Lévy görbe

A matematikában a Lévy- görbe vagy a C- görbe egy fraktálgörbe .

Ismertetett először Ernesto Cesaro 1906-ban Georg Faber 1910-ben, most a nevét viseli a francia matematikus Paul Lévy , aki 1938-ban volt az első, aki leírja a tulajdonságait önhasonlósággal , és hogy egyikük geometriai felépítés.

Tulajdonságok

A Lévy-görbe Hausdorff-dimenziója 2 (nyitott halmazokat tartalmaz). Az eredmény a konstrukciójából közvetlenül levezethető az 1 / √ 2 arány két dilatációjával .
Határának becsült mérete 1,9340 körül van.
A Lévy-görbe egyengeti a tervet.
Ha az eredeti szegmens hossza 1, a Lévy-görbe által lefedett terület megegyezik 1/4-vel.
A Lévy-görbe egyike a hat szokásos kétkocsis útburkolónak (két, azonos méretű másolattal is kikövezhető).
A De Rham-görbe (en) speciális esete .

Építés Lindenmayer rendszerrel ( L-rendszer )

A Lévy-görbe felépítése egy vonalszakaszból indul. Ezt a szegmenst az egyenlő szárú derékszögű háromszög két oldala helyettesíti, amelynek az eredeti szegmense a hipotenuszhoz tartozik. A 2. lépésben a görbét tehát derékszögben két szegmens képviseli. Az eredeti szegmenshez képest ezt a két szegmenst 1 / √ 2 szorzóval csökkentik .

Ezt a szabályt minden új létrehozott szegmensre iteratívan alkalmazzák.

N lépés után a görbe hosszúsági szegmensekből áll , az eredeti szegmenshez képest egy tényezővel csökkentve. $2 ^ {n}$ $2 ^ {{n / 2}}$

A kapcsolódó Lindenmayer rendszer így a következőképpen írható le:

Változók :	F
Konstansok :	+ -
Axióma :	F
Szabályok :	F → + F −− F +

Ahol az " F " jelentése "haladjon egyenesen előre", a "+" jelentése "jobbra fordul 45 ° -nál", és a "-" jelentése "balra forduljon 45 ° -nál".

Ennek az L-rendszernek a határértéke a Lévy-görbe.

Változatok

A standard görbét 45 fokos szögek felhasználásával állítják össze. Ennek a görbének a változatai különböző szögek segítségével dolgozhatók ki. Amíg a szög 60 foknál kisebb marad, az egyes lépésekben létrehozott új szegmensek kisebbek maradnak, mint az eredeti szegmensek, és az egész egy határgörbe konvergál.

Iterált függvények rendszere általi felépítés

A Lévy-görbe iterált függvények általi felépítése két lineáris összehúzódó függvény halmazán alapszik, 1 / √ 2 arányban . Az első 45 ° -os, a második -45 ° -os elforgatást vezet be.

A Lévy C görbe a komplex síkban tehát két hasonlóság vonzójaként határozható meg :

$h$ a 0 középpont által meghatározott ${\ displaystyle h (z) = {\ frac {1} {2}} (1+ \ mathrm {i}) z}$
$1$ középpont által meghatározott . ${\ displaystyle l (z) = {\ frac {1} {2}} \ bal ((1- \ mathrm {i}) z + (1+ \ mathrm {i}) \ jobb)}$

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

E. Cesaro, Folyamatos függvények derivált nélkül , Archiv der Math. und Phys. 10 (1906) p. 57-63
G. Farber, Über stetige Funktionen II , Mathematische Annalen , 69 (1910) p. 372-443.
Paul Lévy: Az egészhez hasonló alkatrészekből álló sík- vagy űrgörbék és felületek (1938), a Klasszikusok újranyomva a fraktálokon Gerald A. Edgar szerk. (1993) Addison - Wesley , ( ISBN 0-201-58701-7 )
Duvall, P. és Keesling, J., A Lévy-sárkány határának Hausdorff-dimenziója, 1999. július 22.
A gép burkolata a Lévy-görbével, Dubuc Serge & Li Jun
On 2-hüllők a síkban, Ngai 1999

Hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „ Lévy C görbe ” ( lásd a szerzők listáját ) .
(en) S. Bailey, T. Kim, RS Strichartz, „ Inside the Lévy dragon ” , American Mathematical Monthly , vol. 109, N o 8,2002, P. 689-703

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Külső linkek

(en) Eric W. Weisstein , „ Lévy Fractal ” , a MathWorld- on