilyen kohomológiát meghatározó axiómák garantálják.
Négy "klasszikus" konkrét elmélet létezik, amelyek kielégítik ezeket az axiómákat:
Formálisan, egy Weil cohomology együtthatók terén k egy kontravariáns funktorhoz
A kategória házakat a kategóriába véges dimenziós anti-kommutatív végzett k -algebras, úgy, hogy a következő axiómák teljesülnek: