A motívumok elmélete egy matematikai kutatási terület, amely megkísérli egyesíteni az algebrai geometria kombinatorikus , topológiai és aritmetikai aspektusait .
Az 1960-as évek elején, és feltételezhetően Alexander Grothendieck által bevezetett, annak érdekében, hogy feltárja a különböző kohomológiai elméletek közös tulajdonságait , a tiszta matematika számos nyitott problémájának középpontjában áll. Különösen az elliptikus görbék számos tulajdonsága tűnik motívumnak, például a Birch és a Swinnerton-Dyer sejtés .
Az elképzelés az, hogy egy kohomológiai elméletet úgy kell elképzelni, mint egy kategória (amelynek elemeit mintának nevezünk ) ellentmondásos funkciójának, amely univerzális abban az értelemben, hogy bármely kohomológiai elméletet figyelembe vesz.
A tanulmány a kompakt páros dimenziós osztók, bemutatjuk cohomology csoportok a koefficiensek ℚ , amelyek jól ismert tárgyak: ezek véges dimenziós ℚ-vektorterekben , van egy Poincaré kettősség , stb Lehetséges meghatározni több egyenértékű módszert is: szinguláris cochainok megkérdezésével, a Cech kohomológián keresztül (vagy de Rham, ha összetett analitikai változatosságról van szó), bemutatva a functor származékokat .. ami ugyanazt a konstrukciót adja, amíg az Eilenberg-Steenrod axiómák ellenőrzik.
André Weil projektív algebrai fajtákkal végzett munkája arra késztette, hogy megfogalmazza a nevét viselő sejtést , és világossá válik, hogy azok egy "tisztán algebrai" jó tulajdonságokkal rendelkező kohomológiai elméletből származnak . Kiderült azonban, hogy nem lehetséges ilyen kohomológiai elmélet ℚ együtthatókkal, ezért a kutatás a jellemző nulla, a a-től eltérő mező elmélete felé irányul .
Az 1960-as évek elején Grothendieck étale és kristályos kohomológiákat javasolt és rekonstruálta De Rham kohomológiáját az algebrai keretrendszerben, ahol megmutatta, hogy annak jó tulajdonságai vannak a jellegzetes nulla esetén. De akkor mi volt több „jó” kohomologikus elméletek: ha k egy algebrailag zárt területen, és ℓ egy prímszám eltér a jellemző k , a étale cohomology ad ℓ-adikus cohomology csoportok szóló , a De Rham cohomology ad csoportok olyan vektorterek a k-n , ha a karakterisztika különbözik a nullától, a kristálykohomológia vektortereket ad a Witt-vektorok gyűrűjének frakcióinak mezőjén k- val együtthatóval , a Hodge-kohomológia …
Itt van tehát a látszólagos paradoxon, az 1960-as évek elején: ezek az elméletek nem eshetnek egybe, mivel alapvetően különböző testeken adnak kohomológiai csoportokat, de közös tulajdonságaik vannak - úgy tűnik, hogy mindegyik egy kohomológiai elmélettől származik az effic együtthatókhoz, de tudjuk, hogy ilyen elmélet nem létezik.
Az egyik megközelítés az, hogy eleinte az első kohomológiai csoport esetének tanulmányozására szorítkozik. Az egyik pálya által javasolt Giacomo Albanese (en) ezután társítani minden algebrai különböző V egy Abel-fajta a k . Ezután az első kohomológiai csoport helyett figyelembe lehet venni a jakob fajtát, amely biztató eredményeket ad. Remélhetjük, hogy ezt az egydimenziós esetben működő ötletet magasabb dimenziókba szállítják, az abeli elosztók helyett Eilenberg-MacLane terekkel . De ez az irány továbbra is steril marad.
Ez Alexander Grothendieck aki beszél először a motívumok egy levelet, hogy Jean-Pierre Serre kelt követően, 1964-zenei analógia, remélve, hogy felfedje „a” közös motívum „(a” gyakori ok „) mögött sokasága kohomologikus invariánsokat ”. Kifejezett írásokat azonban soha nem tett közzé róluk (a Serre-nek küldött levelek kivételével), Michel Demazure és Steven Kleiman (in) írják az első cikkeket Grothendieck tanulságai alapján.
Univerzális kohomológiai elméletet keres, amely a következő terven alapul: a projektív sokaságok kategóriáját vesszük figyelembe , majd
Ha megjegyezzük C-t az így kapott kategóriát, és H-t a C kettős kategóriát , akkor a sima algebrai fajták kategóriájának természetes kontravariantikus funkcióját H-ban (választva) bármely választott kohomológiai elmélettel figyelembe vesszük, ez a keresett minták elmélete , és a megfelelő kategóriát az úgynevezett a mintát kategóriában .
Ennek a konstrukciónak a fő hátránya, hogy nem egyértelmű. Rosszabb esetben sok nehéz sejtés lép közbe, mielőtt képesek lennének megfelelõségekrõl, vagy egyszerûbben algebrai ciklusokról beszélni : Hodge , Tate (in) sejtései ... ezek a feltételezések ma alkotják az úgynevezett standard sejtéseket (in) , és úgy tûnik, hogy a motívumok bármely elmélete, bármennyire is részleges és sejtésszerű, attól függ.
Tíz évbe és Wei-Liang Chow (in) munkájába telt az érvek kategóriájának: Chow okainak egyértelmű megfogalmazása.
Ha a Grothendieck értelmében vett minták vagy a " tiszta minták " a sima projektív sokaságok kohomológiáját írják le, akkor jogszerű azt is megkeresni, hogy mi jellemezné az önkényes sokaságok kohomológiáját: Weil kohomológiáját Bloch-Ogus kohomológia váltja fel, és beszélünk „ vegyes minták ”. Az ilyen MM kategóriájú minták létezését Alexander Beilinson sejtette 1987-ben, valamint azokat a tulajdonságokat, amelyeket igazolnia kell.
A kategória építése helyett Pierre Deligne azt javasolta, hogy keressen egy kategóriát, amely a származtatott kategória összes jó tulajdonságával rendelkezik . Ezt sikerült az 1990-es évek végén Vladimir Voevodsky és Andrei Suslin számára a származtatott DM kategória felajánlásával . Ez a kévék kategóriája egy rendkívül finom Grothendieck topológiához kapcsolódik az ábrákon . Ez a konstrukció tette lehetővé Voevodsky számára Milnor sejtéseinek megoldását , amelynek munkájáért 2002- ben megkapta a Fields-érmet . Ennek a kategóriának azonban nincs feltételezett t- szerkezete , amely lehetővé tenné az MM kategória rekonstrukcióját a DM-ből , és a kérdés továbbra is fennáll. nyitott (2020-ban), hogy tudják, hogyan lehet felépíteni a vegyes minták
Grothendieck megközelítését követve a probléma elsősorban a minták kategóriájának és az őket összekötő morfizmusoknak az azonosítása, nem pedig maguknak a mintáknak a keresése. Egy ilyen kategóriának abélikusnak, félegyszerűnek kell lennie, és ellenőriznie kell a faktorizációs tulajdonságot (minden kohomológiai elméletet ez a kategória figyelembe vesz).
A tiszta egységek felépítését általában három szakaszra bontják. Kezdve egy kategóriát a sima projektív k -schemas , mi építeni a kategóriába megfelelések bővítésével morfizmusok az ; akkor az ál-abeli boríték felvételével megkapjuk a tiszta „hatékony” minták kategóriáját; végül a tiszta minták kategóriáját konstruáljuk a Lefschetz-minta invertálásával. A felépítés szigorúan függ az algebrai ciklusok ekvivalencia-viszonyának megválasztásától - a legfinomabbtól a legdurvábbig: racionális, algebrai, Voevodsky (smash-nilpotence), homológiai és numerikus.
A következőkben a racionális ekvivalencia esetét írjuk le .
Legyen X véges típusú diagram. Úgy véljük, egy alrendszer W a X , zárva a Zariski topológia és codimension p , és jelöljük az a csoport, algebrai ciklusok a W a codimension k , azaz a szabad Abel-csoport által generált sub -Integrált zárt diagramjai W amelyek codimension k .
A W-n definiált racionális f függvénynél figyelembe vehetjük annak osztóját . Eleme annak, aki beküldi önmagát . A W-ra eső racionális függvények osztói által generált abeli alcsoport . Megállapodás alapján állítottuk be , és meghatározzuk a teljes diplomás abeli csoportot .
A racionális ekvivalencia fogalmát a következőképpen definiáljuk: két algebrai ciklusra, és megvan, amikor tartozik . Mi pózolunk
a k- edik Chow csoport. Ezek az abeli csoportok.
A fogalom a levelezés általánosítja, hogy a morfizmus az ábrák és megfelel algebrai ciklus: két diagram X és Y a definiáljuk
Természetesen meghatározhatjuk az ilyen ciklusok összetételét, amely lehetővé teszi a megfelelés kategóriájának az alábbiak szerint történő elkészítését:
Egyszerűen kiszélesítettük a morfizmusok osztályát , hogy természetes funkciókat kapjunk .
A megfeleltetések kategóriája additív , de eleve nincs oka abeli jellegűnek . Azonban közelebb kerülünk ehhez a helyzethez azáltal, hogy felépítjük Karoubi borítékját , amely lehetővé teszi az ál-abeli kategória ( fr ) megszerzését :
a tiszta hatékony minták (vagy a hatékony Chow minták ) említett kategóriája .
Különösen van egy teljesen hű functor .
Megjegyezzük a fokozatos levelezéseket:
a Chow motívumok kategóriáját a következőképpen állítottuk be:
Ez a kategória még mindig álabeli, és teljesen hűséges funkciónk van .
Még mindig van kanonikus funkciónk h
nevezett minta az X .
A mintakategóriában lévő szálas termék szimmetrikus monoid kategóriás struktúrát ad :
.Az egység van . A szakirodalomban ezt az egységet gyakran (a zavarhoz vezetõ módon) a szimbólum jegyzi meg .
Ha X értéke n , akkor kettősségünk van a és között , ami a Chow minták kategóriáját merev kategóriává (en) teszi . A hatékony motívumok kategóriája viszont nem merev, mivel ez a kettősség nem stabil.
A minta eltolása (néha Tate-féle "csavarásnak" hívják) az összes relatív k mintája .
Legyen X egy séma és x racionális pont . A diagram szerkezeti morfizmusával történő kompozícióval X vetítőt kapunk , tehát bomlást
a mintát a pontozott k- minta ( X , x ) redukált mintájának nevezzük .
A konkrét esetben ez a minta egyedülálló az izomorfizmusig. Lefschetz motívumnak hívjuk, és lejegyezzük . Különösen van . Kettősét, amely természetesen azonosul , Tate-motívumnak nevezzük .
A Lefschetz motívum szerepe analóg az affin vonallal a motívumok kategóriájában, az affin vonal nem része annak . Különösen ez formailag fordítja azt az elképzelést, hogy a „linearizált” algebrai geometria testet öltött. Van például
amelyet úgy olvashatunk, hogy "a vetítősík össze van szerelve a ponttól, az affin vonaltól és az affin síktól".
Uwe Jannsen (de) 1992-ben bebizonyította, hogy a minták egyetlen félegyszerű és abeli kategóriája a numerikus egyenértékűségre felépített effektív minták kategóriája . A Chow minták kategóriája tehát „túl sok” morfizmust tartalmaz ahhoz, hogy félig egyszerű legyen. Az, hogy bármelyik Weil-kohomológia esetében a homológiai ekvivalencia megfelel-e a numerikus ekvivalenciának, nyitott kérdés, amely része a szokásos sejtéseknek. Ez a teljes mintázatelmélet megszerzésének egyik fő akadálya.
Annak érdekében, hogy esetleg eltávolítsuk vagy legalább tisztázzuk a sima projektív sémák mintázatelméletének akadályait, azt javasolták, hogy általánosítsák a problémát, és keressenek egy tetszőleges fajta mintakategóriáját.
Az ilyen mintázatelmélet minősítéséhez a "kevert" jelző a Hodge-elméletből származik : vegyes Hodge-struktúrában a fokozatot szűréssel helyettesítik. Ez analóg azzal, ami akkor történik, amikor nem projektív sémák érdekelnek minket: kohomológiai csoportjaik egy pontos szekvenciát alkotnak, amely már nem feltétlenül van felosztva, és ezért nem triviális kiterjesztéseink vannak.
Lényegében, ha a sima véges típusú sémák kategóriáját jelöljük, akkor a vegyes minták kategóriája egy monoidális abeliai MM (k) kategória lenne, amely functorral van felruházva , és amely a tiszta mintákat tartalmazza. Ebben a kategóriában meghatározhatnánk egy motivikus kohomológiát is. A mai napig (2013-ban) nem ismert jelölt az MM (k) kategóriába .
Másrészt olyan kategóriákat javasoltak, amelyek a származtatott kategóriájához a kívánt tulajdonságokkal rendelkeznek, többek között Hanamura, Levine és Voevodsky. Voevodsky és Morel miatt egy párhuzamos konstrukciónak az A¹ (en) homotópia-elméleten kell keresztülmennie , hogy meghatározzák a vegyes minták kategóriáját.
A Voevodsky építése több szakaszon alapul:
Az MM (k) megtalálásához ebből a kategóriából szükség lenne egy t- struktúrára . Egy ilyen szerkezet a mai napig (2020-ban) ismeretlen.
Azonban ebben a kategóriában elegendő, hogy meghatározzák a motivikus cohomology a funktorhoz pózol
Ezek az algebrai K-elmélettel kapcsolatos csoportok alapvető szerepet játszanak Milnor Voevodsky sejtésének bizonyításában .
A mintázatelmélet egyik reménye, hogy keretet ad a Galois-elmélet általánosításához , lehetővé téve a motivikus Galois-csoportok meghatározását. Ezek általánosítják a szokásos Galois-csoportokat több polinom rendszerére, több változóval. Már nem véges csoportokról van szó, hanem algebrai csoportokról . Egy ilyen megközelítés következetessége a Grothendieck-korszak sejtéseire támaszkodik .
Például a periódus kapcsolódik-e az eredettől megfosztott vonal motívumához, amelynek motivikus Galois-csoportja a multiplikatív csoport ℚ × . Ennek a számnak a konjugátumai a nullától eltérő racionális többszörösei. A Grothendieck-sejtés ebben az esetben megfelel a π transzcendenciájának .
Hasonló jelenséget találunk a zéta funkció vizsgálatában ; általában az Euler által bevezetett polyzeta számok mögöttes motívumelmélet Goncharov és Brown által frissített . Ráadásul ez az elmélet adja a polieták által generált ℚ-vektortér legismertebb növekedését.
Drinfeld bemutatta a Grothendieck-Teichmüller csoportot , amely egy Lie algebrához kapcsolódik, amelynek leírása természetesen kapcsolódik a polyzeta számokhoz.
Nemrégiben Connes és Kreimer felfedezték ennek a csoportnak a fizikába való beavatkozását, mint szimmetriacsoportot a Feynman-diagramokon , és Kontsevichet a kvantálási problémákban .